等差数列概念及通项公式经典教案
人教版高中数学必修五第二章2.2.1等差数列的概念与通项公式【教案】
2.2等差数列的概念与通项公式一、教学目标：1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力3.情感目标：①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
二、教学重点：研究等差数列的概念以及通项公式的推导。
教学难点；（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。
三、学情及导入分析：高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。
本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.弄清楚等差数列与通项公式的含义以及通项公式的推导过程。
四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新1、知识链接；数列的通项公式与递推关系.学生回答，引导温故知新。
由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识创设问题情景：1.下述数列有什么共同特点？根据下述数列的共同特点，可以给出等差数列的定义吗？能将以上的文字语言转换成数学符号语言吗？[来源:学#科#网Z#X#X#K]引例1：从0开始，将5的倍数从小到大排列，得到的数列？引例2：从1开始，将自然数从小到大排列，得到的数列？引例3：为了保证考试笔试的秩序，每次放入2个人考试，依次排列下去，已经考试的人员组成一个什么数列？得出等差数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的差(公差d)为同一常数，这样的一组数列，叫做等差数列”。
等差数列的概念及通项公式教案
等差数列的概念及通项公式一、教学目标： _ _ __ _ _ _ _二、教学重点： _ _ _三、教学难点： _ _ _四、教学设计：1、等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．符号表示：2、等差数列的通项公式对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a1＋(n－1)d.3、等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n}中，已知a1，d，a m，a n(m≠n)，则d＝a n－a1n－1＝a n－a mn－m，从而有a n＝a m＋(n－m)d.4、等差数列与一次函数等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d=d n+( a1-d)，（1）当d＝0时，a n是关于n的常函数；（2）当d≠0时，a n是关于n的一次函数，一次项系数为d；类型一等差数列的判定与证明例1、判断下列函数是否为等差数列：(1) 1，1，2, 3, 4, 5 (2) 1, 2, 4, 7, 11；(3) 4, 7, 10, 13, 16； (4) 7, 4, 1，-2，-5；(5) 1, 1, 1, 1, 1；跟踪训练1：判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{a n }中，a n ＝3n ＋2；(2)在数列{a n }中，a n ＝n 2＋n .类型二 等差数列的通项公式例2 等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，项数为n（1） 已知a 1＝3，d ＝2，n=6，,求a n ；（2）已知a 1＝1，d ＝2，a n ＝15，求n ；（3）已知a 1＝54，n=6，a n ＝15，求d ；（4）已知d=-2,n=12, a n ＝-8,求a 1例3 在等差数列{a n }中（1）已知37131,75,a a a d==求和（2）已知391210,,28,a a a ==求跟踪训练：（1）已知164912,7,a a a a +==求（2）已知3696,3,a a a ==求五、课堂小结： _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ 六、教学反思： _ _ _ _ _ _ _。
等差数列的定义与通项公式教案
等差数列的定义与通项公式教案第一章：等差数列的概念引入1.1 等差数列的定义1.1.1 引导学生回顾自然数的排列，引入等差数列的概念。
1.1.2 通过具体例子，让学生理解等差数列的含义。
1.1.3 引导学生总结等差数列的特点。
1.2 等差数列的表示方法1.2.1 介绍等差数列的表示方法，引导学生理解首项、末项、公差等概念。
1.2.2 通过示例，让学生学会用符号表示等差数列。
1.2.3 让学生尝试自己表示一些等差数列，并判断其是否正确。
第二章：等差数列的性质2.1 等差数列的通项公式2.1.1 引导学生探究等差数列的通项公式。
2.1.2 通过推导，让学生理解并掌握等差数列的通项公式。
2.1.3 让学生运用通项公式计算等差数列的特定项。
2.2 等差数列的求和公式2.2.1 引导学生探究等差数列的求和公式。
2.2.2 通过推导，让学生理解并掌握等差数列的求和公式。
2.2.3 让学生运用求和公式计算等差数列的前n项和。
第三章：等差数列的通项公式的应用3.1 求等差数列的特定项3.1.1 让学生运用通项公式求解等差数列的特定项。
3.1.2 提供一些练习题，让学生巩固求特定项的方法。
3.2 求等差数列的前n项和3.2.1 让学生运用求和公式求解等差数列的前n项和。
3.2.2 提供一些练习题，让学生巩固求前n项和的方法。
第四章：等差数列的综合应用4.1 等差数列与函数的关系4.1.1 引导学生理解等差数列与函数的关系。
4.1.2 提供一些示例，让学生学会如何将等差数列问题转化为函数问题。
4.2 等差数列在实际问题中的应用4.2.1 提供一些实际问题，让学生运用等差数列的知识解决问题。
4.2.2 引导学生思考等差数列在其他领域的应用，如数学建模、数据处理等。
第五章：总结与拓展5.1 等差数列的定义与通项公式的总结5.1.1 与学生一起总结等差数列的定义与通项公式的关键点。
5.1.2 鼓励学生提出疑问，解答学生的疑惑。
数学等差数列教案优秀8篇
数学等差数列教案优秀8篇一、预习问题：1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示。
2、等差中项：若三个数组成等差数列，那么A叫做与的即或。
3、等差数列的单调性：等差数列的公差时，数列为递增数列；时，数列为递减数列；时，数列为常数列；等差数列不可能是。
