第九章 常微分方程5-7分析
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数值分析第九章常微分方程数值解法
高斯-赛德尔迭代法
松弛法
通过迭代更新函数值并逐步放松约束 条件来逼近解，适用于刚性和非刚性 问题。
利用线性组合迭代函数值来逼近解， 具有更高的收敛速度和稳定性。
03
数值解法的稳定性分析
数值解法的稳定性定义
数值解法的稳定性是指当微分方程的初值有微小的扰动时， 其数值解的近似值的变化情况。如果数值解在微小扰动下变 化较小，则称该数值方法是稳定的。
更高的精度和稳定性。
数值逼近法
泰勒级数法
将微分方程的解展开为泰勒级数，通过截断级数来逼 近解。
多项式逼近法
利用多项式来逼近微分方程的解，通过选取合适的基 函数和系数来提高逼近精度。
样条插值法
利用样条函数来逼近微分方程的解，具有更好的光滑 性和连续性。
迭代法
雅可比迭代法
通过迭代更新函数值来逼近微分方程 的解，具有简单易行的优点。
初值和边界条件的处理
根据实际问题，合理设定初值和边界 条件，以获得更准确的数值解。
收敛性和误差分析
对数值解进行收敛性和误差分析，评 估解的精度和稳定性。
数值解法的应用案例分析
人口增长模型
通过数值解法求解人口增长模型，预测未来人口数量，为政策制 定提供依据。
化学反应动力学
利用数值解法研究化学反应的动力学过程，模拟反应过程和结果。
数值分析第九章常微分方 程数值解法
• 引言 • 常微分方程数值解法的基本思想 • 数值解法的稳定性分析 • 数值解法的收敛性和误差分析 • 数值解法的实现和应用案例
01
引言
常微分方程的应用背景
自然科学
描述物理、化学、生物等自然 现象的变化规律。
工程领域
控制系统设计、航天器轨道计 算等。
松弛法
通过迭代更新函数值并逐步放松约束 条件来逼近解，适用于刚性和非刚性 问题。
利用线性组合迭代函数值来逼近解， 具有更高的收敛速度和稳定性。
03
数值解法的稳定性分析
数值解法的稳定性定义
数值解法的稳定性是指当微分方程的初值有微小的扰动时， 其数值解的近似值的变化情况。如果数值解在微小扰动下变 化较小，则称该数值方法是稳定的。
更高的精度和稳定性。
数值逼近法
泰勒级数法
将微分方程的解展开为泰勒级数，通过截断级数来逼 近解。
多项式逼近法
利用多项式来逼近微分方程的解，通过选取合适的基 函数和系数来提高逼近精度。
样条插值法
利用样条函数来逼近微分方程的解，具有更好的光滑 性和连续性。
迭代法
雅可比迭代法
通过迭代更新函数值来逼近微分方程 的解，具有简单易行的优点。
初值和边界条件的处理
根据实际问题，合理设定初值和边界 条件，以获得更准确的数值解。
收敛性和误差分析
对数值解进行收敛性和误差分析，评 估解的精度和稳定性。
数值解法的应用案例分析
人口增长模型
通过数值解法求解人口增长模型，预测未来人口数量，为政策制 定提供依据。
化学反应动力学
利用数值解法研究化学反应的动力学过程，模拟反应过程和结果。
数值分析第九章常微分方 程数值解法
• 引言 • 常微分方程数值解法的基本思想 • 数值解法的稳定性分析 • 数值解法的收敛性和误差分析 • 数值解法的实现和应用案例
01
引言
常微分方程的应用背景
自然科学
描述物理、化学、生物等自然 现象的变化规律。
工程领域
控制系统设计、航天器轨道计 算等。
常微分方程的解法及应用(常见解法及举实例)
华北水利水电大学
常微分方程的解法及应用 （常见解法及举实例）
课 程 名 称： 高等数学（2） 专 业 班 级： 成 员 组 成：
联 系 方 式：
2012 05月25 年日
摘要
常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的 研究中。求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分， 如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决 问题。本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结： 先对常微分方程
解法：
若得其解为则 原方程通解为
2.4二阶线性微分方程解的结构
形如： 若时，（方程一）称为：二阶线性齐次微分方程。
若时，（方程二）称为：二阶非齐次微分方程
2.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构
定理1 :如果函数与是方程(5.2)的两个解, 则
也是（方程一)的解，其中是任意常数.
