【北师大版】高三数学一轮课时作业【31】(含答案)

＋
…＋
(n－1 1－
1 n)
＝
1＋
14＋12－1n＝
7 4
11
17
综上，对一切正整数 n，有 a1＋a2＋…＋an<4
14．(2014 ·南昌模拟 )将数列 { an} 中的所有项按每一行比上一行多
两项的规则排成如下数表：
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
…
已知表中的第一列数 a1，a2，a5，…构成一个等差数列， 记为 { bn} ，
∴ a2k＋ 1＋a2k－1＝ 2，
∴ a2k＋ 1＋a2k＋3＝ 2，
∴ a2k－ 1＝a2k＋3，
∴ a1＝a5＝… ＝a61.
∴ a1＋a2＋ a3＋ … ＋a60＝ (a2＋ a3)＋(a4＋ a5)＋ …＋ (a60＋ a61)＝ 3＋
30× 7＋11＋… ＋(4×30－1) ＝
3＋ 119 2
故数列的前 2 012 项的
1 和等于 S2 012＝ 1 006×(1＋2)＝1 509.
答案： C
1 8． (2014 ·郑州模拟 )数列 { an} 满足 an＋an＋1＝2(n∈ N＋ )，且 a1＝1，
Sn 是数列 { an} 的前 n 项和，则 S21＝( )
21 A. 2
B．6
C． 10
1＝
(n－
1)an－
1 3(n－
1)
3－
(n－
1)2－
2 3(Leabharlann n－1)两式相减得
2an＝
nan
＋1
－
(
n－
1)
an－
13(3n2－
3n＋
1)－
(2n－
1)－
2 3
整理得 (n＋1)an＝ nan＋1－(n＋1)，
即
an＋ n＋
11－
ann＝
1，又
a22－
a1 1
＝
1
故数列 { ann} 是首项为 a11＝1，公差为 1 的等差数列，
课时作业 31 数列求和
一、选择题 (每小题 5 分，共 40 分 )
1．(2014 ·西安调研 )等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，且
4a1,2a2， a3 成等差数列，则 S4＝( )
A．7
B．8
C． 15
D． 16
解析：设数列 { an} 的公比为 q，则 4a2＝ 4a1＋a3，∴ 4a1q＝4a1＋ a1q2，
1
1
1
1
1
1
1
解析： S＝ 1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋…＋n×2n＝1×21＋2×22
1
1
＋ 3×23＋ …＋ n× 2n，①
1
1
1
1
1
1
则 2S＝ 1× 22＋ 2×23＋ 3×24＋ …＋ (n－ 1)× 2n＋n× 2n＋ 1，②
11
1 11 1
1
1 2 1－2n n
①－②得 2S＝2＋ 22＋ 23＋… ＋2n－n× 2n＋1＝
第
m 列为
anm＝
n 4×
(12)m－
1，
∴
a83＝
84×
(
1 2)
3－
1
＝
1 2.
答案：
1 2
三、解答题 (共 3 小题，每小题 15 分，共 45 分．解答写出必要的
文字说明，证明过程或演算步骤 ) 1
12．已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且 a1＝ 1， an＋ 1＝ 2Sn(n＝
＝30×61＝1
830.
答案： D
6．(2014 ·山东日照一模， 10)已知数列 { an} 的前 n 项和 Sn＝n2－6n，
则{| an|} 的前 n 项和 Tn＝( ) A ． 6n－ n2
B． n2－6n＋18
6n－n2
1≤n≤ 3
C. n2－6n＋18 n>3
6n－n2 1≤n≤3
D. n2－ 6n
足 bn＝ lgan，b3＝18，b6＝12 则数列 { bn} 的前 ________项和最大．
解析：
∵bn＋
1－
bn
＝
lg
an＋ an
1＝lgq(常数
)
∴{ bn} 为等差数列，
∴ b1＋2d＝18， b1＋5d＝12，
可得 d＝－ 2，b1＝22，由 bn＝－ 2n＋24≥0，
知 n≤12，∴ S11＝S12＝132 最大．
由已知可得
cn＝ bnqn－1，因此
cn＝
2n·(12)n
－1
＝
n 2n－
2.