4、等差数列的通项公式：。
5、判断正误：①1，2，3，4，5是等差数列；（）②1，1，2，3，4，5是等差数列；（）③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；（）④数列是公差为的等差数列；（）⑤数列是等差数列；（）⑥若，则成等差数列；（）⑦若，则数列成等差数列；（）⑧等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列；（）⑨等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差。
（）6、思考：如何证明一个数列是等差数列。
二、实战操作：例1、（1）求等差数列8，5，2，的第20项。
（2）是不是等差数列中的项？如果是，是第几项？（3）已知数列的公差则例2、已知数列的通项公式为，其中为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？例3、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为求这5个数。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。
而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法，通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。
同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。
教学过程：一、片头（30秒以内）前面学习了数列的概念与简单表示法，今天我们来学习一种特殊的数列－等差数列。
本节微课重点讲解等差数列的定义，并且能初步判断一个数列是否是等差数列。
30秒以内二、正文讲解（8分钟左右）第一部分内容：由三个问题，通过判断分析总结出等差数列的定义 60 秒第二部分内容：给出等差数列的定义及其数学表达式50 秒第三部分内容：哪些数列是等差数列？并且求出首项与公差。
等差数列的概念及通项公式教学设计方案
教学重点和难点：
重点：①等差数列的概念； ②等差数列的通项公式。
难点：①等差数列通项公式的推导；
②用数学思想解决实际问题
三、学习者特征分析（学生对预备知识的掌握了解情况，学生在新课的学习方法的掌握情况，如何设计预习）
小组讨论．
学生同桌之间合作探究．
学生分析解题思路．
教师出示答案，订正
（设计意图：通过练习，加深对概念的理解）
课后作业 运用巩固
必做题：课本P40习题2.2 A组第1题
选做题：习题2.2 B组第2题
设想意图：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的需求
六、教学板书（本节课的教学学板书）
2.2等差数列
二、教学目标（从学段课程标准中找到要求，并具体化为本节课的具体要求，明晰（学生懂）、具体、可操作、可以依据练习测试题）重点及难点（说明本课题的重难点）
知识与技能：理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式及应用；了解等差数列通项公式的推导过程。
过程与方法：在学习过程中，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
五、教学策略选择与信息技术融合的设计（针对学习流程的设计的各流程，设计教与学的方式的变革，配置学习资源和数字化工具，设计信息技术融合点）
教师活动
预设学生活动
设计意图
创设情境 引入课题多媒体展示
由高斯的求解“1+……+100”，探索1、2、……、100这些数
高斯计算的数列：
1，2，3，4，…，100
小组讨论
（教学设想：,创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力。使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的。学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化。）
第23课 等差数列的概念与通项公式
第三单元3.2《等差数列》教案
一、创设情境
上节课我们学习了认识了数列.在日常生活中，很多的实际问题，都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习一类特殊的数列。
学生观察分析下列问题：
问题1:观察下图中，9月份星期三的日期数，思考这个数列有什么特点。
星期三的日期：1,8,15,22,29
二、自主探究
问题2:观察下面数列,思考这些数列有什么共同点。
（1）4，5，6，7，…； （2）3, 0，-3, -6,…； （3）1
10，2
10，3
10，4
10，…； 特点：
（1）4，5，6，7，…；
从第2项起，每一项与它的前一项的
差都等于常数1。
（2）3, 0，-3, -6,…；
从第2项起，每一项与它的前一项的
差都等于常数-3。
（3）110，210，310，4
10，…；。
等差数列的定义与通项公式教案
等差数列的定义与通项公式教案一、教学目标：1. 了解等差数列的定义，掌握等差数列的性质。
2. 掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 等差数列的定义2. 等差数列的性质3. 等差数列的通项公式4. 等差数列的求和公式5. 应用举例三、教学重点与难点：1. 教学重点：等差数列的定义、性质、通项公式及应用。
2. 教学难点：等差数列通项公式的理解和运用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解等差数列的定义、性质、通项公式及应用。
2. 利用实例进行分析，帮助学生理解和掌握等差数列的性质和通项公式。
3. 运用练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
五、教学过程：1. 引入：通过列举一些实际问题，引导学生思考等差数列的定义和性质。
2. 等差数列的定义：讲解等差数列的定义，引导学生理解等差数列的特点。
3. 等差数列的性质：讲解等差数列的性质，如相邻两项的差是常数等。
4. 等差数列的通项公式：推导等差数列的通项公式，并解释其含义。
5. 等差数列的求和公式：讲解等差数列的求和公式，并给出应用实例。
6. 练习题：布置一些有关等差数列的练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调等差数列的定义、性质和通项公式的重点。
8. 作业：布置一些有关等差数列的应用题，让学生进一步理解和掌握所学知识。