定理2 : 如果与是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则
2.1.4 伯努利方程
形如：
当时， 一阶线性微分方程（公式法） 当时， 可分离变量微分方程 求通解过程： 作变量代换
（积分因子公式法）
2.2 一阶微分方程的应用举例
例1细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内 由100增长为400、那么前12h后总数是多少? 分析：
例2。。某人的食量是2500 cal／天，其中1200 cal用于基本的 新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16 cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量 100%的有效，而1kg脂肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是 怎样随时间变化的。 输入率=2500 cal／天
定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微 分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程， 并且用具体的实例分析常微分方程的应用。
常微分方程的解法及应用 （常见解法及举实例）
课 程 名 称： 高等数学（2） 专 业 班 级： 成 员 组 成：
联 系 方 式：
2012 05月25 年日
摘要
常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的 研究中。求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分， 如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决 问题。本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结： 先对常微分方程
解法：
若得其解为则 原方程通解为
2.4二阶线性微分方程解的结构
形如： 若时，（方程一）称为：二阶线性齐次微分方程。
若时，（方程二）称为：二阶非齐次微分方程
2.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构
定理1 :如果函数与是方程(5.2)的两个解, 则
也是（方程一)的解，其中是任意常数.
定理2 : 如果与是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则
2.1.4 伯努利方程
形如：
当时， 一阶线性微分方程（公式法） 当时， 可分离变量微分方程 求通解过程： 作变量代换
（积分因子公式法）
2.2 一阶微分方程的应用举例
例1细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内 由100增长为400、那么前12h后总数是多少? 分析：
例2。。某人的食量是2500 cal／天，其中1200 cal用于基本的 新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16 cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量 100%的有效，而1kg脂肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是 怎样随时间变化的。 输入率=2500 cal／天
定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微 分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程， 并且用具体的实例分析常微分方程的应用。
常微分方程及其应用全文
件y x x0
y0
的特解这样一个问题，称为一阶微
分方程的初值问题。
记为
F x, y, y 0
y x x0
y0
例1 验证函数 x C1 cos kt C2 sin kt
是微分方程
d2x dt 2
k2x
0(k
0)
的通解。
例2 求例1中 满足初始条件
x A ，dx t 0
0 的特解。
dt t 0
直到t=T 时， F T 。若0 开始时质点位于原点，且
初速度为0，求这质点的运动规律。
F(t)
F
F0
0
x
Tt
y f x, y
设
y
p
,则 y
dp dx
p
方程可化为 p f x, p
通解为 p x,C1
得到微分方程
dy dx
x, C1
分离变量或者直接积分得到通解
y x,C1 dx C2
判断下列方程是否为微分方程：
x2 xy y2 0 否
x y 0 是
3y c 是
二、微分方程的阶
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导 数的阶数。
dy 2x
一阶
dx
x2 y xy 4 y 3x 三阶
y4 2 y 12 y 5y sin 2x 三阶
三、微分方程的一般形式
1、一阶微分方程
y f y, y 设 y p ，则
y dp dp dy p dp dx dy dx dy
原方程化为 又得微分方程 dy
dx
分离变量，得通解
y,C1
dy
y,C1
x
C2
例 求方程 y 3 y 满足 y x0 1 的特解。
常微分方程的常见解法
曲线（称为积分曲线），且 fx,x就是该曲线上
的点 x,x处的切线斜率，特别在 x0, y0切线斜率 就是 f x0,y0 尽管我们不一定能求出方程 1.3.1 的 解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点 x, y
的切线斜率是 f x, y。 如果我们在区域D内每一点 x, y 处，都画上一个
可化为齐次方程的方程
形如
dyf(a xb yc) dx a1b1yc1
的方程可化为齐次方程.
其中 a,b,c,a1,b1,c1都是常数.
1. 当 cc10时, 此方程就是齐次方程.
2. 当 c2c120 时, 并且
ab
(1)
a1
0 b1
此时二元方程组 axbyc0 a1xb1yc0
有惟一解 x,y.
