等差数列概念及通项公式经典教案

等差数列的概念及通项公式

【学习目标】

1．准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解决等差数列的相关问题.

2．通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力.

3．激情参与、惜时高效，利用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值. 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用. 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用. 【学法指导】

1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法;

2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；

3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.

一、知识温故

1.数列有几种表示方法？

2.数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读

1.一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母_______________ 表示。

2. 由三个数a 、A 、b 组成的 数列可以看成最简单的等差数列。这时A 叫做a 与b 的等差数列即

3.如果数列{n a } 是公差为d 的等差数列，则+=12a a ，+=13a a ，

+=14a a +=15a a +=1a a ,......,n

4．通项公式为n a =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗？ 【预习自测】

1. 等差数列d a 2-，a ,d a 2+…….的通项公式是（ ） A ．d n a a n )1(-+= B. d n a a n )3(-+= C ．d n a a n )2(2-+= D. nd a a n 2+=

2.已知数列{n a } 的通项公式为n a n 23-=，则它的公差为（ ） A ．2 B.3 C. -2 D. -3 3．已知2

31

+=

a ，2

31-=b ，则a 与b 的等差中项为

4.在等差数列{n a }中，已知,28,1093==a a 则=12a

【我的疑惑】

二、经典范例

Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究

探究点一：等差数列的概念和通项公式 问题1：等差数列概念的理解

（1）如何用数学符号来描述等差数列？

（2）若把等差数列概念中的“同一个”去掉，则这个数列_______等差数列.（填“是”或“不是”） （3）设d 为等差数列{a n }的公差，则当d ＞0时，{a n }为______数列；

当d ＜0时，{a n }为______数列；当d =0时，{a n }为_____数列.

探究二：如何推导等差数列{a n }的通项公式？

探究三：等差中项的理解 在等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的___________；反之，如果一个数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2a n+1= ___________ ，那么这个数列是___________.

【归纳总结】

1.等差数列的概念是 的主要依据.

2.推导通项公式时不要忘记检验 的情况（特别是叠加法）.

3.通项公式的说明：

（1）在a n =a 1+(n -1)d 中，已知 就可以求出 （方程思想）. （2）求通项公式时要学会运用“基本量法”，即 探究点1：等差数列的判断方法（重点） 【例1】 判断数列{an }是否为等差数列： （1）a n =2n -1； （2）a n =(-1)n ；（3）a n =an+b (a ,b 为常数).

【规律方法总结】

判断数列{a n }是等差数列的方法：

（1）定义法： ；

（2）等差中项： (n ≥2,n ∈N *)； （3）

探究点2：求解通项公式（重难点）

【例2】在等差数列{a n}中,已知a5=10,a12=31，求：（1）首项a1与公差d；（2）通项公式a n.

【规律方法总结】

在应用等差数列的通项公式解题时,对这四个量,知道其中_______________________量就可以求余下的量.

【拓展提升】

已知等差数列{a n}的公差不为零，a1，a2是方程x2-a3x+a4=0的根，求数列{a n}的通项公式.

探究点3：等差数列实际应用（重难点）

【例3】梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度.

【规律方法总结】

（1）在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可通过解决；若这组数均匀地递增或递减，则可通过解决.

（2）用数列解决实际问题时，一定要分清等关键词.

Ⅱ.

三、过关测试

一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！

1．等差数列{a n }：—3，—7，—11，……….的通项公式为（ ）

A ．14a +-=n n B. 74a --=n n C.14a +=n n D. 74a -=n n

2．已知等差数列{a n }的首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有（ ） A ．13项 B.14项 C.15项 D.16项

3. 已知等差数列{a n }中，a 10=10，a 12=16，则这个数列的首项是（ ） A ．-6 B ．6 C ．-17 D ．17 4．等差数列{a n }中，已知3

1

a 1=

，4a a 52=+，33=n a ，则n 等于（ ） A ．48 B.49 C.50 D.51

5．已知数列a ，--15，b ，c ，45是等差数列，则a+b+c 的值是（ ） A ．--5 B.0 C.5 D.10

6．等差数列{a n }中，60a 1=，31a ++=n n a 。则10a 等于________

二、综合应用-----挑战高手，我能行！

7．已知{a n }是等差数列，20a 137=+a ，则=++11109a a a ________

8. 已知等差数列的首项a 1和公差d 是方程x 2-2x-3=0的两根，且知d ＞a ，则 这个数列的第30项是_______

三、拓展探究题------战胜自我，成就自我！

9．已知无穷等差数列{a n }，首项31=a ，公差5-=d ，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{}n b . (1)求1b 和2b ；(2)求{}n b 的通项公式；(3){}n b 的第110项是{a n }的第几项？

四、课后练习

1. 已知等差数列{a n }中，a 2=2，a 5=8，则数列的第10项为（ ） A.12 B.14 C.16 D.18

2. 已知等差数列的通项公式为a n =-3n+a ，a 为常数,则公差d=（ ） A.-3 B.3 C.- 23

D. 2

3