第九章常微分方程[1].
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
第九章 常微方程数值解法
第8章 序
许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动， 许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间 技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析， 技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振 动，工程问题中的电路分析等，都可归结为常微分方程的 工程问题中的电路分析等， 初值问题。 初值问题。 所谓初值问题， 所谓初值问题，是函数及其必要的导数在积分的起始 点为已知的一类问题，一般形式为： 点为已知的一类问题，一般形式为：
⇒ y n +1 = y n −1 + 2hf ( xn , y n )
第9章 常微分方程数值解法
(8 - 4)
8-10
Euler公式的推导（ Euler公式的推导（续5） 公式的推导
上对y )=f 四、利用数值积分公式：在[xn,xn+1]上对y′(x)=f (x,y(x)) 积分 利用数值积分公式：
x0 < x1 < L < xn < L
（i=1,2,…,n）构造插值函数作为近似函数。上述离散点 i=1,2,…,n）构造插值函数作为近似函数。 相 邻两点间的距离h 称为步长， 邻两点间的距离hi=xi-1-xi 称为步长，若hi 都相等为一定数 h, 则称为定步长，否则为变步长。( x, y ( x)) 则称为定步长，否则为变步长。 a≤ x≤b y ′( x) = f 本章重点讨论如下 y (a ) = y0 一阶微分方程： 一阶微分方程： 在此基础上介绍一阶微分方程组与 8-5 第9章 常微分方程数值解法 高阶微分方程的数值解法。 高阶微分方程的数值解法。
⇒ yn +1 = yn + hf ( xn , yn ) + E ( xn , h) ⇒ yn +1 = yn + hf ( xn , yn )
数值分析第九章常微分方程数值解法
松弛法
通过迭代更新函数值并逐步放松约束 条件来逼近解，适用于刚性和非刚性 问题。
利用线性组合迭代函数值来逼近解， 具有更高的收敛速度和稳定性。
03
数值解法的稳定性分析
数值解法的稳定性定义
数值解法的稳定性是指当微分方程的初值有微小的扰动时， 其数值解的近似值的变化情况。如果数值解在微小扰动下变 化较小，则称该数值方法是稳定的。
更高的精度和稳定性。
数值逼近法
泰勒级数法
将微分方程的解展开为泰勒级数，通过截断级数来逼 近解。
多项式逼近法
利用多项式来逼近微分方程的解，通过选取合适的基 函数和系数来提高逼近精度。
样条插值法
利用样条函数来逼近微分方程的解，具有更好的光滑 性和连续性。
迭代法
雅可比迭代法
通过迭代更新函数值来逼近微分方程 的解，具有简单易行的优点。
初值和边界条件的处理
根据实际问题，合理设定初值和边界 条件，以获得更准确的数值解。
收敛性和误差分析
对数值解进行收敛性和误差分析，评 估解的精度和稳定性。
数值解法的应用案例分析
人口增长模型
通过数值解法求解人口增长模型，预测未来人口数量，为政策制 定提供依据。
化学反应动力学
利用数值解法研究化学反应的动力学过程，模拟反应过程和结果。
数值分析第九章常微分方 程数值解法
• 引言 • 常微分方程数值解法的基本思想 • 数值解法的稳定性分析 • 数值解法的收敛性和误差分析 • 数值解法的实现和应用案例
01
引言
常微分方程的应用背景
自然科学
描述物理、化学、生物等自然 现象的变化规律。
工程领域
控制系统设计、航天器轨道计 算等。
第九章 连续时间：微分方程
c c 2 4d (b )
m 两根都为负，时间路径收敛，若两根相等， 1 m2 c / d 都小于零，其时间路径也为收敛的。最后，如果为共轭复 数，其实数部分c / d 小于零， P 的时间路径同样为收敛 的，尽管此时带有不断衰减的循环。
第7节 高阶线性微分方程
• 高阶微分方程
Y 2Y 0, 2 0 K K
Y 2Y 0, 2 0 L L
一次齐次（规模报酬不变）性
Y ( K , L) Y ( K , L)
人均项目表示为
y (k )
净投资：
K I K S K sY K
同除 L 可得
• 瓦尔拉斯均衡
• 马歇尔
• 瓦尔拉斯线性模型：
动态调整过程 dP (QD QS ) dt 代入可得
QD aP QD bP
0
dP (a b) P ( ) dt
为常系数的一阶线性微分方程，一特解（潜在均衡点）为
P
• 情形2：相等实根 辅助方程有相等实根m1 m2 r ，则该齐次方程的通解为
y (c1 c2 x)e
rx
• 情形3：共轭复根 辅助方程根为共轭复根m1 a bi 和 m2 a bi ，齐次方程 的通解为
y eax (c1 cos bx c2 sin bx)t
其中 为任意常数而g (b a) 当且仅当 g 0时 P(t ) P ，因 0 条件即为b a 在正常商品时，供给曲线不后仰，条件满足 • 马歇尔供求函数： Q
c
PD
a Q PS b b
a
其中 y1 不是 y 2的常数倍，则该方程的通解为 y c1 y1 c2 y2 ， 其中 c1 , c2 为任意常数 • 定义 m2 pm q 0 • 辅助方程:
