D3_4隐函数与参数式函数的导数
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隐函数与参数方程确定的函数的导数
sin t cos t
) )
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解
dy dx
dt dx
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
Y20A1N9G年Z6H月O2U4日U星N期IV一ERSITY高等数学(经济类)
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解法2
设 arctan y ln
x2
y2
,求 dy
d2y ,
x
dx dx2
arctan y ln x2 y2 1 ln x2 y2
x 方程两边对x求导得
1
2
1
y
2
y x
1 2
x2
1
y2
(x2
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当 t 时, x a( 1), y a.
2
2所求切线方程为来自ya
x
a(
1)
2
即 y x a( 2 ) 2
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x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
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高数-隐函数与参数方程求导.ppt
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 (*)
dx dx
因 x = 0 时 y = 0 , 故 代入(*)求解。
4
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
将点
代入
1 3 y 0 43
y x2 3
第四节
第二章
隐函数与参数方程求导
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
1
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称
此函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
exy1 x2 y y 1 0 可确定 y 是 x 的函数 ,
如 x 0 e y 1 0
若将直角坐标系中的原点取为极点，
把 x 轴的正半轴取为极轴。
设直角坐标系中点 M 的坐标 x, y 极坐标系中点M 的坐标 r,
r oM 称为极坐标的极径。
y
• M r,
ry
0x
x
0r
称为极坐标的极角。
0 2
由极轴出发逆时针方向为正。
两坐标系中变量间关系：xy
r r
cos sin
x 2 y 2 r 2
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 (*)
dx dx
因 x = 0 时 y = 0 , 故 代入(*)求解。
4
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
将点
代入
1 3 y 0 43
y x2 3
第四节
第二章
隐函数与参数方程求导
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
1
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称
此函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
exy1 x2 y y 1 0 可确定 y 是 x 的函数 ,
如 x 0 e y 1 0
若将直角坐标系中的原点取为极点，
把 x 轴的正半轴取为极轴。
设直角坐标系中点 M 的坐标 x, y 极坐标系中点M 的坐标 r,
r oM 称为极坐标的极径。
y
• M r,
ry
0x
x
0r
称为极坐标的极角。
0 2
由极轴出发逆时针方向为正。
两坐标系中变量间关系：xy
r r
cos sin
x 2 y 2 r 2
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
隐函数与参数式函数的求导
ex y(x) ey(x) x .
4
例1 设 y y(x) 是由方程 ey ex xy 0 所确定的 隐函数,求 dy .
dx
解 上述过程亦可如下表述：
方程两边关于x求导，注意y是x的函数
ey ex xy 0.
ey y ex y xy 0.
(ey x) y ex y
第四节 隐函数及由参数方程所确定函数的导数 一、隐函数的求导法则
1、隐函数的定义
函数 y f (x) 刻画了变量 y 与 x 的对应关系.
这种对应关系可以有多种表示方式. 常见的表示方式为
y sin x, y ln(x x2 a2 ), .....
上述函数称为显式函数.
此外, y 与 x 的对应关系还可以通过方程 F(x, y) 0 来
ln
y
ln
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
dx 解 y y(x) 是方程 ey ex xy 0 确定的隐函数
ey(x) ex xy(x) 0.
上述方程两边关于x求导，得
ey(x) ex xy(x) 0.
ey(x) y(x) ex y(x) xy(x) 0.(ey(x)x) y(x)ex
y(x)
y( x)
但因为 (ln | x |) 1 / x ,故省略绝对值.
x 0 , (ln x) 1 ; x
x 0 , [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
所以 (ln | x | ) 1 . x
12
例5 求函数 y (x 1) 3 x 1 的导数. (x 4)2 ex
解 等式两边取对数,化简得
2， 6
所以所求切线方程为：
y 4 2 2 (x 1) ， 即 x 3 2 y 9 0 . 36
3.4 隐函数及其参变量函数的求导方法_修改
r
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式
2
2
3 3 故切线方程为 y 3 = (x 2) 2 4 即
练习： 求由方程 x y2 e y ln x = 0所确定的隐函 练习： dy 数y = y( x)的导数 . dx
例3. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
∴
1 ′ = cos x ln x + sin x y y x sin x sin x y′ = x (cos x ln x + ) x
′(t) ≠ 0时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且 可求二阶导数 .
x = (t) 利用新的参数方程 dy ψ ′(t) ,可得 = dx ′(t) d2 y d (dy) d dy dx = ( ) = 2 dx dx dt dx dt dx ψ′′(t)′(t) ψ′(t)′′(t) = ′(t) 2 ′ (t)
故
dx = 2(t +1) dt dy 2t = dt 1ε cos y
t dy dy dx = = dt (t +1)(1 ε cos y) dx dt
三、相关变化率
为两可导函数 之间有联系 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率
d3_4隐函数的求导与对数求导法则
则
dy
dy
dx
dt dx
( t ( t
) )
dt
18
例6求椭圆
x a cost
y
b
sin
t
在t
4
相应的点处的切线方程.
