圆的知识点总结及典型例题.

圆的知识点总结

（一）圆的有关性质

［知识归纳］

1. 圆的有关概念：

圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；

弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；

圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。

2. 圆的对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

圆具有旋转不变性。

3. 圆的确定

不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4. 垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；

推论1

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就

可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；

④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

1

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆

心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

6. 圆周角

定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；

推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

7. 圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

※8. 轨迹

轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。

（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；

（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；

（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。

［例题分析］

例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。

图1

①若AB ＝，ON＝1，求MN的长；

②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。

解：①∵AB ＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN ＝

∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2

∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1

②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60°

2

∵ON＝OA·cos∠AON＝OM·cos60°＝

∴

说明：如图1，一般地，若∠AOB＝2n°，OM⊥AB于N，AO＝R，ON＝h，则AB＝2Rsin n°＝2htan n °＝

例2. 已知：如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为

半径作⊙C，交AB于点D ，求的度数。

图2

分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。

解法一：（用垂径定理求）如图2－1，过点C作CE⊥AB于点E ，交于点F。

图2－1

∴

又∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠FCA＝25°

∴的度数为25°，∴的度数为50°。

解法二：（用圆周角求）如图2－2，延长AC交⊙C于点E，连结

ED

3

图2－2

∵AE是直径，∴∠ADE＝90°

∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠E＝∠B＝25°

∴的度数为50°。

CD

解法三：（用圆心角求）如图2－3，连结

图2－3

∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°

∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝65°

∴∠ACD＝50°，∴的度数为50°。

例3. 已知：如图3，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。

析：因为不知道∠A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形

外部，所以需分两种情况进行讨论。

略解：（1）假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形。如图3，由AB＝AC，可知点A是优

弧的中点，因为OD⊥BC且AB＝AC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO

∵BO＝6，OD＝2

∴

在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8

∴

图3 图3－1

（2）若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，如图3－1添加辅助线及求出，在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4

4