高等数学：第九章 常微分方程1-2
设在微小的时间间隔 [t, t t], o
100 cm
水面的高度由h降至 h h, 则 dV r 2dh,
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
28
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2 0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
v
ds dt
0.4t
C1
s 0.2t 2 C1t C2
代入条件后知 C1 20, C2 0
7
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 2,问开始制动
其中c1, …,cn是n个独
立的任意常数，则称y是F=0的一个通解。
例： y=x2+C是方程y'=2x 的通解.yBiblioteka x2 2C1x C2
是
方程y"=1的通解.
y
y=x2+C
独立：C1 C2 x C3 x 2 不独立：C1x C2 x (C1 C2 )x Cx
0
x
15
5. 特解： 不包含任何常数的解.
隐函数的形式Φ(x,y;c1, …,cn)=0,给出， 把Φ(x,y;c1, …,cn)=0称作方程的通积分。
求微分方程满足某些条件的特解。即
9. 初值问题：求出方程F(x, y, y‘, …, y (n) ) = 0满足
初始条件的解。其中x0,y0,y1,…,yn-1是
已知常数。y(x0 ) y0,
数值分析 第9章 常微分方程初值问题数值解法
9 .2 .2 梯形方法/* trapezoid formula */— 显、隐式两种算法的平均 为得到比欧拉法精度高的计算公式, 在等式( 2.4) 右端积分 中若用梯形求积公式近似, 并用yn 代替y ( xn ) , yn+1 代替y ( xn+1 ) ,则得
h yn 1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 )], 2
yn 1 yn f ( xn , yn ), xn 1 xn
即 yn+1 = yn + hf ( xn , yn ) . ( 2 .1)
这就是著名的欧拉( Euler ) 公式.
• 若初值y0 已知, 则依公式( 2.1)可逐步算出
• y1 = y0 + hf ( x0 , y0 ) ,
为了分析迭代过程的收敛性, 将( 2. 7) 式与(2. 8 )式相减, 得
h ( k 1) (k ) yn 1 yn [ f ( x , y ) f ( x , y 1 n 1 n 1 n 1 n 1 )] 2
于是有
| yn 1 y
( k 1) n 1
hL (k ) | | yn 1 yn 1 |, 2
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 |, y1, y2 R,
定理1 设f在区域Ｄ＝{(x,y)|a≤x ≤b,y∈R}上连续， 关于y满足利普希茨条件，则对任意x0 ∈[a,b], y0 ∈R，常微分方程初值问题(1.1)式和(1.２)式当x ∈[a,b]时存在唯一的连续可微解y(x). 定理２ 设f在区域Ｄ上连续，且关于y满足利 普希茨条件，设初值问题
1 2 1 2 dy x ydy xdx y x c 2 2 dx y y (0) 2 y2 x2 4
第9章 常微分方程初值问题数值解法
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
《常微分方程》中介绍的微分方程主要有:
(1)变量可分离的方程 (2)一阶线性微分方程(贝努利方程) (3)可降阶的一类高阶方程 (4)二阶常系数齐次微分方程 (5)二阶常系数非齐次微分方程 (6)全微分方程 本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。
进一步: 令
y n1 y n
xn 1 xn
y n 1 y( x n 1 ) , y n y( x n )
f ( x , y( x ))dx h f ( x n , y n )
宽
9
高
实际上是矩形法
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
(3)
用Taylor多项式近似并可估计误差
解决方法：有的可化为显格式，但有的不行 18
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
与Euler法结合，形成迭代算法 ，对n 0，2， 1，
( yn0 )1 yn hf x n , yn ( k 1) h ( yn1 yn f x n , yn f x n1 , ynk )1 2
7
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散 化. 一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy yx yx x x dx x y
n 1 n n 1 n
n
,
n
进一步: 令
yn1 y( xn1 ) , yn y( xn )