六、教学反思：在课后对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了等差数列的定义、性质和通项公式。
针对存在的问题，调整教学方法，为下一节课做好准备。
七、教学评价：通过课堂讲解、练习题和课后作业，评价学生对等差数列的定义、性质和通项公式的掌握程度。
对学生的学习情况进行全面评价，鼓励优秀学生，帮助后进生。
八、课时安排：2课时九、教学资源：教材、教案、PPT、练习题等。
十、教学拓展：1. 等差数列在实际应用中的例子：如人口增长、工资增长等。
《等差数列》优秀教案
2．2 等差数列（一）教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
（二）教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
教学用具：投影仪（四）教学设想[创设情景]上节课我们学习了数列。
在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。
今天我们就先学习一类特殊的数列。
[探索研究]由学生观察分析并得出答案：（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……2021年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。
该项目共设置了7个级别。
其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：g）：48，53，58，63。
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。
如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。
等差数列及其通项公式教学设计
等差数列及其通项公式教学设计（一）【内容分析】本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教A版）第二章数列第二节等差数列第一课时．在上节学习数列的概念之后，转入特殊数列的学习，起着承前启后的作用．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法．【教学目标】 1．知识与能力：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式．了解等差数列的通项公式与一次函数的关系。
2．过程与方法：通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力．3．情感态度与价值观:通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．【教学重点】①等差数列的概念；②等差数列的通项公式的推导过程及应用．【教学难点】①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；②等差数列的通项公式的推导过程．【设计思路】本节采用启发式和探究式的教学方法。
从创设情境引导学生首先从三个现实问题概括出数组特点，通过观察归纳抽象出等差数列的概念；学生自主探究推导出等差数列的通项公式；借助例题进行巩固，小组合作总结反思。
【教学过程】一、创设情景，提出问题师：课本第36页的四个例题及第38页的例1，提出以上五个问题中的数蕴涵着5列数．通过实例创设等差数列的模型。
①0，5，10，15，20，25，…．②18，15．5，13，10．5，8，5．5．③10072，10144，10216，10288，10360.例1教师：把每列数记做数列的第一项，第二项，……。
观察后项与前项的差有什么规律？学生：然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念．设计意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型．二、观察归纳，引出概念教师：投出三个思考题思考1上述数列有什么共同特点？思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗？思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗？学生：分组讨论，每小组找代表发言。
2-2第1课时____等差数列的定义及通项公式
工具
第二章 数列
栏目导引
2．(1)鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22,22.5,23,23.5,24,24.5，…； (2)某月星期日的日期为2,9,16,23,30； (3)一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度(单位：cm)，为 89,83,77,71,65,59,53,47. 上面几个数列有什么共同的特点？
工具
第二章 数列
栏目导引
方法二：∵an＝am＋(n－m)d， ∴d＝ann－－mam， ∴d＝a88－－5a5＝5－311＝－2， a10＝a8＋2d＝5＋2×(－2)＝1.
工具
第二章 数列
栏目导引
工具
第二章 数列
栏目导引
在等差数列{an}中， (1)已知 a1＝6，d＝3，求 a8； (2)已知 a4＝10，a10＝4，求 a7 和 d； (3)已知 a2＝12，an＝－20，d＝－2，求 n； (4)已知 a7＝12，d＝－2，求 a1.
工具
第二章 数列
栏目导引
利用等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d， an＝am＋(n－m)d及其变形公式求解．
工具
第二章 数列
栏目导引
[解题过程] (1)∵a1＝6，d＝3，∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3. ∴a8＝3×8＋3＝27. (2)∵a4＝10，a10＝4，∴d＝a1100－－a44＝－66＝－1， ∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14， ∴a7＝－7＋14＝7. (3)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14， ∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，∴n＝18. (4)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝12，∴a1＝225.
