等差数列通项公式
求解等差数列的通项公式
求解等差数列的通项公式数学中，等差数列是一种常见的数列，它的每一项与前一项之差都相等。
对于中学生来说，掌握等差数列的通项公式是非常重要的，因为通过这个公式，我们可以轻松地求解数列中的任意一项，从而更好地理解和应用数列的性质。
在本文中，我将详细介绍如何求解等差数列的通项公式，并通过实例进行说明。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。
我们可以用a1，a2，a3...来表示等差数列中的各项，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d。
等差数列有以下几个重要的性质：1. 首项和公差确定了等差数列。
2. 等差数列的项数与首项和公差的关系为：an = a1 + (n-1)d。
3. 等差数列的前n项和的公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2。
二、要求解等差数列的通项公式，我们需要已知数列的首项和公差。
下面通过实例来说明具体的求解过程。
例1：已知等差数列的首项为3，公差为5，求解该等差数列的通项公式。
解：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入已知条件得到an = 3 + (n-1) * 5。
简化后得到an = 5n - 2。
所以，该等差数列的通项公式为an = 5n - 2。
例2：已知等差数列的首项为2，公差为-3，求解该等差数列的通项公式。
解：同样地，根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入已知条件得到an = 2 + (n-1) * (-3)。
简化后得到an = -3n + 5。
所以，该等差数列的通项公式为an = -3n + 5。
通过以上两个实例，我们可以看出，求解等差数列的通项公式的关键是确定首项和公差，并将其代入通项公式中进行简化。
三、等差数列的应用等差数列的通项公式在数学中有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景。
1. 求解等差数列的前n项和：根据等差数列的前n项和公式Sn = (a1 + an) * n / 2，我们可以轻松地计算出等差数列的前n项和，从而解决实际问题。
等差数列通项公式
等差数列通项公式等差数列通项公式是数学中非常重要的内容之一，它可以帮助我们计算等差数列中任意一项的值。
等差数列通项公式是通过观察等差数列的特点而得出的，下面将详细介绍等差数列通项公式的推导和应用。
一、等差数列的定义与特点等差数列是指数列中相邻两项之差为常数的数列。
数列中的每一项可以表示为首项加上某个常数倍数的公式，即 an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列有以下几个重要的特点：1. 相邻两项之差为常数，即an+1 - an = d，其中d为公差。
2. 等差数列的任意一项都可以由首项和公差来确定。
3. 等差数列的前n项和可以通过通项公式来计算。
二、等差数列通项公式的推导要得到等差数列的通项公式，我们可以通过观察等差数列的特点进行推导。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，我们可以找到如下的规律：a2 = a1 + da3 = a2 + d...an = a(n-1) + d我们可以看出，第n项与第n-1项之间的差为d，那么第n项与首项之间的差为(n-1)倍的公差d。
使用这个规律，我们可以得到等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d这个公式就是等差数列的通项公式，通过这个公式我们可以根据首项和公差快速计算出等差数列中任意一项的值。
三、等差数列通项公式的应用等差数列的通项公式在数学和物理中都有广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景。
1. 求解等差数列中某一项的值：通过通项公式，我们可以根据首项和公差计算等差数列中任意一项的值。
这在数学计算和物理问题中常常会遇到，通过等差数列的公式可以方便地求解问题。
2. 求解等差数列的前n项和：等差数列的前n项和可以通过公式 Sn = (a1 + an) * n / 2 来计算，其中Sn表示前n项和。
这个公式可以用来求解等差数列中一段连续数的和，也可以用来计算数列中一共有多少项。
3. 应用于物理学中的运动学问题：在物理学中，等差数列的通项公式常常用来描述运动的变化规律。
等差数列通项公式推导
等差数列通项公式推导摘要：1.等差数列的定义和性质2.等差数列的通项公式3.通项公式的推导过程4.通项公式的应用正文：1.等差数列的定义和性质等差数列是一类特殊的数列，它的每一项与它前面的项的差相等。
设一个等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的第n 项可以表示为an=a1+(n-1)d。
这里，a1 是数列的第一个元素，d 是数列中相邻两项的差，n 是数列的项数。
2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指用来表示等差数列中任意一项的数学公式。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d其中，an 表示等差数列的第n 项，a1 表示等差数列的首项，d 表示等差数列的公差，n 表示等差数列的项数。
3.通项公式的推导过程为了更好地理解等差数列的通项公式，我们来看一下它的推导过程。