例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在
开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩
小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
解:设t时刻雪球的体积为 V ( t ) ，表面积为 S ( t ) ，
由题得
dV(t) kS(t)
dt
12 2
球体与表面积的关系为 S(t)(4)333V3
12
引入新常数r (4)333k 再利用题中的条件得
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
《常微分方程》全套课件(完整版)
捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结 果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规 律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自 然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
常微分方程数值解法5262115页PPT文档
x 1 ( t ) 表示时刻 t 食饵的密度，x 2 ( t ) 表示捕食者的密度；
r 表示食饵独立生存时的增长率；
d 表示捕食者独立生存时的死亡率；
a 表示捕食者的存在对食饵增长的影响系数，反映捕
食者对食饵的捕获能力；
b 表示食饵的存在对捕食者增长的促进系数，反映食
饵对捕食者的喂养能力
150 100
令 y 1 y ,y 2 y ',y 3 y '', ,y n y ( n 1 )
可以将以上高阶微分方程化为如下一阶常微分方程组
y1 ' y2 y2 ' y3 yn ' an(x)y1
a1(x)yn f (x)
例：P120,1(a),Bessel方程
常微分方程的数值解
一般地，凡表示未知函数，未知函数的导 数与自变量之间的关系的方程叫做微分方 程．未知函数是一元函数的，叫常微分方 程;未知函数是多元函数的，叫做偏微分方 程．
如
y ' x y'x2y2 y''y'xy
Matlab实现 [t,x]=ode45(f,ts,x0,options,p1,p2,......)
50 0 0
30 20 10
0 0
10
20
50
30
20
10
0
30
0
10
8
6
4
2
100
0
50
100
150
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高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a ( n 1 ) ( x ) y ' a n ( x ) y f( x )
r 表示食饵独立生存时的增长率；
d 表示捕食者独立生存时的死亡率；
a 表示捕食者的存在对食饵增长的影响系数，反映捕
食者对食饵的捕获能力；
b 表示食饵的存在对捕食者增长的促进系数，反映食
饵对捕食者的喂养能力
150 100
令 y 1 y ,y 2 y ',y 3 y '', ,y n y ( n 1 )
可以将以上高阶微分方程化为如下一阶常微分方程组
y1 ' y2 y2 ' y3 yn ' an(x)y1
a1(x)yn f (x)
例：P120,1(a),Bessel方程
常微分方程的数值解
一般地，凡表示未知函数，未知函数的导 数与自变量之间的关系的方程叫做微分方 程．未知函数是一元函数的，叫常微分方 程;未知函数是多元函数的，叫做偏微分方 程．
如
y ' x y'x2y2 y''y'xy
Matlab实现 [t,x]=ode45(f,ts,x0,options,p1,p2,......)
50 0 0
30 20 10
0 0
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0
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150
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高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a ( n 1 ) ( x ) y ' a n ( x ) y f( x )
高等数学 常微分方程PPT课件
第12页/共35页
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
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微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
高等数学D第9章常微分方程
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
G( y ) F ( x ) C
称为微分方程的隐式通解.
10
例
求方程 x y y ln y 的通解 .
1 1 dy dx 解 y ln y x 1 1 ln yd ln y x dx
ln ln y ln x ln C ln Cx
2
9.1 微分方程的基本概念
例 几何问题 平面上一条曲线,任意一点切线的斜率等于
这点的纵坐标, 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y( x )
dy y dx
可以验证
y ce
x
满足这个方程, 其中C为任意常数.
3
例 自由落体运动 一个物体在没有空气阻力的情况下, 从某一高处放手下落时的速度与下落时间成正比,求该物 体下落距离与时间的函数关系.
2x
f ( x) f ( x ) Ce 2 x 两边积分 ln f ( x ) 2 x ln C 由原关系式 f (0) ln 2 C ln 2, 得 f ( x ) e 2 x ln 2.
15
9.3
一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式 一阶 线性
dy p( x ) y q( x ) 自由项 dx 当q( x ) 0, 上面方程称为齐次的; 当q( x ) 0, 上面方程称为非齐次的.
P ( x ) dx d x C ] [ Q( x )e
解一阶线性微分方程，可以直接利用这个公式，
也可以用常数变易法.