由 x0 , y0 出发取解曲线 y y x 的切线（存在！），则斜率
常微分方程数值解法
ρ ρ
n+1 n
≤1
三、梯形公式
由 分 径 y ( xn+1) = y ( xn) + 积 途 ： xn+1
∫
f ( x, y)dt
（
积分 梯形 式 且令：yn+1 = y( xn+1), yn = y( xn) 用 公 ， h 则 yn+1 = yn + ( f (xn , yn) + f (xn+1 , yn+1)) 得： 2
第九章 常微分方程数值解法
§1 、引言
一 常 分 程 初 问 : 阶 微 方 的 值 题 dy dx = f (x, y) y( x0) = y0
'
a ≤ x ≤b
2 y 例 : 方 程 xy -2 y = 4 x ⇒ y = + 4 x 2 y 令 ：f ( x , y ) = + 4 且 给 出 初 值 y (1 )= -3 x 就 得 到 一 阶 常 微 分 方 程 的 初 值 问 题 ： 2 y dy = f (x, y) = + 4 dx x y(1) = − 3
n n n n n 2 // n n+1
~
y
n+1
= yn + hf ( xn, yn ) = y(xn) + hf
n+1
~
y
n+1
( x , y( x ))
n n
则 T = y( x ) − = h y (ξ ) x y 2 ~
// n+1 n+1
2
n
< ξ < xn+1
令
经济数学基础微积分课件 常微分方程
例2 验证函数 y e x e x 是不是方程
y 2 y y 0的解.
解 求 y e x e x 的导数，得 y e x e x , y e x e x
将y、y及y 代入原方程的左边，有
e x e x 2e x 2e x e x e x 0 即函数 y e x e x 不满足原方程，
前页 后页 结束
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
0
将（9.2.3）式两边积分后，
（9.2.3）
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
C
（C为任意常数）
可验证，此结果即用隐式给出的方程（9.2.3）的通解．
约定:
在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一
y e p(x)d x q(x)e p(x)d x d x C
即为所求（9.3.1）的通解．
前页 后页 结束
例1 求微分方程 dy 2xy 2xe x2 的通解． dx
解 p(x) 2x, q(x) 2xex2
代入公式
y e2xd x 2xex2 e2xd x d x C
常微分方程
9.1 常微分方程的基本概念 9.2 可分离变量的微分方程 9.3 一阶微分方程与可降阶
的高阶微分方程 9.4 二阶常系数微分方程 9.5 常微分方程的应用举例
结束
9.1 常微分方程的基本概念
定义一 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。
常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶
第9章 常微分方程初值问题数值解法
oa
b
a f ( x)dx (b a) f (b)
中矩形公式
b
ab
a f ( x)dx (b a) f ( 2 )
计算方法
梯形公式
bx
右矩形公式 中矩形公式 左矩形公式
§ 欧拉方法几何意义
y y y(x)
y0 y1 y2 0 x0 x1 x2
计算方法
x
§ 隐式欧拉方法
➢隐式欧拉法 /* implicit Euler method */
初 值 问 题 的 解 必 存 在 且唯 一 。
计算方法
§9.1 引言
三. 数值解法含义
所谓数值解法, 就是设法将常微分方程离散化, 建 立差分方程, 给出解在一些离散点上的近似值。
微分方程的数值解: 设方程问题的解y(x)的存在区 间是[a,b], 令a= x0< x1<…< xn =b, 其中hk=xk+1-xk, 如是等距节点h=(b-a)/n, h称为步长。
yi1 yi1 2h f ( xi , yi ) i 1, ... , n 1
计算方法
预估-校正法
三. 预估 — 校正法
/* predictor-corrector method */
方法 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式
中点公式
简单
稳定性最好
精度提高
精度低
精度低, 计算量大
计算量大
精度提高, 显式
在x0 x X上的数值解法。
四. 误差估计、收敛性
和稳定性
计算方法
§9.2 简单的数值方法与基本概念
一. 欧拉（Euler）格式
设 节 点 为xi a ih (i 0,1,2 , n) 方 法 一 ：Taylor展 开 法
第9章微分方程初值问题的数值解法-1
(x k x k 1 )
y ( x k 1 ) y ( x k ) h y ( ) y ( x k ) h f ( , y ( ) )
记 K*f(,y()) 称为[xk , xk+1]上的平均斜率. 故
y(xk1)y(xk)hK*
当
y(i) k
y(i)(xk)
时,
有
y(xk1)yk1O (hp1). 此时①为
p 阶Taylor方法. p=1时即为Euler公式.