1 23
n1 1
所以 Sn＝ c1＋c2＋ c3＋ …＋ cn＝2－1＋ 20＋ 21＋ …＋ 2n－ 2， 2Sn＝20＋
2 n－1 n
1 1 11
1n
1
21＋ … 2n－ 2 ＋ 2n－ 1，因此 2Sn＝2－ 1＋ 20＋ 21＋… ＋2n－ 2－2n－1＝ 4－ 2n－ 2－
实数 λ的取值范围．
解： (1)设等差数列 { bn} 的公差为 d，
b1＋d＝4，
b1＝ 2，
则
解得
b1＋4d＝10，
d＝2，
所以 bn＝2n. (2)①设每一行组成的等比数列的公比为 q. 由于前 n 行共有 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2 个数，且 32<13<42，
a10＝b4＝8，
所以 a13＝ a10q3＝ 8q3，又 a13＝1，所以解得 q＝12.
所以 ann＝1＋(n－1)×1＝n，所以 an＝n2.
(3)当 n＝1 时， a11＝1<74；
11
1 57
当 n＝2 时， a1＋a2＝1＋4＝4<4；
当
n≥3
时，
a1n＝
1 n2<
1 n－1
n＝n－1 1－1n，此时
11
1
11 1
1 1 11 11
a1＋ a2＋ … ＋ an＝ 1＋4＋ 32＋ 42＋ … ＋ n2<1＋4＋ (2－ 3) ＋ (3－ 4)
即 q2－ 4q＋4＝0，
1－ 24 ∴q＝2.∴S4＝ 1－2 ＝15.
答案： C
1
1
1
1
2．数列 1×2，2×4，3×8，4×16，…的前 n 项和为 ( )
1n A ． 2－2n－ 2n＋ 1
1n B． 2－2n－ 1－2n
1 C.2(
n2＋
n＋
2)－
1 2n
1
1
D.2n(n＋1)＋ 1－2n－1
n
1＋ n
＝n－1＋ n.
111
1
∴ Tn＝b1b2＋ b2b3＋ b3b4＋ …＋ bnbn＋1
＝
(11－12)＋(12－
1 3)＋
(13－
1 4)＋
…＋
(n1－1＋1
n)
＝1－1＋1 n＝n＋n 1.
13．(2013 ·广东理， 19)设数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1， 2nSn＝ an＋1－ 13n2－n－23， n∈ N＋.
an－a2n，且
1 a1＝ 2，则该数列的
前 2 012 项的和等于 ( ) 3 015
A. 2
B．3 015
C．1 509
D．2 010
1
1
解析： 因为 a1＝ 2，又 an＋ 1＝2＋
an－ a2n，所以 a2＝1，从而 a3＝
1 2，a4＝1，即得 an＝
1 2， n＝2k－1
k∈ N*
，
1，n＝2k k∈N* ，
1 1－2
－2n＋1＝ 1－
1n 2n－ 2n＋1.
1n ∴ S＝ 2－2n－ 1－2n.
答案： B
n＋1 3．(2014 ·日照模拟 )已知数列 { an} 的通项公式为 an＝log2n＋2(n∈
N＋)，设其前 n 项和为 Sn，则使 Sn<－5 成立的自然数 n( )
A．有最大值 63
B．有最小值 63
答案： 11 或 12
11．下面给出一个“直角三角形数阵”
1 4
12，41
34，
38，
3 16
……
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，
且每一行的公比相等，记第 i 行第 j 列的数为 aij(i≥j，i，j ∈ N＋)，则
a83 等于 ________．
1
1n
解析：设第一列为数列 { an1} ，则 an1＝4＋(n－1)×4＝4.设第 n 行
n
n＋ 2
2n－ 1＝ 4－ 2n－ 1 ，
n＋ 2 解得 Sn＝8－ 2n－2 .
n
n n＋1
②由①知 cn＝2n－2，不等式 (n＋ 1)cn≥ λ，可化为 2n－2 ≥ λ.
n n＋1 设 f(n)＝ 2n－2 ，
15 计算得 f(1)＝4，f(2)＝f(3)＝6，f(4)＝ 5，f(5)＝ 4 .
