圆的知识点总结

圆的知识点总结

(一)圆的有关性质

[知识归纳]

1. 圆的有关概念：

圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆;

弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高;

圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。

２. 圆的对称性

圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;

圆具有旋转不变性。

３. 圆的确定

不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4. 垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；

推论1

（１）平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理及推论１可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就

可推出另外三个:①过圆心；②垂直于弦;③平分弦（不是直径);

④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或

两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

６. 圆周角

定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;

推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

7. 圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。

※８. 轨迹

轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。

（1)平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心,定长为半径的圆；

（2)平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。

[例题分析］

例1. 已知:如图１，在⊙O中，半径OＭ⊥弦AB于点N。

图1

①若AB＝，ＯN=1，求MN的长;

②若半径ＯＭ=R，∠ＡOB=120°,求ＭＮ的长。

解:①∵ＡB＝,半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝

∵ON=1,由勾股定理得OＡ=2

∴MN=OＭ－ON=OA-ON=１

②∵半径OＭ⊥AB，且∠AOＢ=1２0°∴∠AOＭ＝6０°

∵ON=OA·cos∠ＡON=ＯM·cｏs6０°=

∴

说明：如图1，一般地,若∠AＯB＝２n°，OM⊥AB于N,ＡO＝R,ON＝h,则AB＝２Rsin n°＝2htaｎn°=

例2．已知:如图2，在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=２5°，以点Ｃ为圆心、ＡC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数。

图2

分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关;弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。

解法一:（用垂径定理求）如图2－1,过点C作CE⊥AＢ于点E,交于点Ｆ。

图２-1

∴

又∵∠ACＢ=９0°,∠B=25°，∴∠FCA=2５°

∴的度数为25°,∴的度数为５0°。

解法二:（用圆周角求)如图2－2,延长AC交⊙C于点E,连结ED

图２－2

∵AE是直径,∴∠ＡDＥ=９0°

∵∠ACＢ=90°,∠B=25°，∴∠Ｅ＝∠B=25°

∴的度数为5０°。

解法三:（用圆心角求）如图2－３，连结ＣD

图2-3

∵∠ACＢ＝90°,∠Ｂ＝25°,∴∠A＝６5°

∵CA＝ＣＤ,∴∠ADC=∠A=65°

∴∠AＣD＝5０°，∴的度数为5０°。

例3. 已知：如图3，△ＡBC内接于⊙Ｏ且AB＝ＡＣ,⊙O的半径等于6cm,Ｏ点到ＢC的距离OD等于2cm,求ＡB的长。

析:因为不知道∠A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部,所以需分两种情况进行讨论。

略解:（１)假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形。如图3，由AB＝AC,可知点Ａ是优弧

的中点，因为OD⊥BＣ且AB＝ＡC,根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO ∵BO=６，OD=2

∴

在Rｔ△ADB中,AＤ＝DO+ＡO＝6+2＝8

∴

图3图3－１

(2)若∠A是钝角,则△ABC是钝角三角形，如图3－1添加辅助线及求出，在Ｒ

t△ADB中，AD=AO-DO＝6-2=4

∴ＡB

综上所述ＡB＝

小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状,确定圆心与三角形的位置关系,防止丢解或多解。

例4. 已知：如图4,ＡB是⊙Ｏ的直径,弦CD⊥ＡB,F是CD延长线上一点，AF交⊙Ｏ于Ｅ。求证:ＡE·EF＝ＥC·EＤ

图4

分析：求证的等积式AE·EF＝ＥC·ED中，有两条线段EＦ、ＥD在△EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中,欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC,设法证明△FEＤ∽△ＣEＡ即可。

证明：连结AC

∵四边形DEAC内接于圆

∴∠FDE＝∠CAE,∠ＦEＤ＝∠DCA

∵直径AB⊥CD,∴

∴∠ＤＣA=∠ＣEA，∴∠FＥD=∠CEA

∴△FED∽△CEＡ

∴,∴ＡＥ·EF＝ＥC·ＥD

小结:四边形内接于圆这一条件,常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时,千万不要忽略这一重要条件。

例５．已知:如图5,ＡＭ是⊙O的直径,过⊙O上一点B作ＢN⊥AM,垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CＤ交ＡM于点Ｅ。

图5

(1）如果CD⊥AＢ，求证：EＮ=ＮM；

（2)如果弦CD交ＡB于点Ｆ，且ＣＤ＝AＢ,求证CE2=EＦ·ＥD；

（3）如果弦CD绕点C旋转,并且与AB的延长线交于点F,且CD=ＡB,那么(2）的结论是否仍成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。

证明：(1)连结BM(如图5-1)