2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学(一)教师版

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（一）本试题卷共16页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·晋城一模]已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合MN =（ ）A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,0【答案】D【解析】解方程组22x y x y +=-=⎧⎨⎩，得2x y =⎧⎨=⎩．故(){}2,0MN =．选D ．2．[2018·台州期末]（i 为虚数单位）） A ．2 B ．1CD【答案】C11i 22z ∴=-=，选C ． 3．[2018·德州期末]如图所示的阴影部分是由x轴及曲线sin y x =围成，在矩形区域OABC内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）AB C D 【答案】A【解析】由题意，得矩形区域OABC 的面积为1π1πS =⨯=，阴影部分的面积为，由几何概型的概率公式，得在矩形区域OABC 内随机取A ． 4．[2018·滁州期末]）A ．4-B ．4C D 【答案】C【解析】，所以sin 2costan 2ααα-=-⇒=，C ．5．[2018·陕西一模]《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封A ．2 BCD【答案】C【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的侧面积C ．6．[2018·天津期末]已知实数x ，y 满足2210x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若z x my =+的最大值为10，则m =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】作出可行域，如图ABC △内部（含边界），其中()2,4A ，()2,1B ，()1,1C -，若A 是最优解，则2410m +=，2m =，检验符合题意；若B 是最优解，则210m +=，8m =，检验不符合题意，若8m =，则z 最大值为34；若C 是最优解，则110m -+=，11m =，检验不符合题意；所以2m =，故选B ．7．[2018·蚌埠一模]已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A．2018n i =- B ．2017n i =- C ．2018n i =+D ．2017n i =+【答案】A【解析】不妨设01x =，要计算()120182017201621f =+++++，首先201812018S =⨯=，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填2018n i =-． 8．[2018·达州期末]数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞【答案】C【解析】()34a ∈，，故选C ．9．[2018·朝阳期末]阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之比为，当P ，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（ ）A B C D 【答案】A【解析】如图，以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1坐标系；则：()10A -，，()10B ，，设()P x y ，，PA PB＝，两边平方并整理得：()222261038x y x x y +-+=⇒-+=．∴PAB △面积的最大值是A ．10．[2018·郴州一中]，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOF OAF ∠=∠，AOF △的面积，则双曲线C 的方程为（ ）ABCD 【答案】C【解析】由点A 所在的渐近线为0,bx ay -=三个该渐近线的倾斜角为α，则AOF OAF ∠=∠，所以直线AF 的倾斜角为2α，2222tan 2tan21tan aba bααα==--， 与0bx ay -=联立解得122AOFab S c ab c∴=⨯⨯==△b a ∴=联立得3a =，b =C ．11．[2018·昆明一中]设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC△周长的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为ABC△为锐角三角形，；又因为2A C =， 所以sin 2sin cos A C C =，又因为1c =，所以2cos a C =；由，所以24cos 2cos a b c C C ++=+，令cos t C =， ，又因为函数242y t t =+C ．12．[2018·济南期末]若关于x 的方程有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数，则） A ．1 B ．e C ．1m - D ．1m +【答案】A【解析】化可原式可化为，()()2110t m t m ∴++++=，由韦达定理可得()1a b t t m +=-+，1a b t t m ⋅=+，的值为1，故选A ． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．[2018·周口调研]已知平面向量a 与b 的夹角为__________． 【答案】2 【解析】2+=a b ，即224412+⋅+=a a b b ，1cos 60⨯⨯a14．[2018·洛阳联考]已知随机变量()~2,X B p ，()2~2,Y N σ，若()10.64P X =≥，(02)P Y p <<=，则(4)P Y >=__________．【答案】0.1【解析】∵随机变量服从()~2,X B p ，∴()()221110.64P X C p =--=≥，解得：0.4p =． 又()2~2,Y N σ，∴()()()400.5020.1P Y P Y P Y >=<=-<<=，故答案为：0.1． 15．[2018·张家口期末]将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________． 【答案】(17,15)【解析】根据归纳推理可知，每对数字中两个数字不相等，且第一组每一对数字和为3，第二组每一对数字和为4，第三组每对数字和为5，......，第30组每一对数字和为32，∴第30组第一对数为()1,31，第二对数为()2,30,.......，第15对数为()15,17，第16对数为()17,15，故答案为()17,15．16．[2018·南宁二中]如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE △、BCF △、CDG △、DAH △分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE △、BCF △、CDG △、DAH △，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个三棱锥，当正方形ABCD 的边长为__________cm 时，三棱锥体积最大．