例2: 取步长 h = 0.1, 用一阶、二阶和四阶Taylor方法求解下列初 值问题
y y2
,
y(0) 1
0x1. 2
解: (1) 一阶Taylor法
yk1yk 0.1yk2
Taylor公式推导:
y(xk1)y(xk)hy(xk)h 2 2y(k), xkkxk1
yk1ykhf(xk,yk) k0,1,L,n1
Euler公式几何意义:
y
P2 P1 P0
Pk
也称折线法
x
2. 梯形法
若采用梯形公式计算(★)中的积分项,则有
y(xk1)y(xk)h 2[f(xk,y(xk))f(xk1,y(xk1))]
y ( x k 1 ) y ( x k ) h y ( x k ) h 2 2 !y ( x k ) L h p p !y (p )( x k ) O ( h p 1 )
令
yk 1ykhyk h 22 !yk Lh p p !yk (p)
①
称之为Taylor级数法. 其中 y k (i)y(i)(x k),i 0 ,1 ,2 ,L,p
y(2y3)6y2y6y4
y(4) 24y3y24y5
数值分析--第9章常微分方程数值解
数值分析--第9章常微分⽅程数值解数值分析--第9章常微分⽅程数值解第九章常微分⽅程数值解法许多实际问题的数学模型是微分⽅程或微分⽅程的定解问题。
如物体运动、电路振荡、化学反映及⽣物群体的变化等。
常微分⽅程可分为线性、⾮线性、⾼阶⽅程与⽅程组等类；线性⽅程包含于⾮线性类中，⾼阶⽅程可化为⼀阶⽅程组。
若⽅程组中的所有未知量视作⼀个向量，则⽅程组可写成向量形式的单个⽅程。
因此研究⼀阶微分⽅程的初值问题=≤≤=0)(),(y a y b x a y x f dx dy ， (9-1)的数值解法具有典型性。
常微分⽅程的解能⽤初等函数、特殊函数或它们的级数与积分表达的很少。
⽤解析⽅法只能求出线性常系数等特殊类型的⽅程的解。
对⾮线性⽅程来说，解析⽅法⼀般是⽆能为⼒的，即使某些解具有解析表达式，这个表达式也可能⾮常复杂⽽不便计算。
因此研究微分⽅程的数值解法是⾮常必要的。
只有保证问题(9-1)的解存在唯⼀的前提下，研究其数值解法或者说寻求其数值解才有意义。
由常微分⽅程的理论知，如果(9-1)中的),(y x f 满⾜条件（1）),(y x f 在区域} ),({+∞<<∞-≤≤=y b x a y x D ，上连续；（2）),(y x f 在D 上关于y 满⾜Lipschitz 条件，即存在常数L ，使得y y L y x f y x f -≤-),(),(则初值问题(9-1)在区间],[b a 上存在惟⼀的连续解)(x y y =。
在下⾯的讨论中，我们总假定⽅程满⾜以上两个条件。
所谓数值解法，就是求问题(9-1)的解)(x y y =在若⼲点b x x x x a N =<<<<= 210处的近似值),,2,1(N n y n =的⽅法。
),,2,1(N n y n =称为问题(9-1)的数值解，n n x x h -=+1称为由n x 到1+n x 的步长。
今后如⽆特别说明，我们总假定步长为常量。
第九章 微分方程
二、确定函数关系式 y c1 sin( x c 2 ) 所含的参数,使其 满足初始条件 y x 1 , yx 0 .
练习题答案
一、1、3； 2、2； 3、1； 4、2.