21
一阶微分方程
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx d x C ] [ Q( x )e
数值分析第9章常微分方程数值解法
这个初值问题的准确解为 yx11x2，
可用来检验近似解的准确程度。
从上表最后一列，我们看到取步长 h 0.1
进行计算，数值解已达到了一定的精度。
欧拉公式的改进： 隐式欧拉法 /* implicit Euler method */
向后差商近似导数
y(x1)y(x1) hy(x0)
洛伦兹方程是大气流体动力学模型的一个简化的常微分方程组：
dx dt
x
y
dy
d
t
rx
y
xz
dz dt
bz
xy
该方程组来源于模拟大气对流，该模型除了在天气预报中有显 著的应用之外，还可以用于研究空气污染和全球侯变化。洛伦 兹借助于这个模型，将大气流体运动的强度x与水平和垂直方
（Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ）
问题驱动：蝴蝶效应 洛伦兹吸引子(Lorenz attractor)是由MIT大学的气象学家E dward Lorenz在1963年给出的，他给出第一个混沌现象——蝴 蝶效应。
图10.1.1蝴蝶效应示意图
则上述IVP存在唯一解。
求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值
yi y(xi)(i1 ,...,n)
的方法称为微分方程的数值解法。
y1, , yn 称为微分方程的数值解。
称节点间距 h i x i 1 x i (i 0 ,.,.n . 1 )为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。
常微分方程数值解-PPT精品文档
称为局部截断误 差。显然，这个 y ( x ) y ( x ) h 误差在逐步计算 n 1 n y ' ( x ) y ' ' ( ) n n 过程中会传播， h 2 积累。因此还要 y ( x ) y ( x ) h n 1 n f ( x , y ( x )) y ' ' ( ) 估计这种积累 n n n h 2
对于一个常微分方程：
9.1 Euler方法
dy y ' f( x ,y ), x [ a , b ] dx 通常会有无穷个解。如：
dy cos( x ) y sin( x ) a , a R dx 因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出， 如下面的初值问题： dy f (x , y) , x [a ,b ] dx )y 0 y(a 为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y 满足Lipschitz条件：
求 y ( x ) 在 x i 上的近似值
y i 。 { y i } 称为分割 I
上的格点函数
我们的目的，就是求这个格点函数
② 由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足： A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容 ③ 解差分方程，求出格点函数
数值方法，主要研究步骤②，即如何建立差分方程，并研究 差分方程的性质。
x0
x1
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故 称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。 一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。
数值分析--第9章常微分方程数值解
数值分析--第9章常微分⽅程数值解数值分析--第9章常微分⽅程数值解第九章常微分⽅程数值解法许多实际问题的数学模型是微分⽅程或微分⽅程的定解问题。
如物体运动、电路振荡、化学反映及⽣物群体的变化等。
常微分⽅程可分为线性、⾮线性、⾼阶⽅程与⽅程组等类；线性⽅程包含于⾮线性类中，⾼阶⽅程可化为⼀阶⽅程组。
若⽅程组中的所有未知量视作⼀个向量，则⽅程组可写成向量形式的单个⽅程。
因此研究⼀阶微分⽅程的初值问题=≤≤=0)(),(y a y b x a y x f dx dy ， (9-1)的数值解法具有典型性。
常微分⽅程的解能⽤初等函数、特殊函数或它们的级数与积分表达的很少。
⽤解析⽅法只能求出线性常系数等特殊类型的⽅程的解。
对⾮线性⽅程来说，解析⽅法⼀般是⽆能为⼒的，即使某些解具有解析表达式，这个表达式也可能⾮常复杂⽽不便计算。
因此研究微分⽅程的数值解法是⾮常必要的。
只有保证问题(9-1)的解存在唯⼀的前提下，研究其数值解法或者说寻求其数值解才有意义。