解
t
4
相应的点为: M
2a , 2
2b 2
dy dx
( b sin t ( a cos t
) )
b cos t a sin t
b a
cot t,
k
dy dx
t
b a
4
所求切线方程为: y
2b 2
b a
x
2a 2
即 bx ay 2ab 0.
这是新方法，想一想，不用这个办法你会求切线方程吗？ 19
四 、综合举例
例7.设 y ln[sin(10 2x2 )] , 求 y
解
y
1 sin(10
2x2
)
[sin(10
2x2
)]
1 sin(10
2x2
)
[cos( 10
15
例5.设 y
(x 1)1(x 2)2
(x 3)3(x 4)4 ,求 y
解
两边取自然对数
ln y 1 lnx 1 2lnx 23lnx 3 4lnx 4
2 方程两边对x求导
y 1 1
y 2 x 1
2 x2
3 x3
4
x4
1234
x 1 x 21).取对数, ln y v(x) ln u(x)
y e 2).变形成复合指数函数,
v( x)lnu( x)
13
一般地:
高等数学3-4隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 消去参数 t 2
得 , 此参数方程确定的函数y t 2 ( x )2 ,
即 y y( x) x2 .
2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
9/18
对
x
y
x(t ) y(t )
t It ,
若 x x(t) 在上 It单调、可导且x(t) 恒不为零
确定
y
y( x)的求导法:
dy dx
dt dx
y(t ) x(t )
dt
10/18
例6
求摆线
x a(t sint)
y
a(1
cos
t
)
在 t
2
时的切线方程。
解 dy y(t) a sint sint , dx x(t) a a cost 1 cost
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
y x0
y 1
1 4
;
视 y y( x)、y y( x)，将方程 (1) 两边再对 x 求导, 得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0,
代入 x 0、y 1 及
y
x0 y 1
1 4
得
y
x0 y 1
1. 16
5/18
二、对数求导法
——利用隐函数求导法求显函数导数的方法。 对数求导法：
直角坐标系中
y
r(
)
sin
,
其中
为参数
例 3.4.10
求对数螺旋
)
处的切线方程。
（用极坐标表示）
解
隐函数及参数方程函数的求导及取对数的方法介绍
dy 存在可导的反函数 t x ，则 存在，且 t dx dy yt dx xt
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 y ( t ) dx dt dx dt dx x( t ) dt
即
记住公式
y t 0 dy y t 且 dx x x0 xt x x0 xt0
即 y x a( 2 ) 2
例9
不计空气的阻力 以初速度 v0 , 发射角 ,
发射炮弹, 其运动方程为 x v0 t cos , 1 2 y v0 t sin 2 g t , 求 (1) 炮弹在时刻 t0 的运动方向; ( 2) 炮弹在时刻 t0 的速度大小 .
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 1 x 2 x2 2 y x yt ( ) 2 2 4 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
设函数 x x( t ), y y( t )可导, x( t ) 0，且x xt
dy a sin t sin t dy dt 解 dx dx a a cos t 1 cos t dt sin dy 2 1. 当 t 时, x a( 1), y a . t dx 2 2 2 1 cos 2
所求切线方程为 y a x a( 1) 2
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 u( x )v ( x )的情形. 数
( x 1)3 x 1 例4 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解 等式两边取对数得
隐函数和参数式函数的导数解析
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
,
即
dy (t) dx (t)
dt
注意 这里的导数是通过参数表达出来的．
例8
设
x y
1 t
t t
2 3
，
求
dy .
dx
dy
解
dy dx
dt dx
(t t3 ) (1 t 2 )
1 3t 2
2t
dt
讨论分析
讨论分析
例9
求曲线
x
y
sin t, cos 2t
讨论分析
例7 求函数 y ( x 1)3 x 2 的导数．
x4
解 函数两边同时取对数，得
ln y 3ln( x 1) 1 ln( x 2) ln( x 4)
2
两边同时对 x 求导，得
1 y
y
3 x1
1 2
1 x2
1 x 4
于是
y ( x 1)3
x x
2 4
3 x1
1 2
求导的方程中解出 y (所得的表达式中一般同时含有
x 和 y, 这与显函数求导式中不含 y 相异).