二、C1 1, C 2 . 2
第九章 微分方程
第二节 一阶微分方程
§9.2 一阶微分方程 复习：
例 y y，
y y 0，
特解 y 2ex；
特解 y 2sin x cos x；
（3）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 如：
T
t 0
100
y
x 1
2
一般地，一阶微分方程y' f ( x, y)的初始条件为：
y
x x0
y0
一般地，二阶微分方程y'' f ( x, y, y' )的初始条件为：
通解
特殊情形：
dy f ( x) dx
dy g ( y) dx
y f ( x)dx C
1 g ( y)dy x C
解微分方程：xy ' y ln y 0
解 分离变量
1 1 dy dx y ln y x
ln ln y ln x ln C,
两边积分
ln y Cx,
一阶方程的一般形式为 F ( x , y , y ) 0
初值问题： y f ( x , y )
y x x0 y 0
这个方程虽然简单，但常常很难求出解的表达式 本节只讨论几种特殊类型的一阶微分方程的解法。
教学任务
• 可分离变 量的微分 方程
分离变量法
• 齐次微分 方程
变量代换
第九章 常微分方程数值解
k 0, 1, 2,...
( ( 应用改进欧拉法，如果序列 yn0)1 , yn1)1 , 收敛，它的极限便
满足方程
y n 1 h yn f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 ) 2
3．公式的截断误差
二元泰勒公式： 设 z=f(x,y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内连续且直到有n+1阶
首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶 dy f x ( x, y) yi y( x i ) 的前提假设下，使得 f y ( x , y ) 精度，即在 dx 3 Ri y( xi 1 ) yi 1 Oh ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) ( f )
2
Q: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？
yi1 yi h[ 1 K1 2 K2 ... m Km] K1 f ( xi , yi ) K2 f ( xi 2 h, yi 21 hK1 ) K3 f ( xi 3 h, yi 31 hK1 32 hK2 )
最常用为四级4阶经典龙格-库塔法
4 阶龙格――库塔法
h y n 1 y n ( k1 2 k 2 2 k 3 k 4 ) 6 k1 f ( x n , y n ) 1 h k 2 f x n h, y n k1 2 2 1 h k 3 f x n h, y n k 2 2 2 k f x h, y hk n n 3 4
y( x ) y0 f (t , y(t ))dt
x0
x
是等价的，当x = x1时，
数值分析教案_常微分方程初值问题数值解法
第九章常微分方程初值问题数值解法图9-1n 作为()n x y 的近似值，得 ()n n y x hf ,)y x ,两边从n x 到1+n x 积分，得()dx x y x f x y x n nx x n n ⎰+=-+1))(,()1 矩形公式计算上式右侧积分，即()()x x x x x d x y x f dx x y x f n nn n⎰⎰++≈11,))(,()n ，得()n n n n y x hf y y ,1+=+，故欧拉法也称为矩形法。
为了达到较高精度的计算公式，对欧拉法进行改进，用梯形公式计算()()([1,2))(,(1++≈+n n n x f x y x f hdx x y x f n 的近似值，得9.2 龙格—库塔法前面讨论的欧拉法与改进的欧拉法都是一步法，即计算y 1+n 时，只用到前一步值。
龙格—库塔(Runge-Kutta)法(简称为R-K 方法)不是通过求导数的方法构造近似公式，而是通过计算不同点上的函数值，并对这些函数值作线性组合，构造近似公式，再把近似公式与解的泰勒展开式进行比较，使前面的若干项相同，从而使近似公式达到一定的阶数。
我们先分析欧拉法与预估—校正法。
对于欧拉法⎩⎨⎧=+=+),(111n n n n y x hf k k y y 每步计算f 的值一次，其截断误差为O (2h )。
对于预估—校正法()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++=+121211,,2121k y h x hf k y x hf k k k y y n n n n n n 每步计算f 的值两次，其截断误差为O (3h ).下面对预估—校正法进行改进，将该公式写成更一般的形式()()bh y ah x hf k y x hf k k R k R y y n n n n n n ++==++=+,,2122111 (2.1)其中b a R R ,,,21为待定常数。
选择这些常数的原则是在)(n n x y y =的前提下，使11)(++-n n y x y )的阶尽量高。
文科经管类微积分第九章常微分方程
的切线的斜率为 2x，求此曲线 L 的方程.