工具
02等差数列的概念及通项公式教学设计
等差数列的概念及通项公式教学设计课题名称等差数列的概念及通项公式课时计划：1课时第1课时授课日期：教学目标1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一元一次函数的关系．重点难点1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一元一次函数的关系．教学方法教师讲授，学生主导，师生互动科组模式板书设计作业布置课后反思教学设计教学环节教师活动(可附带学生活动)一、等差数列的概念问题1观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．(1)近5届冬奥会举办的时间：2006,2010,2014,2018,2022；(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45,44,43,42,41,40，…；(3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.以上数列有什么共同特征？知识梳理一般地，如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的______都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母______表示．例1判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a 1和公差d .(1)1,3,5,7,9，…；(2)9,6,3,0，－3，…；(3)1,3,4,5,6，…；(4)7,7,7,7,7，…；(5)1，12，13，14，15，….反思感悟利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列．跟踪训练1(多选)下列数列是等差数列的是()A ．1,1,1,1,1B ．4,7,10,13,16C.13，23，1，43，53D ．－3，－2，－1,1,2二、等差中项问题2由等差数列的定义可知，如果1，x ,3这三个数是等差数列，你能求出x 的值吗？由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的____________，且2A ＝____________.例2(1)若a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为()A.3B.2C.32D.22(2)在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列．反思感悟若a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，由A ＝a ＋b 2也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项⇔A ＝a ＋b 2.跟踪训练2已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则2m －n 和2n －m 的等差中项是()A ．8B ．6C ．4.5D ．3三、等差数列的通项公式问题3你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？问题4观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？、1．首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的通项公式为a n＝____________.2．若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为______，在y轴上的截距为____________；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加______．例3在等差数列{a n}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a n.延伸探究若等差数列{a n}的前三项和为24，第二项与第三项之积为40，求数列{a n}的前三项，并写出通项公式．反思感悟等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d中共含有四个量，即a1，d，n，a n，如果知道了其中的任意三个量，那么就可以求出第四个量，在这四个量中，a1和d是等差数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．跟踪训练3在等差数列{a n}中，求解下列各题：(1)已知公差d＝－1＝8，则a1＝____________.3，a7(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝__________.(3)已知{a n}的前3项依次为2,6,10，则a15＝________.。
高三数学复习等差数列的概念及通项公式(教案)
高三数学复习：等差数列的概念及通项公式(教案)一、教学目标：1.知识目标： 理解等差数列的定义和通项公式的推导方法；掌握公式的运用。
2.能力目标：利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法运用等差数列的通项公式，培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；通过从函数观点和数形结合去认识等差数列，培养学生分析问题，解决问题的能力。
3.情感目标：（数学文化价值）：公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶；通过公式的运用，树立学生"大众教学"的思想意识。
二、课前预习：1.等差数列的概念：（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
一次函数（2）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；推倒方法：(n －1)个等式⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝d a 3－a 2＝da 4－a 3＝d …a n －a n －1＝d说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
（3）等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=或A -a =b- A 归纳与拓展一：１．理解等差数列的定义及通项公式要抓住关键词和关键量；２．运用递推关系推导等差数列的通项公式的方法是累加法，等比数列是累乘法；累加法和累乘法是讨论递推关系的基本方法；３．数列中的三项问题，注意中项的运用．三、例题精析：1．（课本P38习题4改编）（1）在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.（2）试问154是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由. 思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a 1和d ，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a 25.解法一：设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则根据题意可得：⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10a 1＋14d ＝25这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1＝4，d ＝32 .∴这个数列的通项公式为：a n ＝4＋32 ×(n －1)，即：a n ＝32 n ＋52 .∴a 25＝32 ×25＋52＝40.思路二：若注意到已知项为a 5与a 15，所求项为a 25，则可直接利用关系式a n ＝a m ＋(n －m )d .这样可简化运算.解法二：由题意可知：a 15＝a 5＋10d ，即25＝10＋10d , ∴10d ＝15.又∵a 25＝a 15＋10d ，∴a 25＝25＋15＝40.思路三：若注意到在等差数列{a n }中，a 5，a 15，a 25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a 25的值.解法三：在等差数列{a n }中，a 5，a 15，a 25成等差数列 ∴2a 15＝a 5＋a 25，即a 25＝2a 15－a 5, ∴a 25＝2×25－10＝40.解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点 由于P （15，33），Q （45，153），R （n ，217）在同一条直线上.故有153－3345－15 ＝217－153n －45 ，解得n ＝61.评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.归纳与拓展二： １．“知三求一”方法：数列角度：（１）数列通项基本量代入 （２）数列性质 （３）等差中项 函数观点：一次函数 数形结合：（１）直线方程 （２）斜率公式 （３）向量共线推广：类似方法可讨论等差和等比数列中“知三求二”问题２．在熟练应用基本公式的同时,还要会用变通的公式,如在等差数列中：（１）()n m a a n m d =+-（２）若,,,m n p q N +∈，且m n p q +=+则m n p q a a a a +=+ .2. 梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，中间两级的宽度分别为 ， 。