假设等差数列的前n 项和为Sn，则有：Sn = a1 + a2 + a3 +...+ an根据等差数列的性质，我们知道：a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + 2d...an = a1 + (n - 1)d将上述等式代入Sn 中，得：Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) +...+ (a1 + (n - 1)d)将每一项中的a1 提取出来，得：Sn = a1 * n + d * (1 + 2 + 3 +...+ (n - 1))根据等差数列求和公式，我们知道：1 +2 +3 +...+ (n - 1) = n * (n - 1) / 2将上述等式代入Sn 中，得：Sn = a1 * n + d * n * (n - 1) / 2由于等差数列的第n 项an 等于前n 项和Sn 减去前n-1 项和Sn-1，所以：an = Sn - Sn-1 = a1 * n + d * n * (n - 1) / 2 - [a1 * (n - 1) + d * (n - 1) * (n - 2) / 2]化简得：an = a1 + (n - 1)d这就是等差数列的通项公式。
数列的等差数列与等比数列的通项公式
数列的等差数列与等比数列的通项公式数列是数学中常见的一种数值排列形式，包括等差数列和等比数列两种类型。
在数列中，每一项与前一项之间具有一定的关系，这种关系可以用通项公式来表示。
等差数列和等比数列的通项公式是数学中重要的公式，通过它们可以计算数列中的任意一项。
本文将分别介绍等差数列和等比数列，并给出它们的通项公式。
一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之间的差值相等的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d在等差数列中，每一项与前一项的差值都是相同的，即后一项与前一项的差值等于公差d。
通过通项公式，可以根据数列的首项、公差和项数来计算任意一项的值。
例如，已知等差数列的首项a为3，公差d为2，求该等差数列的第6项：a6 = a + (6-1)d= 3 + 5×2= 3 + 10= 13因此，等差数列的第6项为13。
二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a×r^(n-1)在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相同的，即后一项与前一项的比值等于公比r。
通过通项公式，可以根据数列的首项、公比和项数来计算任意一项的值。
例如，已知等比数列的首项a为2，公比r为3，求该等比数列的第4项：a4 = a×r^(4-1)= 2×3^3= 2×27= 54因此，等比数列的第4项为54。
总结：等差数列和等比数列是数学中常见的数值排列形式。
等差数列中每一项与前一项的差值相等，可以用通项公式an = a + (n-1)d 来表示。
等比数列中每一项与前一项的比值相等，可以用通项公式an = a×r^(n-1)来表示。
通过这两个通项公式，我们可以根据数列的首项、公差或公比以及项数来计算数列中任意一项的值。
等差数列三条公式
等差数列三条公式等差数列是数学中常见的一种数列形式，具有一定的规律性。
在等差数列中，有三条重要的公式，分别是求前n项和、求通项公式和求项数的公式。
下面将依次介绍这三条公式。
一、求前n项和的公式：对于等差数列，求前n项和是常见的问题。
我们可以通过一个简单的公式来求解。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则前n项和Sn可表示为：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，a1为首项，an为第n项，n为项数。
这个公式的推导过程比较简单，就不再赘述。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，我们可以通过这个公式来求其前4项和：a1 = 1, an = 7, n = 4Sn = (1 + 7) * 4 / 2 = 8 * 2 = 16二、求通项公式的公式：通项公式是指等差数列中第n项与公差、首项之间的关系式。
对于等差数列，通项公式的一般形式为：an = a1 + (n - 1) * d其中，an为第n项，a1为首项，d为公差，n为项数。
这个公式的推导过程也是比较简单的，可以通过观察数列的规律得到。
例如，对于等差数列2, 5, 8, 11，我们可以通过这个公式来求其第5项：a1 = 2, d = 3, n = 5an = 2 + (5 - 1) * 3 = 2 + 12 = 14三、求项数的公式：有时候，我们知道等差数列的首项、公差和前n项和，想要求项数n。
这个时候，我们可以利用求根公式来解决。
设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则项数n可表示为：n = (2 * Sn - a1) / d + 1这个公式的推导过程较为复杂，主要是通过求解一元二次方程来得到。
但是在实际应用中，我们可以直接使用这个公式来求解。
例如，对于等差数列3, 6, 9, 12，我们知道a1 = 3, d = 3，前n 项和Sn = 18，希望求解项数n，可以使用这个公式：n = (2 * 18 - 3) / 3 + 1 = 36 / 3 + 1 = 12 + 1 = 13以上就是等差数列中三个重要的公式：求前n项和的公式、求通项公式的公式和求项数的公式。
等差数列求项数公式
等差数列求项数公式
等差数列前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或
Sn=n(a1+an)/2。
等差数列{an}的通项公式为：
an=a1+(n-1)d。
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
等差中项即等差数列头尾两项的和的一半。
第n项的值an=首项+（项数-1）×公差
an=am+(n-m)d ，若已知某一项am，可列出与d有关的式子求解an
例如 a10=a4+6d或者a3=a7-4d
前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2
