2016届高三文科数学试题(45)

2016届高三文科数学试题（45）本试卷第I 卷（选择题）和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间：120分钟第I 卷（选择题）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合P={x|y=lg （2﹣x ）}，Q={x|x 2﹣5x+4≤0}，则P∩Q=( ) A ．{x|1≤x ＜2}B ．{x|1＜x ＜2}C ．{x|0＜x ＜4}D ．{x|0≤x≤4}2. 已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 函数f （x ）=ln （x 2+1）的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．4. 己知，则m 等于（ ）A ．B ．C ．D ．5. 函数()20.5log (4)f x x =-的单调递增区间是（ ）A ．(),0-∞B ．(,2)-∞-C ．()0,+∞D ．(2,)+∞ 6. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有()()2f x f x +=-，若()12f =，则(2015)f =（ ）A ．-2B ．2C ．2013D ．2012 7. 设7log 3=a，1.12=b ，1.38.0=c ，则（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<8. 已知函数f （x ）＝131()2xx －, 那么在下列区间中含有函数f （x ）零点的是（ ）A ．（23，1） B ．（12，23） C ．（13，12） D ．（0，13） 9. 若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A.8π B.4π C.38π D.34π10. 向量=（﹣2，﹣1），=（λ，1），若与夹角为钝角，则λ取值范围是（ ） A ． （，2）∪（2，+∞） B ． （2，+∞）C ． （﹣，+∞）D ． （﹣∞，﹣）11. 如图，甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是（ ） A ．3340 B ．320 C ．40 D ．21012. 己知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，()()22f x f x +=-，()41f =，则不等式()x f x e <的解集为( )A ()2,-+∞B ()1,+∞C ()4,+∞D ()0,+∞第II 卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影为________． 14.双曲线1y x=上任一点的切线与坐标轴围成的面积为_____. 15．已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan 2α＝________.16. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫⎝⎛-=,1,,1,41)(x a x x a x f x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题（本大题共6小题， 共70分）17(10分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin 2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的最大值．18.（12分）已知命题p ： x R ∃∈，2+20x x m -=；命题q ：2,10x mx mx ∀∈++>R .（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；（3）若命题p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围.19.（12分）已知偶函数()f x 的定义域为[1,1]-，且f(-1)=1,若对任意[]1212,1,0,,x x x x ∈-≠都有()()12210f x f x x x ->-成立.（1）解不等式1()(1)2f x f x +<-；（2）若2(x)t 21f at ≤-+对[]1,1x ∈-和[]1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围.20.（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足．（1）求角A 的大小； （2）若，求△ABC 面积的最大值．21.（12分）已知R a ∈,函数x ax x f ln 21)(2-=. (1) 当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(1(f ，处的切线的斜率； (2) 讨论)(x f 的单调性；(3) 是否存在实数a ，使得方程2)(=x f 有两个不等的实数根？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.22.（12分）已知函数f （x ）=x•lnx （e 为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数a＞，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）若k为正数，且f（x）＞（k﹣1）x﹣k对任意x＞1恒成立，求k的最大整数值．文数参考答案一、选择题：1-6 ADAABA 7-12 DCCAAD 二、填空题： 13. 2105 14. 2 15. －24716. ⎪⎭⎫⎝⎛41,0 三、解答题：17. 解： (1)∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－32，2cos2x －sin 2x ＝2cos2x －2sin xcos x sin2x ＋cos2x ＝2－2tan x 1＋tan2x ＝2013. ……………………5分(2)f(x)＝(a ＋b)·b ＝22sin(2x ＋π4)． ……………………7分 ∵－π2≤x≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22， ……………………9分∴－22≤f(x)≤12， ∴f(x)max ＝12. ……………………………10分18.解：（I ）若命题p 为真命题，则22040,1x x m m m +-=∴∆+≥∴≥-有实根，＝4 即m 的取值范围为[1,)-+∞ ……………………………………4分 （II ）若命题q 为假命题，则（1）0m =时,不合题意 ；（2）2040,4m m m m >∆-≥≥时,=得 ； （3）0m <时,合题意。