初中数学教案：等差数列与通项公式
初中数学教案：等差数列与通项公式等差数列与通项公式一、引言等差数列作为初中数学中的重要内容，是学习数列与函数的基础。
它能帮助学生理解数列的定义和性质，培养学生的思维能力和推理能力。
本教案将以等差数列与通项公式为主题，详细讲解概念、性质以及应用，并提供相应的教学方法。
二、概念与性质1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中的各项之间的差值都相等的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差，n表示项数，第n项表示为an，通常表示为an=a+(n-1)d。
学生首先需要熟悉等差数列的概念以及基本符号的含义。
2. 等差数列的性质等差数列有以下几个重要性质：（1）公差d的作用：公差决定了等差数列中每一项的值与其前一项的差值。
（2）首项a的作用：首项决定了等差数列中每一项的值与公差之间的关系。
（3）通项公式的推导：通过观察等差数列的特点，可以推导出等差数列的通项公式an=a+(n-1)d。
三、等差数列的应用1. 求和公式等差数列的和可以通过求和公式来计算，即Sn=(a1+an)×n/2，其中Sn表示等差数列的前n项的和。
学生需要通过具体例子来理解求和公式的运用，同时要能够应用公式进行求和计算。
2. 应用实例等差数列的应用非常广泛，在数学和现实生活中都有很多实例。
例如，计算机中的算法、金融领域中的利息计算、建筑中的等距离控制等都能够用到等差数列的知识。
通过应用实例，学生能够将等差数列与实际问题联系起来，提高问题解决能力。
四、教学方法与策略1. 由浅入深的教学法在教学中，可以先从简单的数列开始，逐步引入等差数列的概念和性质。
首先引导学生观察和发现等差数列的规律，然后引入通项公式和求和公式的概念和运用。
2. 理论与实践相结合的教学法除了讲解等差数列的公式和性质，还需要提供大量的例题和实践活动，让学生通过实际的计算和问题解决来加深对等差数列的理解。
例如，可以设计一些情境题，让学生将等差数列应用到实际生活中。
3. 合作学习的教学法在教学中可以采用分组合作的方式，让学生在小组内相互讨论、合作完成练习或解决问题。
第四章《数列》第一课时 等差数列的概念与通项公式
4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第一课时等差数列的概念与通项公式课标要求素养要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.体会等差数列与一元一次函数的关系. 在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.新知探究观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题.我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2 017，2 029，2 041，2 053，2 065，2 077，…；①我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；②2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③问题数列①②③有什么共同的特点？提示从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，都是等差数列.1.等差数列的概念等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”从第2项起条件每一项与它的前一项的差都等于同一个常数结论这个数列就叫做等差数列有关概念这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a 与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.3.等差数列的通项公式一般形式：a n＝a m＋(n－m)d(1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d.(2)等差数列与一次函数的关系：①公差d≠0的等差数列{a n}的图象是点(n，a n)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为(k＋b)，公差为k.拓展深化[微判断]1.常数列是等差数列.(√)2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)提示差都是同一个常数.3.数列{a n}满足a n＋1－a n＝1(n＞1)，则数列{a n}是等差数列.(×)提示{a n}不一定是等差数列，忽略了第1项.[微训练]1.已知实数m是1和5的等差中项，则m＝()A. 5B.±5C.3D.±3解析由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.答案 C2.等差数列{1－3n}的公差d等于()A.1B.3C.－3D.n解析∵a n＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3.答案 C3.等差数列－3，－1，1，…的通项公式为a n＝________.解析由题知，a1＝－3，d＝2，a n＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.答案2n－5[微思考]1.如果数列{a n}满足a n＋1－a n＝d(常数)或2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)，那么数列{a n}是等差数列吗？提示是等差数列.2.等差数列{a n}的单调性与其公差d有什么关系？提示当公差d＝0时，{a n}是常数列；当公差d>0时，{a n}是递增数列；当公差d<0时，{a n}是递减数列.题型一等差数列的通项公式及相关计算【例1】在等差数列{a n}中，(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求a n；(2)已知a1＝3，a n＝21，d＝2，求n；(3)已知a1＝12，a6＝27，求d；(4)已知d＝－13，a7＝8，求a1和a n.解 (1)a n ＝a 10＝a 1＋(10－1)d ＝2＋9×3＝29.(2)由a n ＝a 1＋(n －1)d 得3＋2(n －1)＝21，解得n ＝10. (3)由a 6＝a 1＋5d 得12＋5d ＝27，解得d ＝3. (4)由a 7＝a 1＋6d 得a 1－2＝8，解得a 1＝10， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－13(n －1)＝－13n ＋313. 规律方法 等差数列通项公式中的四个参数及其关系【训练1】 n 743d ＝( ) A.－2 B.－12 C.12D.2(2)在数列{a n }中，已知a 1＝3，当n ≥2时，1a n －1a n －1＝15，则a 16＝( )A.25B.310C.23D.32解析 (1)由条件得⎩⎨⎧a 1＋6d －2（a 1＋3d ）＝－1，a 1＋2d ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－12.(2)因为当n ≥2时，1a n －1a n －1＝15，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以13为首项，以15为公差的等差数列，故1a 16＝13＋15×15＝103，故a 16＝310. 答案 (1)B (2)B题型二 等差中项及其应用【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列.解∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.∴该数列为－1，1，3，5，7.规律方法(1)由等差数列的定义知a n＋1－a n＝a n－a n－1(n≥2，n∈N*)，即2a n＝a n－1＋a n＋1，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.(2)在设等差数列的项时，可利用上述性质.【训练2】若a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为()A. 3B. 2C.32 D.22(2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()A.2B.3C.6D.9解析(1)由题知a，b的等差中项为12⎝⎛⎭⎪⎫13＋2＋13－2＝12(3－2＋3＋2)＝ 3.(2)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m ＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.所以m和n的等差中项为m＋n2＝3.答案(1)A(2)B题型三等差数列的判定角度1 等差数列的证明【例3－1】 (1)已知数列{a n }是等差数列，设b n ＝2a n ＋3，求证：数列{b n }也是等差数列.证明 因为数列{a n }是等差数列，可设其公差为d ，则a n ＋1－a n ＝d .从而b n ＋1－b n ＝(2a n ＋1＋3)－(2a n ＋3)＝2(a n ＋1－a n )＝2d ，它是一个与n 无关的常数， 所以数列{b n }是等差数列.(2)已知a 1＝2，若a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 为等差数列，并求{a n }的通项公式.