解 设曲线的方程为y y(x)，则有
d y 2x. dx
(1) 微分方程
此外，函数y y(x) 应满足条件
y(x) 2，
(2)
x1
将(1)式两边关于x 积分，得
y 2xd x x2 C
(3)
初始条件 通解
将(2)代入(3)，得 C 1, 故所求的曲线方程为
由(1)式，积分一次, 得
v0.4t20,
—(5)
s0.4tC1; —(3) 再积分一次, 得
s0.2t220t. —(6) 在(5)式中令v0, 得t50(s).
s0.2t2 C1tC2, —(4) 再把t50代入(6), 得
这里C1, C2都是任意常数.
s0.25022050500(m).
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•微分方程
得
ln y x3 C1
即
令 C eC1
说明: 在求解过程中每一步不一定 是同解变形,
减解.
因此可能增、
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y≡0 )
作业P172
1. (1)(2)(3)(4) 2. (1)(2)(5) 3. (1)
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
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❖几个基本概念
•微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解.
提示: 在例1中, 微分方程y2x的解有yx2C和yx21. 在例2中, 微分方程s0.4的解有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t2 20tC2和s0.2t220t.
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例2 验证函数 y 2sin x 3cos x是方程
y e P( x)dx elnC ,
高等数学基础教材课后答案
高等数学基础教材课后答案1. 第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义与性质1.3 常用极限和极限运算法则2. 第二章：导数与微分2.1 导数的定义与基本性质2.2 高阶导数与导数的计算2.3 微分的概念与运算3. 第三章：微分中值定理与导数应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 洛必达法则与泰勒公式3.3 极值与最值的判定3.4 应用题：切线与法线、曲率与弧长4. 第四章：不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本积分表与积分方法4.4 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法5. 第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的概念与性质5.2 偏导数与全微分5.3 隐函数与参数方程的求导5.4 高阶导数与泰勒展开5.5 一元函数与多元函数的导数比较6. 第六章：多元函数的极值与条件极值6.1 多元函数的极值判定与求解6.2 条件极值的求解6.3 隐函数的极值7. 第七章：重积分与曲线积分7.1 二重积分的概念与计算7.2 广义积分的概念与性质7.3 三重积分的概念与计算7.4 曲线积分的概念与计算8. 第八章：无界区域上的积分8.1 狄利克雷条件8.2 无界闭区域上的积分8.3 圆周率的计算9. 第九章：常微分方程9.1 一阶常微分方程的解法与应用9.2 高阶常微分方程的解法9.3 变量分离与恰当方程9.4 拉普拉斯变换与常系数线性微分方程10. 第十章：偏微分方程10.1 偏微分方程的基本概念10.2 分离变量方法与特征线法10.3 热传导方程与波动方程10.4 边界值问题与最值问题以上为《高等数学基础教材》课后习题答案的大致内容。
对于每个章节的习题，下面是一些示例题目及其解答作为参考：【第一章：函数与极限】习题1：已知函数f(x)=3x^2+2x-1，求f(-2)的值。
解答：将x=-2代入f(x)，得到f(-2)=3*(-2)^2+2*(-2)-1=13。
习题2：证明函数f(x)=x^3+2x^2-3x+5是奇函数。
常微分方程教材
第九章 微分方程一、教学目标与根本要求（1） 了解微分方程与其解、通解、初始条件和特解的概念。
（2） 掌握变量可别离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。
（3） 会用降阶法解以下方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。
（4） 理解二阶线性微分方程解的性质以与解的结构定理。
（5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
（6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以与它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
（7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
二、本章教学容的重点和难点1、理解和熟悉微分方程的一些根本概念；2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；3、熟悉线性方程的根底理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法；4、会列微分方程与其始值问题去解决实际问题。
三、本章教学容的深化和拓宽：1、别离变量法的理论根据；2、常用的变量代换；3、怎样列微分方程解应用题；4、黎卡提方程；5、全微分方程的推广；6、二阶齐次方程；7、高阶微分方程的补充；8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；9、求线性非齐次方程的一个特解；10、常数变易法。
