2021-2022学年辽宁省沈阳市高二上学期期末考试数学试卷+答案解析(附后)

2021-2022学年辽宁省沈阳市高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知离散型随机变量X的分布列如下：
则数学期望( )
A. B. C. 1 D. 2
2.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
3.二项式的展开式中，各项二项式系数的和是( )
A. 2
B. 8
C. 16
D. 32
4.某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有种( )
A. 9
B. 36
C. 54
D. 108
5.直线与圆的位置关系是( )
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不确定
6.口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为( )
A. B. C. D.
7.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是( )
A. 21
B. 28
C. 36
D. 56
8.有甲、乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票3张有奖票，乙箱中有4张无奖票2张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，则最后抽到有奖票的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）
9.关于二项式的展开式，下列选项正确的有( )
A. 总共有6项
B. 存在常数项
C. 项的系数是40
D. 各项的系数之和为243
10.已知离散型随机变量X 的分布列如下：
其中，，则下列选项正确的有( )
A.
B. 若，则椭圆的长轴长为
C. 若数学期望，则双曲线的渐近线方程为
D. 若数学期望，则方差
11.过抛物线的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，则下列选项正确的有( )
A. 能取到
B.
C. 若，则线段AB中点到抛物线C的准线的距离为5
D. 过点B作直线m，使得直线m与抛物线C有且仅有一个公共点，则这样的直线m有2条
12.一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球1个，黑球2个，则下列选项正确的有( )
A. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则数学期望
C. 从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望
D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为Y，则数学期望
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.某商场对华为手机近28天的日销售情况进行统计，得到如下数据，
利用最小二乘法得到日销售量百部与时间天的线性回归方程为，则表格中的数据__________.
14.已知春季里，甲地每天下雨的概率为，乙地每天下雨的概率大于0，且甲、乙两地下雨相互独立，则春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为__________.
15
.如图：双曲线的左右焦点分别为，，过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，其中P在右支上，且，则的面积为__________.
16.用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，
则的展开式中，的系数是__________用数字作答
四、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题10分
求过点，且与直线垂直的直线方程;
甲，乙，丙等7名同学站成一排，若甲和乙相邻，但甲乙二人都不和丙相邻，则共有多少种不同的排法?
18.本小题12分
数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了一次问卷调查，结果如下：
如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成列联表.
若从低学历的被调查者中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率;
根据列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关
附：
19.本小题12分
如图，几何体中，，平面ABC，，，，E是AB中点，二面角的平面角为
求证：平面
求直线与平面所成角的正弦值.
20.本小题12分
随着生活条件的改善，人们健身意识的增强，健身器械比较畅销，某商家为了解某种健身器械如何定价可
以获得最大利润，现对这种健身器械进行试销售.统计后得到其单价单位：百元与销量单位：个的相关数据如表：
已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程;
若每个健身器械的成本为25百元，试销售结束后，请利用中所求的线性回归方程确定单价为多少
百元时，销售利润最大结果保留到整数
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，参考数据：，
21.本小题12分
共享电动车是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为若从这些共享电动车中任意抽取3辆：
求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率;
求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望.
22.本小题12分
已知椭圆的长轴长是6，离心率是
求椭圆E的标准方程;
设O为坐标原点，过点的直线l与椭圆E交于A，B两点，判断是否存在常数，使得
为定值若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，属于基础题．
由离散型随机变量X的分布列能求出
【解答】
解：由离散型随机变量X的分布列得：
故选：
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查正态分布的相关计算，属于基础题.
根据正态分布的相关性质直接求解即可.
【解答】
解：由题意，故该正态分布曲线关于对称.
故选
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题．
根据二项式定理直接得各项二项式系数的和为
【解答】
解：由二项式定理可知的展开式中各项二项式系数的和为
故选：
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查排列的实际应用，属于中档题.
要求3位老师中男、女教师都要有，则反面即全为男老师或全为女老师，用总数减去不合题意的即可.
【解答】
解：名老师选三名到3个不同的乡村支教共有种结果，
要求这3位老师中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不合题意，
由于不可能三个老师全部为女老师，且选的都是男教师到三个不同乡村支教共种结果，
满足条件的方案有
故选
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题.