【解析】连接OG 交CD 于点M ，则OG DC ⊥，点M 为CD 的中点，连接OC ，OCM △为直角三角形，设正方形的边长为2x ，则OM x =，由圆的半径为4，则4MG x =-，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，则4P M M G x x ==->，则02x <<，高，设452y x x =-，()3438585y x x x x ='=--，时，0y '>，452y x x =-单调递增；0y '<，452y x x =-单调递减，所以当时，V 取得最大值，此时 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．[2018·昆明一中]已知数列{}n a 满足2n n S a n =-()*n ∈N ． （1）证明：{}1n a +是等比数列； （2）求13521...n aa a a +++++()*n ∈N ．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）由1121S a =-得：11a =，···········1分 因为()()()11221n n n n S S a n a n ---=----()2n ≥， 所以121n n a a -=+，···········3分从而由()1121n n a a -+=+得···········5分 所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．···········6分 （2）由（1）得21n n a =-，···········8分···········12分18．[2018·商丘期末]心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，统计情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对他们的答题进行研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 附表及公式：【答案】（1）有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）答案见解析． 【解析】（1）由表中数据得2K 的观测值····3分所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．·········5分 （2）由题可知X 可能取值为0，1，2，···········6分···········7分 ···········8分 ···········9分 故X 的分布列为：·········10分···········12分 19．[2018·济南期末]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1ABC △为边长为2的等边三角形，平面1ABC ⊥平面11AAC C ，四边形11AAC C 为菱形，1160AAC ∠=︒，1AC 与1AC 相交于点D ．（1）求证：1BD AC ⊥；（2）求二面角1C AB C --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）已知侧面11AAC C 是菱形，D是1AC 的中点，∵1BA BC =，∴1BD AC ⊥，···········2分因为平面1ABC ⊥平面11AAC C ，且BD ⊂平面1ABC ， 平面1ABC 平面111AAC C AC =，∴BD ⊥平面11AAC C ，∴1BD AC ⊥．···········4分 （2）如图，以D 为原点，以DA ，DB ，DC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知可得12AC =，1AD =，∴()0,0,0D ，()1,0,0A ，，()11,0,0C -，····6分 设平面ABC 的一个法向量(),,x y z =m ，(1,0,AB =-，(0,BC =由0AB ⋅=m ，0BC ⋅=m ，得···········8分因为平面1ABC ⊥平面11AAC C ，11AC AC ⊥， ∴CD ⊥平面1ABC ，所以平面1ABC 的一个法向量是(0,DC =···········10分5,>5DCBD DC ⋅==m ···········11分 即二面角1C AB C --的余弦值是···········12分 20．[2018·赣州期末]的左、右顶点分别为1A ，2A ，其过点()2,0B 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（异于1A ，2A），当直线l 的 （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线1A P 与2A Q交于点S ，试问：点S 是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由．【答案】（12）点S 恒在定直线【解析】（1）由题意可设椭圆的半焦距为c ，···········2分32a b c ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为：···········4分 （2）设直线l 的方程为2x my =+，()11,P x y，()22,Q x y ，由1y ，2y ···········6分()121245my y y y ⇒⋅=+，···········7分 直线1A P 的方程为： 直线2A Q 的方程为： 得：()()()()21123333x y x x y x -+=+-()()2112215325y y x my y y y ⇒+=⋅+-，···········9分 把()121245my y y y ⋅=+代入得：···········11分 故点S 恒在定直线···········12分 21．[2018·丹东期末]已知0a >，函数（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，设函数()g t 表示()f x 在区间[],3t t +上最大值与最小值的差，求()g t 在区间[]3,1--上的最小值．【答案】（1）见解析（2【解析】（1）()()()()211f x x a x a x x a =+--=+-'．···········1分因为0a >，所以当1x <-或x a >时，()0f x '>，当1x a -<<，()0f x '<．······3分 ∴()f x 在(),1-∞-，(),a +∞上单调递增，在()1,a -单调递减．·········4分(2)当1a =时，由（1）知()f x 在区间[]3,1--上单调递增，在区间[]1,1-单调递减，在区间[]1,2单调递增．···········5分当[]3,2t ∈--时，[]30,1t +∈，()f x 在区间[],1t -上单调递增，在区间[]1,3t -+上单调递减，()()()()33120f t f t t t +-=++≥，因此()f x 在区间[],3t t +上最大值是()1f -．此时，最小值是()f t ，···········8分因为()f t 在区间[]3,2--上单调递增，所以()g t 最小值是···········9分当[]2,1t ∈--时，[]31,2t +∈，()f x 在[]2,1--，[]1,2上单调递增， 所以()()()21f f t f --≤≤，()()()132f f t f +≤≤．···········11分 综上()g t 在区间[]3,1--上的最小值是···········12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。