公差d=(an-a1)÷（n-1）（其中n大于或等于2，n属于正整数）
项数=（末项-首项）÷公差+1
末项=首项+（项数-1）×公差。
等差数列通项公式总结
等差数列通项公式总结等差数列通项公式总结_数列公式学好数学的关键是公式的掌握，数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，同时还是提高人的判断能力、分析能力、理解能力的学科。
下面是小编为大家整理的等差数列通项公式总结，希望能帮助到大家!等差数列通项公式总结an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b 高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。
首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
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4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。
一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。
(完整版)等差数列的通项公式总结
(完整版)等差数列的通项公式总结完整版等差数列的通项公式总结等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
通项公式是指可以直接通过数列的位置来计算该位置上的数值的公式。
等差数列的定义设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，第$n$项为$a_n$，则等差数列可表示为：$a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ...$。
通项公式对于等差数列，可以通过通项公式直接计算任意位置上的数值。
下面是完整版的等差数列通项公式总结：1. 首项 $a_1$：已知首项和公差，可以直接得到首项的值。
$$a_1 = \text{首项的值}$$2. 公差 $d$：已知首项和第二项，可以直接计算公差的值。
$$d = a_2 - a_1$$3. 第$n$项 $a_n$：(a) 已知首项、公差和位置，可以直接计算第$n$项的值。
$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$(b) 已知首项、公差和末项，可以通过末项逆推得到第$n$项的值。
$$a_n = a_{\text{末项}} - (n - 1) \cdot d$$4. 末项 $a_{\text{末项}}$：已知首项、公差和项数，可以直接计算末项的值。
$$a_{\text{末项}} = a_1 + (n - 1) \cdot d$$5. 项数 $n$：(a) 已知首项、公差和第$n$项，可以直接计算项数的值。
$$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$$(b) 已知首项、公差和末项，可以直接计算项数的值。
$$n = \frac{a_{\text{末项}} - a_1}{d} + 1$$总结等差数列是一种常见的数列形式，通过通项公式可以方便地计算数列中任意位置上的数值。
根据已知条件的不同，可以通过通项公式计算首项、公差、项数、第$n$项和末项。
这些公式提供了简单而实用的方法来解决等差数列相关的问题。
等差数列的通项公式
1．等差数列的定义及通项公式． 2. 等差中项的定义及公式． 3．等差数列定义、通项公式和中项公式的应用．
书本 P 11 1,2,3．
解： 根据an a1 (n 1)d,得
a1 (3 1)d 16, a1 (7 1)d 8.
解得a1 20, d 2.
an a1 (n 1)d 20 (n 1) ( 2) 2n 22. 所以数列{an}的通项公式为an 2n 22.
已知等差数列{an}中，a11 301, a21 401, 求此数列的通项公式
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
an ＝ a1 ＋ （ n – 1 ） d．
等差数列的通项公式
例1已知等差数列{a n }的首项是1，公差为3，求其第11项
解： a1 1, d 3, n 11
根据an a1 (n )d,得
a11 1 (11 1) 3 31
数 列
6.2.2
数列 数列
数列
等差数列的通项公式
等差数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前 一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．
这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表 示） ．
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
已知等差数列{a n }的首项为7，公差为2，求a11
例2 求等差数列－13，－9，－5，-1，… 的第56项.
解：a1 13, d 9 ( 13) 4, n 56, 根据an a1 (n 1)d,得
a56 13 55 4 207
求等差数列17,14,11,8，…的第10项
等差数列的通项公式及性质
性质2：
若 m+n=p+q， 则：am an ap aq
(m、n、p、q∈N )
特别地，若 m+n=2p,则：am an 2ap
例 2：在等差数列 中，
（1）若a3+a7=12，则a2+a8= ，2a5=
(2) 若a8=7， 则a3+a13=
，，
(3) 若a5+a6 +a10+a11=40，则a2+a14=
等差数列的通项公式及性质
复习
知识点1：ห้องสมุดไป่ตู้
后项减前项
从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数 .