证明 由于a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1， 所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝2a n ＋2n ＋12n ＋1－a n 2n ＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列.∴a n2n ＝1＋(n －1)×1＝n . ∴a n ＝n ·2n .角度2 等差数列的探究【例3－2】 数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *). (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ，使数列{a n }为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.解 (1)∵a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *)及a 1＝2，a 2＝－1，∴a 2＝(λ－3)a 1＋2， ∴λ＝32.∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112.(2)不存在.∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ，∴a 2＝(λ－3)a 1＋2＝2λ－4，a 3＝(λ－3)a 2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{a n }为等差数列，则a 1＋a 3＝2a 2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，∴λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解，∴λ不存在，即不存在λ使{a n }为等差数列.规律方法 (1)证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.②等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.(2)若证明一个数列不是等差数列，则只要证明其中特定三项(如前三项a 1，a 2，a 3)不是等差数列即可.【训练3】 已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N *).(1)证明：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明 由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋2（6a n －4）－2（a n ＋2）＝a n ＋24a n －8＝（a n －2）＋44（a n －2）＝1a n －2＋14， 得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N *，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是等差数列. (2)解 由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34， 所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N *.一、素养落地1.通过学习等差数列的概念，提升数学抽象素养，通过学习等差数列的证明及相关计算，提升逻辑推理及数学运算素养.2.判断一个数列是不是等差数列的常用方法： (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.3.由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.二、素养训练1.给出下列数列：(1)0，0，0，0，0，…；(2)1，11，111，1 111，…；(3)2，22，23，24，…；(4)－5，－3，－1，1，3，…；(5)1，2，3，5，8，….其中是等差数列的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析数列(1)，(4)是等差数列，故选B.答案 B2.若数列{a n}的通项公式是a n＝2(n＋1)＋3，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为5的等差数列D.不是等差－a n＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{a n}是公差为2的等差数列. 解析a n＋1答案 A3.在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5＝()A.5B.6C.8D.9解析因为a5是a1和a9的等差中项，所以2a5＝a1＋a9，即2a5＝10，a5＝5.答案 A4.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________.解析d＝－1－1＝－2，设a n＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n ＝46.答案465.在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n . 解 由题意可得⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .基础达标一、选择题1.设数列{a n }(n ∈N *)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A.4 B.3 C.2D.1解析 由a 2＝a 1＋d ＝4，a 4＝a 1＋3d ＝6，解得d ＝1. 答案 D2.已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A.15 B.22 C.7D.29解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ， 根据题意得⎩⎨⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15. 答案 A3.在数列{a n }中，若a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝8，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝2(n ＋1)2 B.a n ＝4(n ＋1) C.a n ＝8n 2D.a n ＝4n (n ＋1) 解析 由题意得a n ＋1－a n ＝2，故数列{a n }是首项为a 1＝22，公差为2的等差数列，所以a n ＝22＋2(n －1)＝2n ＋2，故a n ＝2(n ＋1)2. 答案 A4.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是( ) A.73斤 B.72斤 C.52斤D.3斤解析 依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a 1＝4，则a 5＝2，设公差为d ，则2＝4＋4d ，解得d ＝－12，所以a 2＝4－12＝72. 答案 B5.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是( ) A.第7项 B.第8项 C.第9项D.第10项解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ， ∴a 7＝2>0，a 8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项. 答案 B 二、填空题6.在△ABC 中，B 是A 和C 的等差中项，则cos B ＝________.解析 ∵B 是A 和C 的等差中项，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，cos B ＝12. 答案 127.已知等差数列{a n }中，a 1＋a 2＝a 4，a 10＝11，则a 12＝________. 解析 由题意得⎩⎨⎧a 1＋a 1＋d ＝a 1＋3d ，a 1＋9d ＝11，解得⎩⎨⎧a 1＝2d ＝1.故a 12＝2＋11＝13. 答案 138.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.解析 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 答案 6766三、解答题9.在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项.(2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎨⎧a 1＋4d ＝15，a 1＋16d ＝39，解得⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5.令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项.(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ，所以a 10＝13－10＝3.10.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由. (2)求a n .解 (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列.理由如下： 因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n， 所以1a n ＋1－1a n＝12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差d ＝12 的等差数列.