本章的思考题和习题解以下方程〔第1-6题〕1、2)0(,)1(==+'+y x y y x2、()[]f dx x f e e x f xx x ,)(02⎰+=可微 3、21222sin 22sin 1X e y x y y x ++='•+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y5、21)0(,1)0(,022-='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'=7、可微函数)(x f 满足⎰-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、)(,,1)(21)(10x f f x f da ax f 求可微+=⎰； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成 45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器，多余的水便沉着器流出，问经过多少时间，两容器的含盐量相等？§9.1微分方程的根本概念一、容要点：先从实例引入建立几个微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；常微分方程：常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特解、积分曲线族的定义；二、教学要求和注意点了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以与积分曲线说明1：一个微分方程加上初始条件和初值问题的解是对某实际问题两种等价的描述形式。
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第九章 常微分方程（1、2）陈建英 主编第一节 微分方程的基本概念（1、2）教学目的：理解微分方程、方程的阶，方程的解、通解、初始条件和特解概念。
教学重点、难点： 微分方程的概念。
方程的通解与特解异同。
教学形式：多媒体教室里的讲授法 教学时间：90分钟 教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。
方程的定义：含有未知数的的等式。
它表达了未知量所必须满足的某种条件。
根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
20ax bx c ++= （一元二次方程） 214211x x x x -=++- （分式方程）= （无理方程）对未知量x 施行的是代数运算。
因此它们是代数方程。
而方程2sin3cos 3sin 20x x x -+-= （三角方程） 1272214x x x x ---++= （指数方程）2lg(1)2lg(3)ln 20x x +-++=（对数方程）对未知量x 所施行的是超越函数运算。
因此是超越方程。
二、新授课1。
微分方程的定义：含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微方程如果未知函数是一元函数，则其满足的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数，其导数就是偏导数，则其所满足的微分方程式称为偏微分方程。
例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。
一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '=例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。
二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。
类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。
其中F 是n +2个变量的函数。
这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。
例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。
例1 课堂练习：P1982）．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x yxy y -==++=+=+==+-=2。
微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d yx dx=的解。
如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
通解即为在一定范围内就是方程的所有解的一个共同表达式。
例如 312x C x C ++1y=6是微分方程22d yx dx=的通解。
在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，所得的解称为该微分方程的特解，这种附加条件称为初始条件，例如微分方程22d y x dx=，初始条件'(0)1,(0)2y y ==，则满足初始条件的特解为321x x ++1y=6。
带有初始条件的微分方程称为微方程的初值问题。
微分方程的通解不一定包含所有的解，不在通解中的解称为奇解。
由于微分方程的解是通过积分而获得的，所以我们也把微分方程的解称为微分方程的积分曲线，把通解称为微分方程的积分曲线族。
微分方程的解根据函数的形式可分为显式解和隐式解。