这个数列就叫做等差数列。
知这个识常点数2叫： 做a等n差1 数列an的公d差，即通常an用1字母adn 表 示d .
例1：已知等差数列的首项a1 12,公差d =-5，试写出数列的 第二项到第5项。 第100项呢？第1000项呢？
性质5：
等差数列{an}的公差为d,那么： （1）数列{an+k} 是 等差数列，公差为__d_____. （2）数列{λan} 是 等差数列，公差为_λ__d____. （3）数列{λan+b}_是__等差数列，公差为__λ__d_____. （λ,b是常数）
例5：若等差数列an的公差为d，则3an是( )
（2）已知a1=3，an =21，d=2，求n；
3 若a5 10, a9 18, 求an ,并判断 32是不是
该数列中的项。
例3：P7---例4
变式：已知三个数成等差数列，它们的和为12，积为28，求 这三个数.
知识点2：性质
性质1： an am n m d m, n N
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式等差数列是指数列中的每一个元素间的差都是相等的。
其通项公式可以用于求出数列中任意一个元素的值，也可以用于表示数列的全体元素。
本文将详细介绍等差数列的通项公式，希望对学习数学的读者有所帮助。
一、等差数列的定义和性质等差数列是数列中的每一项都与前一项之差相等的数列。
具体来说，若数列 ${\\left[a_{n}\\right]}_{n\\ge 1}$ 满足 $a_{n+1}-a_{n}=d\\ (n\\ge1)$，则称其为公差为 $d$ 的等差数列。
1. 等差数列的前 $n$ 项和公式等差数列的前 $n$ 项和可以用以下公式表示：$$S_n=\\frac{n}{2}\\left(a_{1}+a_{n}\\right)$$其中，$S_n$ 表示等差数列前 $n$ 项的和，$a_{1}$ 表示数列的首项，$a_{n}$ 表示数列的第 $n$ 项。
2. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指能够求出数列中任一项 $a_{n}$ 的公式。
假设等差数列的公差为 $d$，首项为 $a_1$，则其通项公式为：$$a_{n}=a_{1}+(n-1) d\\qquad (n \\geqslant 1)$$这个公式表示了等差数列中第 $n$ 项与首项之间的差距。
更一般地，我们可以将通项公式表示为：$$a_{n}=a_{m}+(n-m) d\\qquad (m,n \\in Z)$$其中，$m$ 表示已知数列中的任意一项，而 $n$ 则表示需要求解的数列中的项数。
根据这个公式，我们可以轻松地求出等差数列中的任意一项。
3. 等差数列的性质等差数列还具有以下性质：（1）等差数列的公差决定了每一项之间的差距。
（2）等差数列的前 $n$ 项和与项数 $n$ 的关系是二次函数。
（3）等差数列经常被用于解决数学中的各种问题，如运用数列的差等于比的方法。
二、等差数列的求解在使用通项公式求解等差数列时，需要知道数列中的至少两个数。
等差数列的通项公式和求和公式
等差数列的通项公式和求和公式等差数列是数学中常见的数列形式，其中每个数与其前一个数之间的差值保持相等。
在等差数列中，我们常常需要计算出特定位置的项以及求和的结果。
为了准确计算，我们需要熟悉等差数列的通项公式和求和公式。
一、等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以用来计算数列中任意位置的项，通过已知前几项或其他相关信息可以确定。
通项公式的一般形式如下：an = a1 + (n - 1)d其中，an 表示等差数列中第 n 个数的值；a1 表示等差数列中第一个数的值；n 表示要求的数列位置；d 表示等差数列的公差（即相邻两项之间的差值）。
通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中任意一项的值。
例如，假设已知一个等差数列的首项 a1 为 2，公差 d 为 3，我们可以通过通项公式计算出数列中第 5 个数的值：a5 = 2 + (5 - 1)3 = 2 + 12 = 14这样，我们就可以根据已知条件和通项公式得到数列中任意位置的项的值。
二、等差数列的求和公式在一些情况下，我们不仅仅希望计算出数列中某个位置的项的值，还希望知道数列中一定范围内（从第一个数到第 n 个数）的所有数的和，这时就需要用到求和公式。
求和公式的一般形式如下：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn 表示等差数列的前 n 项和；a1 表示等差数列的首项；an 表示等差数列中的第 n 个数。
通过这个求和公式，我们可以得到等差数列的前 n 项和的结果。
例如，如果我们想计算一个等差数列的前 4 项和，已知首项为 1，公差为2，我们可以使用求和公式：S4 = (4/2)(1 + a4)要计算出 a4 ，我们可以使用通项公式：a4 = a1 + (4 - 1)d = 1 + 3 × 2 = 7将这两个结果代入求和公式中，我们可以得到前 4 项和的值：S4 = (4/2)(1 + 7) = 2 × 8 = 16由此可见，求和公式可以很方便地计算等差数列的前 n 项和。
史上最全的数列通项公式的求法15种
史上最全的数列通项公式的求法15种一、等差数列（Arithmetic sequence）1.基本公式：一个等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中an代表数列的第n项，a1代表数列的首项，d代表数列的公差。
2.另一种形式：等差数列的通项公式还可以表示为：an = a + (n-1) * (a2-a1)/2其中an代表数列的第n项，a代表数列的首项，a1代表数列的第二项，a2代表数列的前两项。
二、等比数列（Geometric sequence）1.基本公式：一个等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中an代表数列的第n项，a1代表数列的首项，r代表数列的公比。
2.另一种形式：等比数列的通项公式也可以表示为：an = a * q^n其中an代表数列的第n项，a代表数列的首项，q代表数列的公比。
