2016年普通高等学校招生全国考试数学(文)(北京卷)pdf

直线 A 的方程为 y y0 x 2 ．
x0 2
令 x 0 ，得 y
2 y0 ，从而 x0 2
1
y
1
2 y0 x0 2
．
直线 的方程为 y y0 1 x 1． x0
令
y
0 ，得 x
x0 ，从而 y0 1
A
2 x
2
x0 ． y0 1
所以四边形 A 的面积
S 1 A 2
1 2
（A）8
1 / 11
（B）9 （C）27 （D）36 （4）下列函数中，在区间 (1,1) 上为减函数的是 （A） y 1 （B） y cos x （C） y ln(x 1) （D） y 2x
1 x （5）圆（x+1）2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为
（A）1 （B）2 （C） 2 （D）2 2
10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60
30 秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65
在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳 决赛的有 6 人，则 （A）2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 （B）5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 （C）8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 （D）9 号学生进入 30 秒跳绳决赛
（I）求证： DC 平面PAC ；
4 / 11
（II）求证： 平面PAB 平面PAC ； (III)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA∥平面CEF ?说明理由.
（19）（本小题 14 分）
x2 已知椭圆 C： a2
y2 b2
1过点 A（2,0），B（0,1）两点.
（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
组号 1
2
3
4
5
6
7
8
分组 2, 4 4,6 6,8 8,10 10,12 12,17 17, 22 22, 27
频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15
0.05
0.05
0.05
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
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（19）（共 14 分）
解：（I）由题意得， a 2 ， b 1． 所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1．
4
又 c a2 b2 3 ，
所以离心率 e c
3
．
a2
（II）设 x0 , y0 （ x0 0 ， y0 0 ），则 x02 4 y02 4 ．
又 A 2, 0 ， 0,1 ，所以，
2
，
x2
2,
2 3
，
2 3
,
Z
x3
2 3
,
0
，使得
f
x1
f
x2
f
x3 0 ．
由
f
x
的单调性知，当且仅当
c
0,
32 27
时，函数
f
x
x3
4x2
4x
c
有三个不同
零点．
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（III）当 4a2 12b 0 时， f x 3x2 2ax b 0 ， x , ， 此时函数 f x 在区间 , 上单调递增，所以 f x 不可能有三个不同零点． 当 4a2 12b 0 时， f x 3x2 2ax b 只有一个零点，记作 x0 ． 当 x , x0 时， f x 0 ， f x 在区间 , x0 上单调递增； 当 x x0, 时， f x 0 ， f x 在区间 x0, 上单调递增． 所以 f x 不可能有三个不同零点． 综上所述，若函数 f x 有三个不同零点，则必有 4a2 12b 0 ． 故 a2 3b 0 是 f x 有三个不同零点的必要条件． 当 a b 4 ， c 0 时， a2 3b 0 ， f x x3 4x2 4x x x 22 只有两个不同 点， 所以 a2 3b 0 不是 f x 有三个不同零点的充分条件． 因此 a2 3b 0 是 f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．1
2
x0 y0
1
1
2 y0 x0 2
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x02
4 y02 4x0 y0 4x0
2 x0 y0 x0 2 y0
8 y0
2
4
2x0 y0 2x0 4 y0 4 x0 y0 x0 2 y0 2
2． 从而四边形 A 的面积为定值．
（20）（共 13 分）
所以 f x 3x2 8x 4 ． 令 f x 0 ，得 3x2 8x 4 0 ，解得 x 2 或 x 2 ．
3
f x 与 f x 在区间 , 上的情况如下：
x
, 2
2
2,
2 3
2 3
f x
0
0
f x
Z
c
]
c 32
27
所以，当
c
0
且
c
32 27
0
时，存在
x1
4,
b3 b2
9 3
3，
所以 b1
b2 q
1 ， b4
b3q
27 ．
设等差数列an 的公差为 d ．
因为 a1 b1 1 ， a14 b4 27 ， 所以113d 27 ，即 d 2 ． 所以 an 2n 1（ n 1 ， 2 ， 3 ， ）． （II）由（I）知， an 2n 1， bn 3n1 ． 因此 cn an bn 2n 1 3n1 ．
2
依题意，
，解得
1．
（II）由（I）知 f x
2
sin
2
x
4
．
函数
y
sin
x
的单调递增区间为
2k
2
,
2k
2
（
k
）．
由 2k 2x 2k ，
2
4
2
得 k 3 x k ．
8
8
所以
f
x
的单调递增区间为 k
3 8
, k
8
（
k
）．
（17）（共 14 分） 解：（I）由用水量的频率分布直方图知，
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(12)
x2
已知双曲线
a2
y2 b2
1
（a＞0，b＞0）的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（
5
,0），则 a=_______；b=_____________.
(13)在△ABC 中， A 2 ，a= 3 c，则 b =_________.
3
c
(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种
因为 C 平面 ACD ，
所以 C A ．
所以 A 平面 AC ．
所以平面 A 平面 AC ．
（III）棱 上存在点 F ，使得 A// 平面 CF ．证明如下： 取 中点 F ，连结 F ， C ， CF ．
又因为 为 A 的中点，
所以 F//A ．
又因为 A 平面 CF ，
所以 A// 平面 CF ．
商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，
则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有_______种.
三、解答题（共 6 题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题 13 分） 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4. （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设 cn= an+ bn，求数列{cn}的前 n 项和.
（II）设 a b 4 ，若函数 f x 有三个不同零点，求 c 的取值范围； （III）求证： a2 3b＞0 是 f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.
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2016 年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文)(北京卷)参考答案
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
（I）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方 米，w 至少定为多少？ （II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3 时，估计该市居民该月的 人均水费.
（18）（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC⊥平面 ABCD， AB∥DC, DC AC
第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（9）已知向量 a=(1, 3), b ( 3,1) ，则 a 与 b 夹角的大小为_________.
（10）函数
f
(x)
x (x
x 1
2)
的最大值为_________.
（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.
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从而数列cn 的前 n 项和
Sn 1 3 2n 1 1 3 3n1
n 1 2n 1 1 3n
2
13
n2 3n 1 ． 2
（16）（共 13 分）
解：（I）因为 f x 2sin x cosx cos 2x
sin 2x cos 2x
2
sin
2
x
4
，
所以 f x 的最小正周期 2 ．