对数求导法 注意使用类型；
参数式函数的求导法
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/16
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/16
讨论分析
二、对数求导法 对数求导法则
主要用于解决两类函数的求导问题： （1） 一类是幂指函数，即 y [u( x)]v( x)
（2） 一类是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所 构成的函数. 对数求导法——在等式两边先取对数，将显函数 化成隐函数，然后用隐函数的求导法则求出导数．
3.4 隐函数及参数方程所确定函数的导数
dy y dy x y x 0 e e dx dx dy e x y 由原方程知 x 0 时 , y 0 , 解得 , dx x e y
dy dx
x 0
e y y xe
x
x 0 y 0
1.
x2 y 2 3 例3 求椭圆 1在点(2, 3 )处的切线方程. 16 9 2
sec2
dt
作业 P88 T1(3) T2(3) T4(3) T5(1)
于是
即
4x 4x 2x y ' y( 2 4 2 ), x 2 x 1 x 1
( x 2) 4x 4x 2x y' 4 ( 2 4 2 ) 2 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 x 1
2 2 3
3
二、参数方程所确定的函数的导数 若方程 x ( t )和 y ( t ) 确定y与x间的函数 关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程
直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，应用复合函数的求
导法可得一个含有 y 的方程，解出 y 即得隐函数 的导数.
例1
设y y ( x)是由方程 sin xy ln( x y ) 0所确定
dy 的隐函数，求 . dx 解 方程两边对x求导，注意到y是x的函数，有
1 y cos( xy)( y xy) 0 x y
x ( t ), y ( t ), t ( , )
所确定的函数． 例如，不计空气阻力时，抛射体的运动轨迹 可表示为 x v t
1 1 2 y v2 t gt 2
若消去参数t, 有
v2 g 2 y x x 2 v1 2v1
隐函数与参数方程的求导法则
隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。
当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。
但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。
一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。
2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。
3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。
4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。
举个例子来进行说明。
假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。
如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。
首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。
将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。
然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。
这就是所求的切线斜率。
二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。
求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。
假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。
我们想求解在该参数方程下的切线斜率。
首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。
隐函数及参数方程导数
将此恒等式两边同时对x求导,
注意到 y 是x的函数,
是x的复合函数,
复合函数求导法:
0
=
y
0
=
x
0
=
y
0
=
x
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 例 解 法一 隐函数求导法. 法二 反函数求导法
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例 解 切线方程 法线方程 通过原点.
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例
解
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
或解
*
练习
证
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
两曲线在该点
切线斜率乘积为负 1 .
,
)
2
,
2
(
是两曲线的交点
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
解
练习
*
可确定显函数
例
开普勒方程
显式?
显化.
*
2. 隐函数求导
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
隐函数求导法则
用复合函数求导法则,
并注意到
将方程两边对 x 求导.
变量 y 是 x 的函数.
隐函数不易显化或不能显化，
如何求导
例
解
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
(2)
仰角增加率
(3)
,
1
tan
,
500
=
=
a
时
当
h
a
a
tan
1
sec
注意到 y 是x的函数,
是x的复合函数,
复合函数求导法:
0
=
y
0
=
x
0
=
y
0
=
x
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 例 解 法一 隐函数求导法. 法二 反函数求导法
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例 解 切线方程 法线方程 通过原点.
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例
解
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
或解
*
练习
证
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
两曲线在该点
切线斜率乘积为负 1 .
,
)
2
,
2
(
是两曲线的交点
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
解
练习
*
可确定显函数
例
开普勒方程
显式?
显化.
*
2. 隐函数求导
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
隐函数求导法则
用复合函数求导法则,
并注意到
将方程两边对 x 求导.
变量 y 是 x 的函数.