三、斐波那契数列（Fibonacci sequence）1.基本公式：一个斐波那契数列的通项公式为：Fn=(φ^n-(1-φ)^n)/√5其中Fn代表数列的第n项，φ代表黄金分割比（约1.618）。
2.矩阵法：斐波那契数列的通项公式还可以通过矩阵的形式表示：Fn=(A^n*F0)，其中An是一个特定的矩阵，F0是初始向量。
四、调和数列（Harmonic sequence）1.基本公式：一个调和数列的通项公式为：an = 1/n其中an代表数列的第n项。
五、多项式数列（Polynomial sequence）一个多项式数列的通项公式为：an = an-1 + an-2 + ... + an-m其中an代表数列的第n项，an-1为前一项，an-2为前两项，an-m为前m项。
六、余弦数列（Cosine sequence）1.基本公式：一个余弦数列的通项公式为：an = a + b * cos(cn)其中an代表数列的第n项，a、b为常数，c为常数。
2.幂函数法：余弦数列的通项公式还可以表示为：an = a + b * cos(nθ)其中an代表数列的第n项，a、b为常数，θ为角度。
求等差数列通项的9种方法
求等差数列通项的9种方法1．a n ＋1＝a n ＋f (n )型把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)．例1：已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n ，求a n 。
[解] 由条件，知a n ＋1－a n ＝1n 2＋n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， 所以a n －a 1＝1－1n.因为a 1＝12，所以a n ＝12＋1－1n ＝32－1n .2．a n ＋1＝f (n )a n 型把原递推公式转化为a n ＋1a n＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a n a n －1＝f (n －1)，累乘可得a na 1＝f (1)f (2)…f (n －1)．[例2] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1·a n ，求a n .[解] 由a n ＋1＝nn ＋1·a n ，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12×23＝23n.即a n ＝23n.3．a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，比较系数可知t ＝qp －1，可令a n ＋1＋t ＝b n ＋1换元即可转化为等比数列来解决．例3：已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .[解] 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，则t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.4．a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型(1)一般地，要先在递推公式两边同除以q n ＋1，得a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q，引入辅助数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q，再用待定系数法解决；(2)也可以在原递推公式两边同除以p n ＋1，得a n ＋1p n ＋1＝a n p n ＋1p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n，引入辅助数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n p n ，得b n ＋1－b n ＝1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n，再利用叠加法(逐差相加法)求解．[例4] 已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n .[解] 法一：在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1.令b n ＝2n ·a n ，则b n ＋1＝23b n ＋1，根据待定系数法，得b n ＋1－3＝23(b n －3)．所以数列{b n －3}是以b 1－3＝2×56－3＝－43为首项，以23为公比的等比数列． 所以b n －3＝－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .于是，a n ＝b n2n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.法二：在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边乘以3n ＋1，得3n ＋1a n ＋1＝3n a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1.令b n ＝3n·a n ，则b n ＋1＝b n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1.所以b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，b n －1－b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，…，b 2－b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.将以上各式叠加，得b n －b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n.