(2)由(1)可知，1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n 2，所以a n ＝2n . 能力提升11.已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若{11＋a n}是等差数列，则a 11等于( ) A.0B.16C.13D.12解析 ∵11＋a 3＝13，11＋a 5＝12， 设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11＋a n 的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧11＋a 1＋2d ＝13，11＋a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧11＋a 1＝16，d ＝112.∴11＋a n ＝16＋(n －1)·112， ∴11＋a 11＝16＋11－112＝11＋112＝1，∴a 11＝0. 答案 A12.在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *).(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若λa n ＋1a n≥λ对任意的n ≥2恒成立，求实数λ的取值范围. (1)证明 由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2，n ∈N *)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列.(2)解 由(1)可得1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2， 所以a n ＝13n －2. (3)解 λa n ＋1a n≥λ对任意的n ≥2恒成立， 即λ3n －2＋3n －2≥λ对任意的n ≥2恒成立， 整理得λ≤（3n －2）23n －3，对任意的n ≥2恒成立. 令f (n )＝（3n －2）23n －3，则只需满足λ≤f (n )min 即可. 因为f (n ＋1)－f (n )＝（3n ＋1）23n －（3n －2）23n －3＝9n 2－9n －13n （n －1）＝3－13n （n －1）， 所以当n ≥2时，f (n ＋1)－f (n )>0，即f (2)<f (3)<f (4)<…，所以f (2)最小.又f (2)＝163，所以λ≤163， 所以实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，163. 创新猜想13.(多选题)已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N *)，则下列说法正确的有( )A.数列{a n }是等差数列B.a 2k ＝7－2k (k ∈N *)C.a 2k －1＝12－2k (k ∈N *)D.a n ＋a n ＋1＝18－3n解析 由a n －a n ＋2＝2得a 3＝a 1－2＝8，由于2a 2≠a 1＋a 3，所以{a n }不是等差数列，A 不正确；由a n －a n ＋2＝2，知{a n }的偶数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当n ＝2k (k ∈N *)时，a 2k ＝a 2＋(k －1)×(－2)＝7－2k ，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a 2k －1＝a 1＋(k －1)×(－2)＝12－2k ，故B ，C 都正确；当n ＝2时，a 2＋a 3＝5＋8＝13不满足a n ＋a n ＋1＝18－3n ，故D 错误.答案 BC14.(多选题)在数列{a n}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{a n}为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有()A.若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等差数列B.数列{(－1)n}是等方差数列C.若数列{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则数列{a n}一定是常数列D.若数列{a n}是等方差数列，则数列{a kn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列解析根据等方差数列的定义易知A正确；因为(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，所以数列{(－1)n}是等方差数列，B正确；若数列{a n}既是等方差数列，又是等差数列，设公差为d，则a2n－a2n－1＝(a n－a n－1)·(a n＋a n－1)＝d[2a1＋(2n－3)d]＝2a1d＋(2n－3)d2＝p.又p为常数，所以d＝0，C正确；若数列{a n}是等方差数列，则a2n－a2n－1＝p，a2kn－a2k（n－1）＝(a2kn－a2kn－1)＋(a2kn－1－a2kn－2)＋(a2kn－2－a2kn－3)＋…＋(a2kn－k＋1－a2kn－k)＝kp为常数，D正确.答案ABCD。
等差数列的概念与通项公式
共 8 页第 3 页
（ 3）在等差数列 an 中，对任意 m ， n N ， an ， d ( m n) ； （ 4）若三个数成等差数列，可设为 a d , a , a d ，公差为 d 若四个数成等差数列，可设为 a 3d , a d , a d , a 3d ，公差为 2d .
五、典型例题
例 1. 已知等差数列 an 的通项公式为 an 2n 1 ,求首项 a1 和公差 d .
例 2.已知三个数成等差数列，其和为 15，其平方和为 83，求此三个数 .
例 3. （ 1）在等差数列 { an} 中，是否有 an
an 1 an 1 2
(n 2) ？
（ 2）在数列 { an} 中，若对于任意的正整数
例 4.（ 1）在等差数列 an 中，是否有 a n
an 1 a n 1 (n 2) ？ 2
（ 2）在数列 an 中，如果对于任意的正整数
定是等差数列吗？
n(n 2) ，都有 an
a n 1 an 1 ，那么数列 an 一 2
四、知识建构
问题 1：在等差数列 { an} 中，已知 a3 10, a9 28 ，则 d .
归纳小结：在等差数列 { an} 中， d 为公差， am 与 an 有何关系？ 问题 2：在等差数列 an 中，若 a4 a5 15, a7 15, 则 a2 . 归纳小结：已知数列 an 是等差数列，公差为 d ，当 m, n, p, q N 且 m n p q 时，有 .
等差数列的性质
（ 1）在等差数列 an 中，相隔等距离的项组成的数列是 . 如： a1 ， a3 ， a5 ， a7 ， …… ； a3 ， a8 ， a13 ， a18 ， …… ；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等差数列的概念及通项公式
【学习目标】 1.
准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解
决等差数列的相关问题 2.
通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生
对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力
3•激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】
1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法 ；
2.完成教材助读设置的问题，然后结
合课本的基础知识和例题，完成预习自测；
3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”
一、知识温故
1•数列有几种表示方法？ 2•数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读
1•一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。
2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。
这时 A 叫做a 与b 的等差数列即
3.
如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2
a 1
a 5 a 1
4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗?
,a 3 a 1
a 4
a 1
1. 等差数列a 2d , a ,a 2d
•'
A . a n a
(n 1)d
B. C . a n a 2(n 2)d
D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A .
2
B.
3
C.
2
3. 已知a 1
b -
1
•的通项公式是（
a (n 3)d a 2nd
2n ，则它的公差为（
D. 3
，则a 与b 的等差中项为
【预习自测】
a n
a n
4.在等差数列｛a n ｝中，已知a 3 10, a 9 28,则 【我的疑惑】
1:等差数列概念的理解 如何用数学符号来描述等差数列？ 若把等差数列概念中的“同一个”去掉，则这个数列 设d 为等
差数列｛a n ｝的公差，则当d > 0时，｛a n ｝为 当d <0时，｛a n ｝为 ________________________ 数列；当d=0时，｛a n ｝为
探究二：如何推导等差数列｛a n ｝的通项公式?