由常微分⽅程的理论知，如果(9-1)中的),(y x f 满⾜条件（1）),(y x f 在区域} ),({+∞<<∞-≤≤=y b x a y x D ，上连续；（2）),(y x f 在D 上关于y 满⾜Lipschitz 条件，即存在常数L ，使得y y L y x f y x f -≤-),(),(则初值问题(9-1)在区间],[b a 上存在惟⼀的连续解)(x y y =。
在下⾯的讨论中，我们总假定⽅程满⾜以上两个条件。
所谓数值解法，就是求问题(9-1)的解)(x y y =在若⼲点b x x x x a N =<<<<= 210处的近似值),,2,1(N n y n =的⽅法。
),,2,1(N n y n =称为问题(9-1)的数值解，n n x x h -=+1称为由n x 到1+n x 的步长。
今后如⽆特别说明，我们总假定步长为常量。
数值分析(本科)常微分方程数值解
三、数值积分与多步方法
������������+������ = ������������ + ������(������������������ ������������ + ������������������ ������������−������ + ⋯ + ������������������ ������������−������ )
第九章
常微分方程数值解
一、常微分方程初值问题
一阶常微分方程初值问题 ������′ = ������ ������, ������ ，������ ∈ ,������, ������������ ������������ = ������������ 由常微分方程理论知：如果函数������(������, ������)在区域������������ 上连续，且关 于变量满足李普希茨条件，即任意������ ∈ ������, ������ ，������������ ，������������ ∈ ������，存 在正常数 L 满足 |������ ������, ������������ − ������ ������, ������������ | ≤ ������|������������ − ������������ | 那么该初值问题存在唯一解，且解连续依赖于初始条件和右端 项。
三、数值积分与多步方法
若取������ + ������个点为������������+������ , ������������ , … , ������������−������+������ 类似地可以导出
∗ ∗ ������ ������������+������ = ������������ + ������(������∗ ������ + ������ ������ + ⋯ + ������ ������ ������−������ ������������ ������−������ ) ������������ ������������
第9章：常微分方程的级数解法
p( z ) =
k = −1
∑
∞
pk ( z − z0 ) k ,
q( z ) =
k = −2
∑
∞
qk ( z − z 0 ) k ,
这时方程的二个线性独立解(称为正则解)为
14
w1 ( z ) = ( z − z0 )
s1
∑ a (z − z )
k =0 ∞ k 0 k =0 k 0
∞
k
w2 ( z ) = ( z − z0 ) 或
−l − 1 +2k 2
24
半奇数 阶 Bessel 函数可用初等函数表示
2 ∞ 1 x k J 1 ( x) = ( −1) ∑ 2 πx k =0 ( 2k + 1)! 2 2 J − 1 ( x) = cos x 2 πx
2 k +1
（2）Legendre 方程 d 2 dy (1 − x ) + l (l + 1) y = 0 dx dx 问题关键：变系数方程，求解析解的困难、解 的特性如何？
2
标准形式
d w dw + p( z ) + q( z ) w = 0 2 dz dz
2
z一般是复 的，即在 复平面上 考虑方程
s2
∑b (z − z )
∞
k
′ ( z ) = Aw1 ( z ) ln(z − z0 ) + ∑ bk ( z − z0 ) s2 + k w2
k =0
其中 s1 和 s2 是判定方程的二个根（且s1> s2 ）
s( s − 1) + sp−1 + q− 2 = 0
方程的解与 s1和s2的关系为 s1-s2≠整数，解为w1 和 w2 s1-s2=整数(包括 0)，解为w1 和
k = −1
∑
∞
pk ( z − z0 ) k ,
q( z ) =
k = −2
∑
∞
qk ( z − z 0 ) k ,
这时方程的二个线性独立解(称为正则解)为
14
w1 ( z ) = ( z − z0 )
s1
∑ a (z − z )