又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋32，所以b n ＝1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n＝1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2， 即b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2.故a n ＝b n3n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.5．a n ＋1＝pa n ＋an ＋b (p ≠1，p ≠0，a ≠0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a n ＋1＋x (n ＋1)＋y ＝p (a n ＋xn ＋y )，与已知递推式比较，解出x ，y ，从而转化为{a n ＋xn ＋y }是公比为p 的等比数列．[例5] 设数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝3a n －1＋2n －1(n ≥2)，求a n . [解] 设递推公式可以转化为a n ＋An ＋B ＝3[a n －1＋A (n －1)＋B ]，化简后与原递推式比较，得⎩⎪⎨⎪⎧2A ＝2，2B －3A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝1.令b n ＝a n ＋n ＋1.(*)则b n ＝3b n －1，又b 1＝6，故b n ＝6·3n －1＝2·3n ， 代入(*)式，得a n ＝2·3n －n －1.6．a n ＋1＝pa rn (p >0，a n >0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为a n ＋1＝pa n ＋q 型数列，再利用待定系数法求解．[例6] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1a·a 2n (a >0)，求数列{a n }的通项公式．[解] 对a n ＋1＝1a·a 2n 的两边取对数，得lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 1a.令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 1a.由此得b n ＋1＋lg 1a＝2⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋lg 1a ，记c n ＝b n ＋lg 1a，则c n ＋1＝2c n ，所以数列{c n }是以c 1＝b 1＋lg 1a ＝lg 1a为首项，2为公比的等比数列．所以c n ＝2n －1·lg 1a.所以b n ＝c n －lg 1a ＝2n －1·lg 1a －lg 1a＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n －1＝lg a 1－2n ，即lg a n ＝lg a 1－2n ，所以a n ＝a 1－2n .7．a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)型对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式 [例7] 已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n2a n ＋1，n ＝1,2,3，…，求{a n }的通项公式．[解] ∵a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1＝23＋13a n，∴1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1. 又1a 1－1＝23， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以23为首项，13为公比的等比数列，∴1a n －1＝23·13n －1＝23n ， ∴a n ＝3n 3n ＋2.8.)(1n f a a n n =++型由原递推关系改写成),()1(2n f n f a a n n -+=-+然后再按奇偶分类讨论即可例8.已知数列{}n a 中，,11=a .21n a a n n =++求n a 解析：.21n a a n n =++2212+=+++n a a n n ，故22=-+n n a a即数列{}n a 是奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，⎩⎨⎧∈≥-=∴*,1,1,N n n n n n n a n 且，为偶数为奇数9.)(1n f a a n n =⋅+型将原递推关系改写成)1(12+=+⋅+n f a a n n ，两式作商可得,)()1(2n f n f a a n n +=+然后分奇数、偶数讨论即可例9.已知数列{}n a 中，,2,311n n n a a a =⋅=+求{}n a解析：⎪⎩⎪⎨⎧∈≥⋅⋅=+-N n n n n a n n n ,1,231,23221，为偶数为奇数。
等差数列中的通项公式
等差数列中的通项公式介绍等差数列是高中数学中非常基础的一个概念，指的是一个数列中每一个项与它之后的项的差都是一个定值。
因为其简单易懂的特点，在生活中被广泛应用，比如利率、工资增长等等。
而这一系列数字的和以及如何求其中某个项，则需要通过通项公式来完成。
本文将介绍等差数列中的通项公式。
公式推导要求等差数列中第n个数，我们需要知道它前面的n-1个数的和以及等差差值d。
设此数列的前n项和为S(n)，则S(n)=a1+a2+...+a(n-1)+an。
其中，a1为第一个数，an为第n个数。
又因为，a(n-1)=a1+(n-2)d，所以S(n)=a1+a2+...+a(n-1)+a1+(n-2)d+an，化简得到：S(n)=n(a1+an)/2又因为a(n-1)=a1+(n-2)d，所以an=a1+(n-1)d，代入上式得到：S(n)=n(a1+a1+(n-1)d)/2化简得到：S(n)=n(2a1+(n-1)d)/2又因为a1=S(1)，所以：S(n)=(n/2)(a1+a(n-1))其中，a(n-1)=a1+(n-2)d，代入上式最终得到：S(n)=(n/2)(a1+a1+(n-2)d)上述式子可以用来求得等差数列前n项之和。