先求出直线恒过的定点，再判断定点与圆的位置关系，即可得到答案.
【解答】
解：直线恒过定点，
，
定点在圆内，直线与圆相交.
故选
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键，属于基础题．
利用条件概率公式，设“第一次取得红球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，分别求出，，根据条件概率公式求得即可．
【解答】
解：口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，
小明从中不放回的逐一取球，
设事件A表示：“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，
则，，
第一次取得红球，第二次取得白球的概率为：
故答案为
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理中二项式系数的应用问题，属于基础题型，
由于杨辉三角是反映二项式展开式中系数从左到右的一个规律，且通项为，可得第8行第3个数.
【解答】
解：二项式展开式第项的系数为，
所以第8行第3个数是
故选
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查条件概率和全概率公式的计算，属于中档题.
根据题意直接分析求解即可.
【解答】
解：记为在甲箱中抽到有奖票的事件，为在甲箱中抽到无奖票的事件，A为最后抽到有奖票的事件.
，，，
故选
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查二项式定理，考查二项展开式项的系数，考查运算求解能力，是基础题．
根据二项展开式的通项公式可分析A，令以x为底的指数为0可判断B选项，令以x为底的指数为2可判断C选项，令并计算可判断D选项.
【解答】
解：二项式展开式的通项公式为，，1，2，，5，
对于A，二项式的指数为5，则该二项式展开式总共有6项，故A正确；
对于B，令得，此时，故B错误；
对于C，令，得，则含的项为，其系数是40，故C正确；
对于D，令，则有，即各项的系数之和为243，故D正确；
故选
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查了离散型随机变量的均值与方差的计算、椭圆的长轴和双曲线的渐近线，考查了推理与运算
能力，属于较难题.
根据条件中的分布列可得，即可判断A选项；根据m与n的大小关系，可判断出椭圆
的长轴长为，可得判断选项B；由结合，可求得，，
即可求出双曲线的渐近线方程为，即，可判断选项C；再由求出的，
，结合方差的运算公式，即可求出的值，可判断选项
【解答】
解：根据离散型随机变量X 的分布列，可得，即，故A正确；
若，且由条件可知，则，
则椭圆即的长轴长为，故B错误；
若数学期望，则，结合，可解得，，
故双曲线的渐近线方程为，即，故C正确；
若数学期望，可得，，
则，故D正确.
故选
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查过焦点的直线与抛物线相交的问题，属于拔高题.
对各选项依次分析求解即可.
【解答】
解：抛物线的焦点为，当斜率存在时，设直线方程为，，
化简得，，
，且当直线斜率不存在时，求得，假设A在x轴上方，
此时也不满足垂直，故A错误.
当斜率存在时，，，当斜率
不存在时，故B正确.
AB为焦点弦，线段AB的中点到抛物线准线的距离等于一半，故C正确.
过点B与抛物线有且仅有一个交点的直线m有两条，一条为过点B的切线，另一条过点B与x轴平行，
故D正确.
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了古典概型和离散型随机变量的期望，属于较难题.
对选项A，的可能取值为0，1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项B，，再由
二项分布的期望公式求得；对选项C，X的可能取值为1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项D，Y的可能取值为0，1，2，求出概率，再由公式求得
【解答】
解：对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，则，故A正确；
对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是黑球的概率为，则取出的黑球次数为，则数学期望，故B正确;
对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3，则
，，则
，则，故C错误；
对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出黑球的个数Y的可能取值为0，1，2，则，，
，则，故D
正确；
13.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过点是关键，属于基础题．
由已知求得点，代入线性回归方程即可求得m的值．
【解答】
解：由题意，，
线性回归直线方程是，，解得
故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查条件概率和相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.
由题意可得甲地下雨的概率，利用独立性与条件概率的关系，求出乙地下雨的条件下甲地也下雨的概率．【解答】
解：设“甲地下雨”为事件A，“乙地下雨”为事件B，
则，
因为甲、乙两地下雨相互独立，
所以，
所以，
故乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为
故答案为：
15.【答案】24
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的定义及应用，同时考查了双曲线的对称性，属中档题.
由题意结合双曲线定义求出，，又，求出，由对称性得
，即得解.