k =0 ∞ k 0 k =0 k 0
∞
k
w2 ( z ) = ( z − z0 ) 或
−l − 1 +2k 2
24
半奇数 阶 Bessel 函数可用初等函数表示
2 ∞ 1 x k J 1 ( x) = ( −1) ∑ 2 πx k =0 ( 2k + 1)! 2 2 J − 1 ( x) = cos x 2 πx
2 k +1
（2）Legendre 方程 d 2 dy (1 − x ) + l (l + 1) y = 0 dx dx 问题关键：变系数方程，求解析解的困难、解 的特性如何？
2
标准形式
d w dw + p( z ) + q( z ) w = 0 2 dz dz
2
z一般是复 的，即在 复平面上 考虑方程
s2
∑b (z − z )
∞
k
′ ( z ) = Aw1 ( z ) ln(z − z0 ) + ∑ bk ( z − z0 ) s2 + k w2
k =0
其中 s1 和 s2 是判定方程的二个根（且s1> s2 ）
s( s − 1) + sp−1 + q− 2 = 0
方程的解与 s1和s2的关系为 s1-s2≠整数，解为w1 和 w2 s1-s2=整数(包括 0)，解为w1 和
常微分方程的数值解
欧拉方法的公式为$y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)$，其中$h$是步长，$f(x, y)$是微分方程的右端函数。
欧拉方法的实现
确定步长和初始值
根据问题的性质和精度要求，选择合适的步长 和初始值。
迭代计算
根据欧拉方法的公式，迭代计算下一个点的值。
终止条件
当达到预设的迭代次数或误差范围时，停止迭代。
常微分方程的应用
总结词
常微分方程在自然科学、工程技术和社会科学等领域有广泛应用。
详细描述
在物理学中，常微分方程可以描述物体的运动规律、电磁波的传播等；在化学中，可以描述化学反应 的动力学过程；在社会科学中，可以用于研究人口增长、经济趋势等。此外，常微分方程还在控制工 程、航空航天等领域有广泛应用。
确定步长和初始值
在应用龙格-库塔方法之前，需要 选择合适的步长和初始值。步长 决定了迭代的精度，而初始值则 用于启动迭代过程。
编写迭代公式
根据选择的步长和初始值，编写 龙格-库塔方法的迭代公式。该公 式将使用已知的函数值和导数值 来计算下一步的函数值。
迭代求解
按照迭代公式进行迭代计算，直 到达到所需的精度或达到预设的 最大迭代次数。
欧拉方法的误差分析
截断误差
由于欧拉方法只使用了微分方程的一次项， 因此存在截断误差。
全局误差
全局误差是实际解与近似解之间的最大偏差。
局部误差
由于每一步都使用了上一步的结果，因此存 在局部误差。
稳定性
欧拉方法是稳定的，但步长和初始值的选择 会影响其稳定性和精度。
04 龙格-库塔方法
龙格-库塔方法的原理
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔方法、改进的欧拉方法、预估 校正方法和步进法等。
欧拉方法的实现
确定步长和初始值
根据问题的性质和精度要求，选择合适的步长 和初始值。
迭代计算
根据欧拉方法的公式，迭代计算下一个点的值。
终止条件
当达到预设的迭代次数或误差范围时，停止迭代。
常微分方程的应用
总结词
常微分方程在自然科学、工程技术和社会科学等领域有广泛应用。
详细描述
在物理学中，常微分方程可以描述物体的运动规律、电磁波的传播等；在化学中，可以描述化学反应 的动力学过程；在社会科学中，可以用于研究人口增长、经济趋势等。此外，常微分方程还在控制工 程、航空航天等领域有广泛应用。
确定步长和初始值
在应用龙格-库塔方法之前，需要 选择合适的步长和初始值。步长 决定了迭代的精度，而初始值则 用于启动迭代过程。
编写迭代公式
根据选择的步长和初始值，编写 龙格-库塔方法的迭代公式。该公 式将使用已知的函数值和导数值 来计算下一步的函数值。
迭代求解
按照迭代公式进行迭代计算，直 到达到所需的精度或达到预设的 最大迭代次数。
欧拉方法的误差分析
截断误差
由于欧拉方法只使用了微分方程的一次项， 因此存在截断误差。
全局误差
全局误差是实际解与近似解之间的最大偏差。
局部误差
由于每一步都使用了上一步的结果，因此存 在局部误差。
稳定性
欧拉方法是稳定的，但步长和初始值的选择 会影响其稳定性和精度。
04 龙格-库塔方法
龙格-库塔方法的原理
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔方法、改进的欧拉方法、预估 校正方法和步进法等。
高等数学：第九章 常微分方程5-7
y ex (C1 cos x C2 sin x)
例1 求方程 y 4 y 4 y 0的通解.
解 特征方程为 r 2 4r 4 0 , 解得 r1 r2 2 ,
故所求通解为 y (C1 C2 x)e2x .