隐函数不易显化或不能显化，
如何求导
例
解
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
(2)
仰角增加率
(3)
,
1
tan
,
500
=
=
a
时
当
h
a
a
tan
1
sec
隐函数的导数、参数式函数的导数
d 2y dx 2
dt dx
dt
例 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的方切 程. 线
解
dy dx
dy
dt dx
asint a acost
分子分母不要颠倒
sint 1 cost
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
(ey)eyy; [lny2(1)]y22y y1. (2)解出 y(允许表达式y中 ). 含有
因为y是x的函数, 所以 y 2 是x的复合函数,
例 设曲C线 的方程x为 3y33xy,求过 C上点 (3,3)
22 的切线方 ,并程证明曲 C在线该点的法线通. 过
解 方程两边 x求对导 , 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 x y
高等数学Ⅰ
第三节 高 阶 导 数
3.间接法:利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
( 1 )( a x ) ( n ) a x ln n a( a 0 ) (ex)(n) ex
(2 )(ski)(n n x ) k nsik n x n ( ) 2
(3 )(cko )(n x ) sk nco k s x n ( ) 2
( 4 ) ( x ) ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n
(5)(lx n )(n)(1)n1(nx n 1)!(1x)(n)
(1)n
n! xn1
y
( 3,3) 22
y x2 y2 x
1.
( 3,3 ) 22
隐函数及由参数方程所确定函数的导数
d2 y d x2
d dx
(dy) dx
d dt
(dy) dx
ddtx ddxt
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t )
(t
)
(t) (t) 3 (t )
(t)
注意 : 已知
对谁求导?
?
例6
{ xt2 1
求曲线 yt t 3 在t =1处的切线方程
3.4 隐函数及由参数方程所确定的 函数的导数
一、隐函数的导数
二、由参数方程所 确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
例5 设y ( x2 1)(3x 4)( x 1),求y
解： 将函数取自然对数得
ln y 1 ln( x 2 1) 1 ln( 3x 4) 1 ln( x 1)
2
2
2
两边对x求导得
1 y x 3 1 y x 2 1 2(3x 4) 2( x 1)
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例3 设y arctan( x 2 y),求 dy dx
解： 两边对x求导得
y
1
(1 2 y)
1 (x 2y)2
解出y, 得
y
1
(x 2y)2 1
《高等数学》四隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数
《高等数学》四隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数高等数学中的四隐函数的导数对数求导法指的是通过参数方程所确定的函数来求导。
这种方法在求解一些复杂函数的导数时非常有效，可以简化计算过程，提高求解的准确性和效率。
首先，我们来了解一下什么是隐函数和参数方程。
在数学中，当一个方程中的变量无法明确地表示出来时，就称为隐函数。
例如，x^2+y^2=1就是一个隐函数。
而参数方程是一种表示曲线的方法，其中，x和y是两个独立变量的函数。
参数方程可以将曲线上的点表示为(x(t)，y(t))的形式，其中t是一个参数。
例如，x = cost，y = sint是描述一个单位圆的参数方程。
接下来，我们使用参数方程来求解隐函数的导数。
假设有两个参数方程x=f(t)和y=g(t)，我们想要求解由这两个参数方程所确定的隐函数y=f(x)。
我们可以通过以下步骤来计算：步骤1：首先，通过第一个参数方程求解t关于x的导数，即 dt/dx = dx/dt ÷ dy/dt。
这个导数表示了x的变化速率对应于t的变化速率的比例关系。
步骤2：接下来，通过将t关于x的导数带入第二个参数方程，得到y关于t的导数 dy/dt。
这个导数表示了y对t的变化速率。
步骤3：最后，通过链式法则，将dy/dt乘以dx/dt，即 dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt)。
这个导数表示了y对x的变化速率。
这就是我们所要求解的隐函数的导数。
通过以上的步骤，我们可以得到通过参数方程所确定的隐函数的导数。
这种方法可以应用于各种隐函数求导的情况，无论是简单的方程还是复杂的曲线，都能有效地进行计算。
然而，需要注意的是，对于一些特殊的函数，使用参数方程进行求导可能并不是最方便的方法。
在实际应用中，我们可以根据具体问题和计算的需要选择不同的求导方法，以求解隐函数的导数。
总结起来，四隐函数的导数对数求导法是一种通过参数方程来求解隐函数导数的方法。
23隐函数、参数式求导
r h , 从而 r 1 h .
6 18
3
因漏斗中溶液体积 V0
1 (12)2 32
18
216 (cm)3
，根据题意可知
V0
1 r 2h 3
(10)2 2
H
，
即
H 216 1 h3 ，
25 675
课堂练习
1.