综上：实数m 的取值范围为(,0)[4,)-∞⋃+∞ ……………………………8分 （III ）由（I ）得p 为真命题时，1m ≥-；p 为假命题时，1m <-，………9分 由（II ）得q 为真命题时，04m ≤<；q 为假命题时，04m m <≥或，……10分p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，∴ “p q 真,且假”或“p q 假,且真”∴ 11{{0404m m m m m ≥-<-≤<<≥或或解得实数m 的取值范围为[1,0)[4,)-⋃+∞ . …………………………12分 19.解：（1）由对任意[]1212,1,0,,x x x x ∈-≠都有()()12210f x f x x x ->-成立知，()f x 在[]1,0- 上单调递减，又()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，所以11()(1)()(1)22f x f x f x f x +<-⇔-+<--1112111112x x x x ⎧-≤+≤⎪⎪⎪⇔-≤-≤⎨⎪⎪-+>--⎪⎩，⇔410<≤x 故不等式1()(1)2f x f x +<-的解集为10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭. ……………………………6分(2)由已知max ()(1)1f x f =-=，又2(x)t 21f at ≤-+对[]1,1x ∈-和[]1,1a ∈-恒成立， 所以2212120t at at t ≤-+⇔-≤，在[]1,1a ∈-上恒成立，只需222020t t t t ⎧--≤⎪⎨-≤⎪⎩，即t=0或2t ≤-或2t ≥，所以实数t 的取值范围是(]{}[),202,-∞-+∞ . ……………………………12分20.解：（Ⅰ）∵，所以（2c ﹣b ）•cosA=a•cosB由正弦定理，得（2sinC ﹣sinB ）•cosA=sinA•c osB ．…………………………2分 整理得2sinC•cosA ﹣sinB•cosA=sinA•cos B ．∴2sinC•cosA=sin （A+B ）=sinC ． …………………………4分 在△ABC 中，sinC≠0． ∴，． …………………………6分（Ⅱ）由余弦定理，．…………………………8分∴b 2+c 2﹣20=bc≥2bc ﹣20∴bc≤20，当且仅当b=c 时取“=”． …………………………10分∴三角形的面积．∴三角形面积的最大值为． …………………………12分21.解:（1）当1=a 时，01)(>-='x xx x f ， 0)1(='=∴f k 所以曲线y=f (x)在点))1(1(f ，处的切线的斜率为0. …………………………3分(2)011)(2>-=-='x xax x ax x f ， …………………………………………4分① 当)0()(,0)(0∞+<'≤，在时，x f x f a 上单调递减； ………………………5分② 当aax x f a =='>解得时，令,0)(0. 0)()(0)()0(>'∞+∈<'∈x f aax x f a a x 时，，；当时，，当.内单调递增，内单调递减；在，在函数)()0()(∞+∴aaa a x f ………………7分（3）存在)0(3e a ，∈，使得方程2)(=xf 有两个不等的实数根. ………………8分 理由如下：由（1）可知当)0()(,0)(0∞+<'≤，在时，x f x f a 上单调递减，方程2)(=x f 不可能有两个不等的实数根； ………………………10分 由（2）得，内单调递增，，内单调递减，在，在函数)()0()(∞+aaa a x f 使得方程2)(=x f 有两个不等的实数根，等价于函数)(x f 的极小值2)(<aaf ，即2ln 2121)(<+=a a a f ，解得30e a << 所以a 的取值范围是)0(3e ， ………………………………12分 22.解：⑴∵()(0,)()ln 1,()()2f x f x x f e e f e ''+∞=+==定义域为又():2(),2y f x e y x e e y x e ∴==-+=-函数在点(，f(e))处的切线方程为即………4分（2）∵()ln 1f x x '=+()0f x '=令1x e =得10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当时,()0F x '<，()f x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0F x '>，()f x 单调递增. 当min 1,()[,2],[()]()ln ,a f x a a f x f a a a e≥==时在单调递增min 111112,[()]2a a a f x f e e e e e ⎛⎫<<<<==- ⎪⎝⎭当时,得 ………………8分 （3）()(1)f x k x k >--对任意1x >恒成立， 即ln x x x +(1)k x >-对任意1x >恒成立， 即ln 1x x xk x +>-对任意1x >恒成立令2ln ln 2()(1)'()(1)1(1)x x x x x g x x g x x x x +--=>⇒=>--令1()ln 2(1)'()0()x h x x x x h x h x x-=-->⇒=>⇒在(1,)+∞上单调递增。