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在 水中振动的周期为2 秒，求浮筒的质量。
解 设浮筒的质量为 m 平衡时 圆柱浸入水中深度为 l
浮力 R2l g 重力 mg
R2l g mg
设 t 时刻浮筒上升了 x 米 此时
浮力 R2(l x)g 重力 mg
由Newton第二定律
m
d2 dt
x
2
R2
(l
x)g
mg
R2(l x)g R2l g
R2gx
d2x dt 2
R2 g
m
x
0
记 2 R2g
m
d2 dt
x
2
2
x
0
x c1 cost c2 sint
2
T
gR2
m
195.25(kg)
103 kg m3 g 9.8m s2 R 0.25m 3.14
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(r 1)(r 2 1)2 0, 特征根为 r1 1, r2 r3 j, r4 r5 j,
故所求通解为 y C1ex (C2 C3 x)cos x (C4 C5 x)sin x.
例：求微分方程 yy y2 y2 ln y 的通解.
解:
例1 求方程 y 4 y 4 y 0的通解.
解 特征方程为 r 2 4r 4 0 , 解得 r1 r2 2 ,
故所求通解为 y (C1 C2 x)e2x .
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在 水中振动的周期为2 秒，求浮筒的质量。
解 设浮筒的质量为 m 平衡时 圆柱浸入水中深度为 l
浮力 R2l g 重力 mg
R2l g mg
设 t 时刻浮筒上升了 x 米 此时
浮力 R2(l x)g 重力 mg
由Newton第二定律
m
d2 dt
x
2
R2
(l
x)g
mg
R2(l x)g R2l g
R2gx
d2x dt 2
R2 g
m
x
0
记 2 R2g
m
d2 dt
x
2
2
x
0
x c1 cost c2 sint
2
T
gR2
m
195.25(kg)
103 kg m3 g 9.8m s2 R 0.25m 3.14
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(r 1)(r 2 1)2 0, 特征根为 r1 1, r2 r3 j, r4 r5 j,
故所求通解为 y C1ex (C2 C3 x)cos x (C4 C5 x)sin x.
例：求微分方程 yy y2 y2 ln y 的通解.
解:
第九章 常微分方程数值解法2
K1 = f ( xn , yn ) = λ yn 2 h h h λh K2 = f ( xn + , yn + K1 ) = λ ( yn + K1 ) = (λ + ) yn 2 2 2 2 2 3 2 λh λh h h h ) yn + K3 = f ( xn + , yn + K2 ) = λ( yn + K2 )= (λ + 2 4 2 2 2 K4 = f ( xn + h, yn + hK3 ) = λ ( yn + hK3 ) = λ yn + λhK3 2 2 3 3 4 4 λ h λh λ h yn+1 = (1 + λ h + ) yn + + 2! 3! 4!
其中 K1 = f ( xn , yn ), K 2 = f ( xn + a2 h, yn + hb21 K1 ). 考察局部阶段误差，使其精度最高来确定待定系数。 考察局部阶段误差，使其精度最高来确定待定系数。 确定待定系数
1 2 y( xn+1 ) = y( xn ) + hy′( xn ) + h y′′( xn ) + O( h3 ), 2 令 yn = y( xn ) 则
= f x′ ( xn , y( xn )) + f y′ ( xn , y( xn )) f ( xn , y( xn ))
1 1 若令 1 − c1 − c2 = 0, a2 c2 = , b21c2 = ，则 2 2 * Tn+1 = y( xn+1 ) − yn+1 = O(h3 ),
此时， 阶显式R-K法。 此时，称（***）为2级2阶显式 ） 级 阶显式 法
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则得特征方程和特征根
2 p q 0,
1
1 2
( p
p2
4q )，2
1 2
( p
p2 4q ).
y'' py'qy 0，p, q为常数。
2 p q 0,
1
1 2
( p
p2
4q )，2
1 2
( p
p2 4q ).
(1). λ1，λ2为相异实根，则方程通解为
y(x) C1e1x C2e2x，C1, C2为任意常数.
y e3x (C1 cos 2x C2 sin 2x)
例1 求通解 y 2 y 3 y 0
特征根 两个不等的实根r1, r2
两个相等的实根r1=r2=r
一对共轭复根r1,2= i ( 0)
方程的通解 y C1er1x C2er2x
y (C1 C2 x)erx
y (C1 cos x C2 sin x)ex
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.
x)都是方程的解， x)
y1 (
x)
y2
(
x)
1 2
(
y1* (x)
Байду номын сангаас
y2* (x))
ex
cos
1 2i
(
y1* (x)
y2* (x))
ex
sin
x
也是方程的解.
x
从而y(x) C1y1(x) C2 y2 (x)也是方程的解。
y1(x)和y2 (x)的朗斯基行列式说明它 们线性无关.
