圆的知识点总结(史上最全的)

A图4图5圆的总结集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C 在圆内点在圆上 d=r 点B 在圆上点在此圆外 d>r 点A 在圆外 直线与圆的位置关系:直线与圆相离 d>r 无交点直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d<r 有两个交点圆与圆的位置关系:外离（图1） 无交点 d>R+r 外切（图2） 有一个交点 d=R+r 相交（图3） 有两个交点 R-r<d<R+r 内切（图4） 有一个交点 d=R-r内含（图5） 无交点 d<R-r垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CDBC BD =AC AD =DBBAB AOMA圆心角定理圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

即：∵MN 是切线，AB 是弦 ∴∠BAM=∠BCA圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180° ∠DAE=∠C切线的性质与判定定理（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端PD BA∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 ∵MN 是切线∴MN ⊥OA切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA=PBPO 平分∠BPA圆内相交弦定理及其推论： （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ∴PA ·PB=PC ·PA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB ⊥CD∴ （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线∴（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴ 圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦即：∵⊙O1、⊙O2相交于A 、B 两点 ∴O1O2垂直平分AB 两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：在Rt △O1O2C 中，（2）外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和 圆内正多边形的计算 （1）正三角形在⊙O 中 △ABC 是正三角形，有关计算在Rt △BOD 中进行，OD:BD:OB=（2）正四边形22CE DE EA EB==2PA PC PB =PC PB PD PE =221AB CO ==1::21:1:lO同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE :AE:OA=（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:OB:OA=弧长、扇形面积公式（1）弧长公式：（2）扇形面积公式：总结归纳：《圆》的知识考点圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。

包括性质定理．．．．与判．定定理．．．及公式．．。

一、圆的有关概念1、圆。

⎩⎨⎧••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••静（集合）动→封闭曲线围成的图形2、弦、直径、切线。

→直线3、弧、半圆。

→曲线4、圆心角、圆周角。

5、三角形的外接圆、外心。

→用到：线段的垂直平分线及性质6、三角形的内切圆、内心。

→用到：角的平分线及性质二、圆的有关性质（涉及线段相等、角相等，求线、角）1、圆的对称性。

→⎩⎨⎧中心对称轴对称2、垂径定理及其推论。

3、弧、弦、圆心角之间的关系定理4、圆周角定理及推论。

→同圆、等圆，同弧、等弧，圆周角5、切线的性质定理。

6、切线长定理。

三、判定定理切线的判定→两种思路：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径1::2180n Rlπ=213602n RS lRπ==四、点、直线、圆与圆的位置关系 123五、正多边形和圆 1、有关概念正多边形的中心、半径、中心角及其度数、边心距2、方法思路：构造等腰．．（等边．．）三角形、直角．．三角形，在三角形中求线、角、面积。

六、圆的有关线的长和面积。

1、圆的周长、弧长 C=2πr, l=180rn π 2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积 S 圆=πr 2，S 扇形=3602r n π ，或 S 扇形=lr 21 （即S 扇形 S 圆锥= 母线底面圆l r π 3、求面积的方法直接法→由面积公式直接得到间接法→即：割补法（和差法）→进行等量代换与 圆 有 关 的 计 算一、周长：设圆的周长为C ，半径为r ,扇形的弧长为l ,扇形的圆心角为n . ① 圆的周长：C ＝２πR ；②扇形的弧长：180n rl π=。

例题1．(05崇文练习一）某小区建有如图所示的绿地，图中4个半圆，邻近的两个半圆相切。

两位老人同时出发，以相同的速度由A 处到B 处散步，甲老人沿1122ADA A EA A FB 、、的线路行走，乙老人沿ACB 的线路行走，则下列结论正确的是( )（A ）甲老人先到达B 处 （B ）乙老人先到达B 处（C ）甲、乙两老人同时到达B 处（D ）无法确定例题2．如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF…叫做正三角形的“渐开线”，其中CD 、DE 、EF …的圆心依次按A 、B 、C 循环，将它们依次平滑相连接。

如果AB=1，试求曲线CDEF 的长。

例题3．（06芜湖）已知如图，线段AB ∥CD ，∠CBE=600，且AB=60cm,BC=40cm,CD=40cm ，⊙O 的半径为10cm,从A 到D 的表面很粗糙，求⊙O 从A 滚动到D ，圆心O 所经过的距离。

例题4．如图，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动旋转直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）圈。

A 4 B 3 C 5 D 3.56.例题5．(08大兴二模)如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B （直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C 间的距离BC 的长为L m ，当手握板子处的点C 随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了_________m ．例题6．(08房山二模)如图，∠ACB ＝60，半径为2的⊙0切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为.二、面积：设圆的面积为S ，半径为r,扇形的面积为S 扇形，弧长为l . ①圆的面积：2S r π= ②扇形的面积：213602n r S lr π==扇形③弓形面积：S S S =±弓形扇形例题1．（05丰台练习二）如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，如果∠A ＝120°，CD ＝2，则扇形OBAC 的面积是____________。

例题2．（江西省）如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 两不相交，且半径半径都是0.5cm.图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ）A12πcm 2 B 8πcm 2 C6πcm 2 D 4πcm 2例题3．(08大兴)北京市一居民小区为了迎接2008年奥运会，计划将小区内的一块平行四边形ABCD 场地进行绿化，如图阴影部分为绿化地，以A 、B 、C 、D 为圆心且半径均为3m 的四个扇形的半径等于图中⊙O 的直径，已测得6AB m =，则绿化地的面积为( )2mA.18π B. 36π C.454π D. 92π例题4．如图，⊙O 的半径为20，B 、C 为半圆的两个三等分点，A 为半圆的直径的一个端点，求阴影部分的面积。

例题5．(08房山)如图1是一种边长为60cm 的正方形地砖图案，其图案设计是：①三等分AD （AB=BC=CD ）②以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，交AD 于B 、交AG 于E ；③再分别以B 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，交AD 于C 、交AG 于F 两弧交于H ；④用同样的方法作出右上角的三段弧．图2是用图1所示的四块地砖铺在一起拼成的大地砖，则图2中的阴影部分的面积是_______cm 2（结果保留π）．例题6. (08西城)如图,在Rt ABC ∆中,90BAC ︒∠=,AB=AC=2,若以AB 为直径的圆交BC 于点D,则阴影部分的面积是 .例题7. (08朝阳)已知：如图，三个半径均为1 m 的铁管叠放在一起，两两相外切，切点分别为C 、D 、E ，直线MN （地面）分别与⊙O 2、⊙O 3相切于点A 、B ．（1）求图中阴影部分的面积；（2）请你直接写出图中最上面的铁管（⊙O 1）的最低点P 到地面MN 的距离是______________m ．例题8．(08海淀)如图，一种底面直径为8厘米，高15厘米的茶叶罐，现要设计一种可以放三罐的包装盒，请你估算包装用的材料为多少（边缝忽略不计）。