用对数求导法则求函数
y
x
x
1 x
变量 y 有确定的值与之对应，． 把隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化 不能显化的隐函数，如果可导应该如何求导？下面，我们将通过具体的例子来介绍一种方
法 例1 求由下列方程所确定的函数的导数. y sin x cos(x y) 0
例 2 方程 xy e y e 确定函数 y y(x) ，求 y0 ．
比如 y x sin x x 0 ，幂指函数既不是幂函数也不是指数函数
如果 u(x),v(x) 都可导，则幂指函数 y uxvx 可导．求幂指函数 y uxvx 的导数，幂函
数或指数函数的求导法则在此均不适合．我们可以通过把方程两端取对数之后，化幂指函数为隐 函数，然后利用隐函数求导法则求出幂指函数 y uxvx 的导数．这种求导方法称为对数求导 法 (logarithm derivation)．
程为
x
y
v0t cos v0t sin
1 2
gt 2
，
求炮弹在时刻 t0 的运动方向与速率．
例 12
椭圆的参数方程为
x
y
a b
cos t (0
sin t
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设 为切线倾角, 则
dy dy d t dx dx dt
机动
2
2
y
o
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x
结束
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量
速度的方向
垂直分量
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为 v2 arctan v1 达到最高点的时刻 t v2 , 高度 g
落地时刻 抛射最远距离
备用题
1. 设 解: 方法1 求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 y 求导
机动
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结束
2. 设
,求
解： 方程组两边同时对 t 求导, 得
dy dx
t 0
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o
v2 t g 2v t g2
机动
x
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结束
x t 2 2 t (0 1) 例11. 设由方程 2 t y sin y 1
确定函数 y y ( x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
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结束
例6.
解
求函数y x 的导数
x
在函数两边同时取对数 ln y x ln x
两边同时对x求导，得 1 y ln x 1 y
解出y, 并将y代回，得 y x x (ln x 1)
(2 x 1)(3x 2) 的导数 例7. 求函数y 3 ( x 3)
结束
二、对数求导法
例5. 求 的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 y cos x ln x sin x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
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说明:
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
解 在函数两边同时取对数 1 ln y [ln(2 x 1) ln(3x 2) 3ln( x 3)] 2 等式两边同时对x求导，得
1 1 2 3 3 y [ ] y 2 2 x 1 3x 2 x 3
解出y, 并将y代回，得 1 (2 x 1)(3 x 2) 2 3 3 y [ ] 3 2 ( x 3) 2 x 1 3x 2 x 3
y xy e y y
y 所以 y x ey
0
例2. 求由方程
在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
解: 方程两边对 x 求导, 得
e y y y x y 0
再求导, 得
y 2 e y (e x) y 2 y 0 y
①
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得 1 y (0) e 1 再代入 ② 得 y (0) 2 e
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dy 处的导数 |x 1 dx
y e ( y xy) y ln x sin 2 x 2 x 当x 1时，由方程可得y 0, 将x 1, y 0 代入上式，可得y 0
xy
解 方程两边同时对 x求导，得：
dy 所 | x 1 0 dx
4
因x=0时y=0, 故
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例3. 求隐函数x3 y3 xy的导数y
解
在方程两边同时对x求导 3x 2 3 y 2 y y xy
y 3x 2 因此 y 2 3y x
例4 求隐函数e xy y ln x cos 2 x在点x 1
例8.设方程 y x 确定 y
x y
dy 是 x 的函数，求 。 dx
解 在方程两边同时取对数 x ln y y ln x
在上式两边同时对x求导，得 1 y ln y x y y ln x y x
解出y，得
y 2 xy ln y y 2 x xy ln x
第四节 隐函数和参数方程求导
第二章
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
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一、隐函数的导数
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程)
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例1. 已知方程xy e y 0, 确定y是x的函数，求y
解 既然y是x的函数，不妨假设y f ( x), 则
y f ( x), 再设F ( x) xf ( x) e f ( x ) 0, 从而
f ( x) F ( x) f ( x) xf ( x) e f ( x)
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
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内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
d y t f (t ) t, 解: f (t ) dx
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例10. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
故抛射体速度大小
垂直分量为
v1 (v2 gt )
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
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( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
两边取对数
y x (t ) (t ) (t ) (t ) x y 3 x (t ) 3
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注意 : 已知
d2 y 1 f (t ) d x2
?