探究三：等差中项的理解
在等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的 _________________ ;反之, 如果一个数列从第 2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即 2a n+1= ，那么这个数列是 ______ .
【规律方法总结】
判断数列｛a n ｝是等差数列的方法:
、经典范例
I .质疑探究一一质疑解惑、合作探究
探究点一：等差数列的概念和通项公式 问题 (1) (2) (3)
等差数列.(填“是”或“不是”) _数列； 数列.
【归纳总结】
1. ________________________ 等差数列的概念是
2. 推导通项公式时不要忘记检验
3. 通项公式的说明：
(1) 在 a n =a i + (n-1)d 中，已知
(2) 求通项公式时要学会运用“基本量法”，即 ___________ 探究点1:等差数列的判断方法(重点) 【例1】 判断数列｛an ｝是否为等差数列：
(1) a n = 2n-1;
(2) a n = (-1)n ; ( 3) a n =an+b (a,b 为常数).
________________ 的主要依据. 的情况(特别是叠加法).
，就可以求出
(方程思想)
(1) 定义法：_________________
(n>2,n€ N*)；
(2) 等差中项：______________
(3) ______________________
探究点2:求解通项公式（重难点）
【例2】在等差数列｛a n｝中，已知a5=10,a i2=31，求：（1）首项a i与公差d；（2）通项公式a n.【规律方法总结】
在应用等差数列的通项公式________________ _________________________ 量就可以求余下的解题时,对
__ 量.
这四个量,知道其中
【拓展提升】
已知等差数列｛ a n｝的公差不为零，a1，a2是方程x2-a3x+a4=0的根，求数列｛a n｝的通项公式.
探究点3 :等差数列实际应用（重难点）
【例3】梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度.
【规律方法总结】
（1）在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可通过 _
数均匀地递增或递减，则可通过_______________________ 解决.
（2）用数列解决实际问题时，一定要分清_________________ 等关键词..解决；若这组
n •我的知识网络图■
等
差
数
列
概念
1.等差数列｛a n ｝ :— 3,— 7,— 11, ……:的通项公式为（
B. a n
4n 7 C. a n 4n 1 D. a n 4n 7
6.等差数列｛a n ｝中，a 1 60 , a n 1 a n 3。
则a®等于
二、综合应用-----挑战高手，我能行!
7 .已知｛a n ｝是等差数列，a ? a 13 20，则a ? a® an 8.已知等差数列的首项 a 1和公差d 是方程X 2-2X -3=0的两根，且知d > a ,
这个数列的第30项是
9 .已知无穷等差数列｛a n ｝,首项a 1 3 ,公差d 5,依次取出项的序号被
（1）求b,和b 2 ； （2）求b n 的通项公式；
⑶
四、课后练习
1.已知等差数列｛a n ｝中，a 2=2, a 5=8，则数列的第10项为（）
2.已知等差数列的通项公式为a n =-3n+a , a
三、过关测试 一、基础巩固
把简单的事做好就叫不简单!
三、拓展探究题
战胜自我，成就自我!
A.12
B.14
C.16
D.18
A.-3
B.3
C.-
D.
2 .已知等差数列
A . 13 项 3.已知等差数列 A . -6
｛a n ｝的首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有（
D.16 项
{a n }中, B . 6
4.等差数列｛a n ｝中，已知 B.14 项
a 10=10, a 12=16, C . -17
1
a 1
—, a 2 a 5
3
B.49
C.15 项 则这个数列的首项是（
D . 17
4 , a n 33，则n 等于（
A . 48
5 •已知数列a , --15, b , c , 45是等差数列,
A . --5
B.0
C.50
D.51
则 a+b+c 的值是(
C.5
D.10 A . a n 4n 1
4除余3的项组成数列 b n
b n 的第110项是｛a n ｝的第几项?
为常数,则公差d=（
9.三个数成等差数列，其和为9,前两项之积为后一项的6倍 求这三个数。
10.已知正数数列｛a n ｝中丄-,a i 1,求a io .
a n 1
a n 3
3.已知递增的等差数列｛a n ｝满足a 1 1,a 3
a ； 4，则公差等于（
） 4. 5. 6. A. 2
B.-2
C. 2
或-2 D. 1
在等差数列｛a n ｝中，若a i +a 2=-18，a 5+a 6=-2，则30是这个数列的（
） A.第22项 B .第21项 C .第20项 D .第19项 等差数列7, 11, 15,…，195,共有
_______ 项. 已知数列｛a n ｝是等差数列，且a 3+a ii =40,则a e +a i +Q 等于 7.若数列a, x ,,X 2，b 与数列a, y 1，y 2，y 3，b 均成等差数列（a b ）,则—
X1-
y 3 y 2
8.已知等差数列｛a n ｝中, 8387
16
, a 4 a 6
0，求｛a n ｝的通项公
式。