圆知识点总结及对应测验

圆考点一、圆的相关概念1、圆的定义2、圆的几何表示: 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）（3）半圆（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性1、圆的轴对称性2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点六、圆周角定理及其推论1、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点七、点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有： d<r ⇔点P 在⊙O 内； d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外。

考点八、过三点的圆1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆：3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点 4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件） 圆内接四边形对角互补。

考点九、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d,那么： 直线l 与⊙O 相交⇔d<r ； 直线l 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线l 与⊙O 相离⇔d>r ； 考点十、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中， ∵四边ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒DAE C ∠=∠ 考点十一、切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

考点十二、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =；PO 平分BPA ∠ 考点十三、圆幂定理1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

DB即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅ 考点十四、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：12O O 垂直平分AB 。

即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点∴12O O 垂直平分AB 考点十五、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt O O C ∆中，221AB CO ==（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 考点十六、三角形的内切圆和外接圆 1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，考点十七、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系2、圆心距3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，那么 两圆外离⇔d>R+r 两圆外切⇔d=R+r两圆相交⇔R-r<d<R+r （R ≥r ） 两圆内切⇔d=R-r （R>r ）A两圆内含⇔d<R-r （R>r ）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

考点十八、圆内正多边形的计算 1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

3、正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在R t B O D ∆中进行：::3:2O D B D O =；4、正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::OE AE OA = 5、正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =. 考点二十、正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性、中心对称性注：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，考点二十一、弧长和扇形面积 1、弧长公式n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180rn l π=2、扇形面积公式 lR R n S 213602==π扇3、圆锥的侧面积 rl r l S ππ=∙=221其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。

考点二十二、内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c ，则内切圆的半径r=2cb a -+ 。

（3）S △ABC =)(21c b a r ++，其中a ，b ，c 是边长，r 是内切圆的半径。

lO精选考题考点一：与圆相关概念的应用1.运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题例如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（）.Ａ. 30°Ｂ. 45°Ｃ. 50°Ｄ. 602.利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系【例3】已知⊙O的半径为3cm，A为线段OM的中点，当OA满足：（1）当OA=1cm时，点M与⊙O的位置关系是 .（2）当OA=1.5cm时，点M与⊙O的位置关系是 .（3）当OA=3cm时，点M与⊙O的位置关系是 . 【例4】⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）.Ａ. 相交Ｂ. 相切Ｃ. 相离Ｄ. 无法确定【例5】两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置关系是______________.3.正多边形和圆的有关计算【例6】已知正六边形的周长为72cm，求正六边形的半径，边心距和面积.4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算【例7】如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为（结果保留）.5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算【例8】已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是 .考点二：圆中计算与证明的常见类型1.利用垂径定理解题垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心2.利用“直径所对的圆周角是直角”解题【例2】如图，在⊙O的内接△ABC中，CD是AB边上的高，求证：∠ACD=∠OCB.3.利用圆内接四边形的对角关系解题圆内接四边形的对角互补【例3】如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C＝45°，AB＝2，则点B到AE的距离为________.4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.。