例9 设
x f (t ) d2 y 求 . f ( t ) 0 , , 且 2 y t f (t ) f (t ) dx
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(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
例4. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
即
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1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
u ( ln u ) u
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
y2 y y1
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x x 2x 2 1 2 ln x 3(2 x) 3(2 x) (2 x)
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3. 设
由方程
确定 , 求
2
dy y xy ln y 即 2 dx x xy ln x
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
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按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
思考与练习
1. 求螺线 在对应于 的点处的切线方程. x r cos 解: 化为参数方程 y r sin dy dy sin cos d dx dx cos sin d
dy dy d t dx dx dt
机动
2
2
y
o
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x
结束
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量
速度的方向
垂直分量
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为 v2 arctan v1 达到最高点的时刻 t v2 , 高度 g
落地时刻 抛射最远距离
备用题
1. 设 解: 方法1 求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 y 求导
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2. 设
,求
解： 方程组两边同时对 t 求导, 得
dy dx
t 0
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o
v2 t g 2v t g2
机动
x
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x t 2 2 t (0 1) 例11. 设由方程 2 t y sin y 1
确定函数 y y ( x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
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例6.
解
求函数y x 的导数
x
在函数两边同时取对数 ln y x ln x
两边同时对x求导，得 1 y ln x 1 y
解出y, 并将y代回，得 y x x (ln x 1)
(2 x 1)(3x 2) 的导数 例7. 求函数y 3 ( x 3)
结束
二、对数求导法
例5. 求 的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 y cos x ln x sin x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
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说明:
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
解 在函数两边同时取对数 1 ln y [ln(2 x 1) ln(3x 2) 3ln( x 3)] 2 等式两边同时对x求导，得
1 1 2 3 3 y [ ] y 2 2 x 1 3x 2 x 3
解出y, 并将y代回，得 1 (2 x 1)(3 x 2) 2 3 3 y [ ] 3 2 ( x 3) 2 x 1 3x 2 x 3
y xy e y y
y 所以 y x ey
0
例2. 求由方程
在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
解: 方程两边对 x 求导, 得
e y y y x y 0
再求导, 得
y 2 e y (e x) y 2 y 0 y
①
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得 1 y (0) e 1 再代入 ② 得 y (0) 2 e
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dy 处的导数 |x 1 dx
y e ( y xy) y ln x sin 2 x 2 x 当x 1时，由方程可得y 0, 将x 1, y 0 代入上式，可得y 0
xy
解 方程两边同时对 x求导，得：
dy 所 | x 1 0 dx
4
因x=0时y=0, 故
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例3. 求隐函数x3 y3 xy的导数y
解
在方程两边同时对x求导 3x 2 3 y 2 y y xy
y 3x 2 因此 y 2 3y x
例4 求隐函数e xy y ln x cos 2 x在点x 1
例8.设方程 y x 确定 y
x y
dy 是 x 的函数，求 。 dx
解 在方程两边同时取对数 x ln y y ln x
在上式两边同时对x求导，得 1 y ln y x y y ln x y x
解出y，得
y 2 xy ln y y 2 x xy ln x
第四节 隐函数和参数方程求导
第二章
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
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一、隐函数的导数
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程)
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例1. 已知方程xy e y 0, 确定y是x的函数，求y
解 既然y是x的函数，不妨假设y f ( x), 则
y f ( x), 再设F ( x) xf ( x) e f ( x ) 0, 从而
f ( x) F ( x) f ( x) xf ( x) e f ( x)
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
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内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
d y t f (t ) t, 解: f (t ) dx
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例10. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
故抛射体速度大小
垂直分量为
v1 (v2 gt )
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
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( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
两边取对数
y x (t ) (t ) (t ) (t ) x y 3 x (t ) 3
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注意 : 已知
d2 y 1 f (t ) d x2
?
例9 设
x f (t ) d2 y 求 . f ( t ) 0 , , 且 2 y t f (t ) f (t ) dx
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(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
例4. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
即
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1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
u ( ln u ) u
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
y2 y y1
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x x 2x 2 1 2 ln x 3(2 x) 3(2 x) (2 x)
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3. 设
由方程
确定 , 求
2
dy y xy ln y 即 2 dx x xy ln x
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
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按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
思考与练习
1. 求螺线 在对应于 的点处的切线方程. x r cos 解: 化为参数方程 y r sin dy dy sin cos d dx dx cos sin d