【解答】
解：依题意可得，，
所以，又P在右支上，
所以①，
又因为②，
联立①②解得，，
因为，
所以是以，为直角边的直角三角形，
所以，根据双曲线的对称性可知≌，
即，
因此，
故答案为
16.【答案】2022
【解析】【分析】
本题主要考查了排列组合的综合应用、二项展开式的指定项系数以及组合数公式的应用，属于中档题.
先利用排列组合的应用，求出用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小
于万位的五位数有20个，可得的展开式中的系数是，利用组合数的公式即可求得结果.
【解答】
解：用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有：
个，
则
，
其展开式中，的系数为
故答案为
17.
【答案】解：直线的斜率为所求直线的斜率为
所求直线的方程为：，即
共有960种不同的排法.
【解析】本题主要考查直线的求法和排列的相关问题，属于基础题.
先根据垂直求出斜率，然后利用点斜式求解即可.
按照插空和捆绑分析求解即可.
18.【答案】解：列联表如下：
根据列联表得：
，
故没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.【解析】本题考查了独立性检验及古典概型的概率计算，属基础题.
根据题中所给表格得出相应数据即可；
先求其对立事件的概率，进一步可得解；
根据公式计算出，对照表格即可得解.
19.【答案】证明：
平面ABC，
平面ABC，平面ABC，
，，
是二面角的平面角，
二面角的平面角为，
，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
，
是AB中点，
，
平面ABC，平面ABC，
，且平面，
平面
法一：过点C作且，以C为坐标原点，
，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，是AB中点
，，
设是平面的一个法向量
则，
令，则，
，
设直线与平面所成角为，则，
直线与平面所成角的正弦值为
法二：取中点G，连结EG
，，
四边形是梯形
，G分别是AB，的中点
平面ABC
平面ABC
以E为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
，E是AB中点
，，，
，，
设是平面的一个法向量
则
令，则
，
设直线与平面所成角为，则，
直线与平面所成角的正弦值为
【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想
象能力，属于中档题．
先利用二面角的平面角推导出，进而得到，再利用平面ABC，
可得到，即可利用线面垂直的判定定理得到平面；
方法一：过点C作且，以C为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z
轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，计算与夹角的余弦值即可得出线面角的正弦值.
方法二：取中点G，连结EG，利用可推得平面ABC，即可以E为坐标原点，，
，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，计算与夹角的余弦值即可得出线面角的正弦值.
20.【答案】解：，，
则，
关于x的线性回归方程
设定价为x百元，利润为百元，
则
，百元
为使得销售的利润最大，单价应该定为50百元.
【解析】本题主要考查线性回归方程的求法及二次函数最值的相关知识，属于中档题.
根据线性回归方程的求法分别求解即可.
根据题意列出利润的函数表达式，根据二次函数的最值分析即可.
21.【答案】解：设共享电动车中有x辆是橙色的，由已知，
设取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色，
则
的所有可能取值为0，1，2，3
，
，
，
，
的分布列为：
则
【解析】本题考查了古典概型的概率计算、离散型随机变量的分布列与期望，属中档题.
根据取到的是橙色的概率为，建立方程即可得解；
求出所有可能的结果数和取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的可能结果数，根据古典概型的概率公式直接求解；
根据古典概型求出X取不同值时所对应的概率从而得到分布列，进一步求得数学期望.
22.【答案】解：由已知得：，，
椭圆E的标准方程是，
设，
①当直线AB的斜率存在时，设直线
由得：
此时
②当直线AB的斜率不存在时，直线AB方程为
此时，或，
，，，
当时，
综上可知：存在常数时，为定值.
【解析】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查计算能力以
及转化思想的应用，属于拔高题．
设椭圆的焦半距为c，利用离心率为，椭圆C的长轴长为6，列出方程组求解a和c，推出b，即可得到椭圆的方程；
设出，，分两种情况进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，可设直线，联立直线方程与椭圆的方程，化简成关于x的一元二次方程，利用韦达定理可得：
，代入，可得当时，
取得常数②当直线AB的斜率不存在时，直线AB方程为，可得A与B
的坐标，进而得到，，，，代入，也可得
到当时，故综合可得存在常数时，使得为定值.。