三种情况所对应的情况的形式列表
首先 y1(x) e1x和y2 (x) e2x都是方程的解， y(x) C1e1x C2e2x也是方程的解, C1, C2为任意常数.
其次 y1(x)和y2 (x)的朗斯基行列式说明它 们线性无关.
w(x) y1(x) y'1 (x)
y2 (x)
e1x
y'2 (x)
e1x 1
e 2 x
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1er1 x C2er2 x y (C1 C2 x)er2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
例3：已知y1 xex e2x , y2 xex , y3 xex e2x ex 是二阶常系数线性非齐次微分方程
例7. 求解方程 y''y' 6y = 0 的通解.
解：特征方程是 r2 r 6 = 0
其根r1=3, r2= 2是两个相异实根, 故所求通解为
y = C1e3x + C2e2x.
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
(3). λ1，λ2为共轭复根，即λ1=α+iβ, λ2=α-iβ, 则方程通解为
y(x) (C1 cos x C2 sin x)ex，C1,C2为任意常数.
y1* y2*
( (
x) x)
e( i ) x e( i ) x
ex (cosx i sin ex (cosx i sin
x)都是方程的解. x)
y C1er1 x C2er2 x y (C1 C2 x)er2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
解得 r1，2 1 2 j ,
故所求通解为
y ex (C1 cos2x C2 sin 2x).
(3). λ1，λ2为共轭复根，即λ1=α+iβ, λ2=α-iβ, 则方程通解为
y(x) (C1 cos x C2 sin x)ex，C1, C2为任意常数 .
y1* y2*
( x) (x)
e( i ) x e( i ) x
ex (cos ex (cos
x x
i sin i sin
y py qy ex 2xex 的三个特解，求此微分方程。
解：y1 y3 ex , 特征根r1 1 y1 y2 e2x , 特征根r2 2
特征方程为：(r 1)(r 2) 0 r2 r 2 0
齐次方程为y y 2 y 0
微分方程为y y 2 y e x 2xex
y1(x)和y2 (x)的朗斯基行列式说明它 们线性无关 .
w(x) y1(x) y'1 (x)
y2 (x) y'2 (x)
e1x
e1x 1
xe1x
e1x 1xe1x
e21x
0.
y'' py'qy 0，p, q为常数。
2 p q 0,
1
1 2
( p
p2
4q )，2
1 2
( p
p2 4q ).
y ex (C1 cos x C2 sin x)
例1 求方程 y 4 y 4 y 0的通解.
解 特征方程为 r 2 4r 4 0 , 解得 r1 r2 2 ,
故所求通解为 y (C1 C2 x)e2x .
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
例8. 求解方程 4y'' + 12y' + 9y = 0. 解：特征方程是
4r2 +12r + 9 = 0.
此方程有二重实根
r1
r2
3. 2
故所求通解为
3x
y (C1 C2 x)e 2 .
例9. 求解方程 y''6y'+13y=0. 解：特征方程是
r2 6r + 13 = 0. 其根 r1,2=32i为一对共轭复根, 故所求通解为
e2x 2
e ( (12 ) x 2
1 )
0.
y'' py'qy 0，p, q为常数。
2 p q 0,
1, 2
1 2
p
(2). λ1 =λ2，即特征方程有二重特征根,则方程通解为
y(x) C1e1x C2 xe1x，C1, C2为任意常数.
y1(x) e1x和y2 (x) xe1x都是方程的解， y(x) C1e1x C2 xe1x也是方程的解, C1, C2为任意常数.
§5 二阶线性常系数微分方程
1. 线性常系数齐次方程 y'' py'qy 0，p, q为常数。
设方程的解为 y ex
则得 2ex pex qex 0,
(2 p q)ex 0,
2 p q 0.
特征方程
1. 线性常系数齐次方程 y'' py'qy 0，p, q为常数。
设方程的解为 y ex