例2 P1943）验证下列函数(其中C 为任意常数)是否是相应的微分方程的解，是通解还是特解：222(1) '2,,; (2) '',sin ,3sin 4cos ; (3) 2,,.x x xy y y Cx y x y y y x y x x dy y y e y Ce dx====-==-===如果微分方程中关于未知函数及其导数()(),"(),...,()n t x t x t 'x(t),x 是一次有理整式，则称方程是线性的，称它是n 阶线性微分方程，一般形式为：(1)'11()()()()()()()()n n n t a t x t a t x t a t x t f t --++⋅⋅⋅++=(n)x如果≡f(t)0，则称为n 阶线性齐次方程；否则称为线性非齐次方程，这时称f(t)为线性方程的非齐次项。
如果微分方程不是线性的微分方程，则称为非线性方程。
三、小结微分方程定义及概念：微分方程的阶，通解，特解， 四、练习课堂完成P194选择题1第九章 常微分方程（3、4）第二节 如何建立微分方程（1）（视情况加成两节课） 第三节 微分方程的求解（2）（视情况加成两节课）教学目的：学会建立微分方程和掌握可分离变量微分方程的解法。
教学重点、难点：建立微分方程，可分离变量方程的解法，会用常微分方程解决一些简单的实际问题。
教学形式：多媒体教室里的讲授法 教学时间：90分钟 教学过程一、引入新课课堂提问：微分方程的定义，微分方程的阶、通解和特解的概念 二、新授课1。
微分方程的建立建立微分方程的基本思想是,把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来,从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式.建立微分方程属于构建数学模型的范畴,建立起实际问题的数学模型一般比较困难,因为这需要对与问题有关的自然规律有一个清晰的了解,同时也需用要有一定的数学知识.微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型.我们在建立微分方程的时候 ,只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素,而把其他的一些次要因素忽略掉,如果说的确考虑到了那些最主要的因素,那么我们所得到的微分方程,它的解与所考虑的物理现象比较接近的.例1 设曲线过点（1，2），且在该曲线上任意点M （,x y ）处的切线斜率为2x ，求此曲线方程。
解：设所求曲线为()y f x =，由导数的几何意义，()y f x =满足关系式2dyx dx=或2dy xdx = 又因曲线经过（1，2），即所求曲线应满足12x y==，对此关系式的两边积分得：22y xdx x C ==+⎰（其中C 是任意常数）221,1C C =+= 则所求的曲线方程为 21y x =+例 2 放射性元素轴由于不断有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。
由原子物理学知道，铀的衰变束率与当时未衰落变的原子的含量M 成正比。
已知t = 0时铀的含量为0M ，求在衰变过程中铀的含量M(t)随时间t 变化的规律。
解： 铀的衰变速率就是铀的含量M(t)对于时间的变化率，即dMdt。
由于铀的衰变速率与其含量成正比，设比例常数为(0)λλ>，故有M λ=-dMdt其中，等式右边的负号是由于在衰变过程中M(t)是单调减少的，从而有0<dMdt的缘故。
根据题意，初值条件为0M =t=0M| 。
例3 连续价格调整模型假设需求函数a bp =-D Q ，供给函数c dp =+sQ ，其中,,,0a b c d >。
一般地，如果需求大于供给，则价格上升；如果需求小于供给，则价格下降，于是，价格调整模型为(),0D s a Q Q a =->dpdt 即 ()(),0a b d p a a c a ++=->dpdt例4 研究悬挂重物的弹簧的振动。
假设弹簧的质量与重物的质量相比是很小，以至于可以略去不计，试建立其微分方程。
解： 当质量为m 的重物静止不动时，它所受到的两个力，即重力mg 和弹簧的恢复力，互相平衡。
如果把它向下拉（或向上推）一小段距离x ，然后放手。
根据常识，知道重物将作上下振荡动若干次，振幅愈来愈小，最后仍归于静止。
今取x 轴的正方向铅直向下，取重物静止不动时其重心的位置为x=0。
在振动过程中，重物受到三个力的作用：（1）重力mg ，方向向下；（2）弹簧的恢复力mg+cx ，其中c>0是弹簧的刚度，即把它拉长一个单位长度所需用的力。
这个力的方向要看mg+cx>0还是mg+cx<0而定。
在前一情况，弹簧的长度比没有悬挂重物时要长，因此恢复力方向向上；在后一情况则相反，恢复力向下；（3）空气阻力。
根据实验知道空气阻力的大小与重物运动的速度成正比，而方向与运动方向相反。
这样，应用牛顿第二定律，得2()x dxmg mg cx a dt dt =-+-2d m即 2x dxcx a dt dt=--2d m其中0a >称为阻尼系数2。
可分离变量的微分方程（1）可分离变量的微分方程：形如()()f x g y =dydx称为可分离变量的微分方程，其特点是方程的左端可分离为只含x 的函数f(x)与只含y 的函数g(y)的乘积。
（2）可分离变量的微分方程的求解步骤： 第一步 分离变量为 g(y)dy =f(x)dx第二步 将上式两端积分得： =⎰⎰g(y)dy f(x)dx设G(y).F(x)分别为g(y)、f(x)的原函数，则得微分方程()()f x g y =⋅dydx的通解为 ()()G y F x C =+例1 求解微分方程x y=-dy dx 例2 求微分方程2=dyxy dx的通解 例3 求微分方程)0dy xydx +=2(1+x 的通解sin x 2x=0dy 例4 求方程=y 满足初始条件y|=-1的特解dx在求解微分方程时，一般都会遇到求解不定积分，而有些不定积分虽然是存在的，却不能用初等函数表达所求的结果，通常称为“积不出”，因此，并非所有的微分方程都能求出精确解，我们只能求解一些特殊的微分方程，如可分离变量的微分方程等等，微分方程的应用广泛，数学家提出了许多求微分方程数值（近似解）的方法，在实际应用中发挥了很大作用。
三、小结建立微分方程；解可分离变量的微分方程。