而通项公式的推导如下：设等差数列的第n项为An，则：An=a1+(n-1)d又因为a1+(n-1)d=An，所以：d=An-a1/(n-1)代入上式得到：An=a1+(n-1)(An-a1)/(n-1)化简得到：An=a1+(n-1)(An-a1)上式可以用来求解等差数列中任意一项的数值，这就是等差数列的通项公式。
应用举例例如，某个数列的第一项为3，公差为5，我们需要求解该数列中第30项的值。
首先，使用通项公式求解第30项的公式：A30=3+(30-1)5=148其次，使用前n项和的公式求解前30项的和：S(30)=(30/2)(3+148)=2250结论等差数列中的通项公式主要用于解决通项部分的问题。
数列求通项公式方法大全
数列求通项公式方法大全数列是数学中经常使用的概念，它是由一系列按照特定规律排列的数字组成。
在数列中，每个数字被称为项，而数列求通项公式的方法则是为了找到这些数列中的规律，从而可以通过公式来表示数列中的任意一项。
本文将介绍一些常用的数列求通项公式的方法。
一、等差数列求通项公式等差数列是一种数列，其中任意两项之间的差值保持不变。
等差数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
二、等比数列求通项公式等比数列是一种数列，其中任意两项之间的比值保持不变。
等比数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
三、费波纳契数列求通项公式费波纳契数列是一种特殊的数列，其规律是每一项都是前两项的和。
费波纳契数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = (1/sqrt(5)) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)其中，an表示第n项。
四、算术几何平均数列求通项公式算术几何平均数列是一种结合了等差数列和等比数列的数列，其规律是每一项既满足等差数列的差值规律，又满足等比数列的比值规律。
算术几何平均数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = (a1 * r^n - b1)/(r - 1)其中，an表示第n项，a1表示等差数列的首项，r表示等比数列的公比，b1表示几何数列的首项。
五、斐波那契-黄金分割数列求通项公式斐波那契-黄金分割数列是一种结合了费波纳契数列和黄金分割比例的数列，其规律是每一项与前一项的比值趋近于黄金分割比例（约为1.618）。
斐波那契-黄金分割数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = a1 * Phi^n其中，an表示第n项，a1表示首项，Phi表示黄金分割比例（约为1.618）。
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等差数列通项公式
教学目标
1.明确等差数列的定义.
2.掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题
3.培养学生观察、归纳能力.
教学重点
1.等差数列的概念;
2.等差数列的通项公式
教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用
教学方法
启发式数学
教具准备
投影片1张(内容见下面)
教学过程
(I)复习回顾
师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法――通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
(放投影片)
(Ⅱ)讲授新课
师：看这些数列有什么共同的特点?
1，2，3，4，5，6;①
10，8，6，4，2，…;②
③
生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①(1≤n≤6);(2≤n≤6)
对于数列②-2n(n≥1)
(n≥2)
对于数列③(n≥1)
(n≥2)
共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个
常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2，。
二、等差数列的通项公式
师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差
是d，则据其定义可得：
若将这n-1个等式相加，则可得：
即：即：即：……
由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求
得其通项。
如数列①(1≤n≤6)
数列②：(n≥1)
数列③：(n≥1)
由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解
例1：(1)求等差数列8，5，2…的第20项
(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项?如果是，是第几项?
解：(1)由n=20，得(2)由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
(Ⅲ)课堂练习
生：(口答)课本P118练习3
(书面练习)课本P117练习1
师：组织学生自评练习(同桌讨论)
(Ⅳ)课时小结
师：本节主要内容为：①等差数列定义。
即(n≥2)
②等差数列通项公式(n≥1)
推导出公式：(V)课后作业
一、课本P118习题3.21，2
二、1.预习内容：课本P116例2―P117例4
2.预习提纲：①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题?
②等差数列有哪些性质?
板书设计
课题
一、定义
1.(n≥2)
一、通项公式
2.公式推导过程例题
教学后记
感谢您的阅读。
祝语：荣华花间露，富贵草上霜，不比谁弱谁强，不求利多名扬，寻一知心挈友，戏青山绿水，观鸟语花香，说人生真谛，换快乐良方，潇洒度时光。