答案： B
二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 )
9．数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，a1＝1，a2＝ 2，an＋ 2－ an＝ 1＋ (－ 1)n(n
∈ N＋)，则 S100＝________. 解析： 由 an＋2－ an＝1＋ (－ 1)n，知 a2k＋2－a2k＝ 2，
a2k＋ 1－ a2k－1＝0，∴ a1＝a3＝a5＝ … ＝a2n－1＝ 1，数列 { a2k} 是等差数
列， a2k＝2k.
∴ S100＝ (a1＋ a3＋ a5＋ …＋ a99)＋ (a2＋a4＋ a6＋ … ＋ a100)＝ 50＋ (2
100＋2 ×50
＋4＋6＋…＋100)＝ 50＋
2
＝2 600.
答案： 2 600
10．已知等比数列 { an} 的各项均为不等于 1 的正数．数列 { bn} 满
1,2,3，… )．
(1)求数列 {an} 的通项公式；
3
1
(2)设 bn＝ log2(3an＋1)时，求数列 { bnbn＋1} 的前 n 项和 Tn.
解： (1)由已知得
1 an＋ 1＝2Sn，
1 an＝ 2Sn－1 n≥ 2 ，
3 得到 an＋ 1＝2an(n≥2)．
3 ∴数列 { an} 是以 a2 为首项，以 2为公比的等比数列．
n＋1 2－n
因为 f(n＋1)－f(n)＝
2n－ 1
，
所以当 n≥3 时， f(n＋1)<f(n)．
因为集合 M 的元素个数为 3，所以 λ的取值范围是 (4,5]．
111 又 a2＝ 2S1＝2a1＝ 2，
∴
an＝
a2
×
3 (2)
n－
2
＝
13 2(2)
n－
2
(n≥
2)
．
又 a1＝1 不适合上式，
1， n＝ 1，
∴ an＝
1 2
3 2
n－ 2， n≥2.
(2)bn＝
log
3 2(3an
＋
1)
＝
log
3 2[
32·(32)n
－
1]
＝
n.
1
1 11
∴
bnbn＋
＝
1
n>3
解析： 由 Sn＝n2－6n 得{ an} 是等差数列，且首项为－ 5，公差为 2.
∴an＝－ 5＋(n－1)×2＝2n－7， ∴n≤3 时， an<0；n>3 时， an>0，
6n－n2 1≤n≤3 ， ∴Tn＝ n2－6n＋18 n>3 .
答案： C
1 7．已知数列 { an} 满足 an＋1＝ 2＋
D． 11
1 解析：依题意得 an＋ an＋1＝an＋ 1＋ an＋2＝ 2，则 an＋2＝an，即数列 { an}
中的奇数项， 偶数项分别相等， 则 a21＝a1＝ 1，S21＝(a1＋ a2)＋ (a3＋a4) ＋ …＋ (a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋ a21＝ 10×12＋1＝6.
(1)求 a2 的值；
(2)求数列 {an} 的通项公式；
11
17
(3)证明：对一切正整数 n，有 a1＋ a2＋…＋ an<4.
1
2
解： (1)依题意， 2S1＝ a2－3－ 1－ 3，又 S1＝ a1＝ 1，所以 a2＝4；
(2)当
n≥2
时，
2Sn＝
nan
＋
1－
13n3－
n2－
2 3n，
2Sn－
解得 n＝2 013.
答案： C 5．(2012 ·新课标全国 )数列 { an} 满足 an＋ 1＋(－1)nan＝ 2n－ 1，则{ an} 的前 60 项和为 ( )
A．3 690
B．3 660
C．1 845
D．1 830
解析： 当 n＝ 2k 时， a2k＋ 1＋a2k＝4k－1，
当 n＝2k－ 1 时， a2k－ a2k－1＝4k－3，
1 4．(2014 ·临沂模拟 )在数列 { an} 中，an＝n n＋1 ，若 { an} 的前 n 项
2 013 和为 2 014，则项数 n 为( )
A．2 011
B．2 012
C．2 013
D．2 014
1 11
1
n 2 013
解析： ∵an＝n n＋1 ＝n－n＋1，∴ Sn＝1－n＋1＝n＋1＝2 014，
且 b2＝ 4，b5＝10.表中每一行正中间一个数 a1，a3，a7，…构成数列 { cn} ， 其前 n 项和为 Sn.
(1)求数列 {bn} 的通项公式； (2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构
成等比数列，公比为同一个正数，且 a13＝1. ①求 Sn； ②记 M＝{ n|(n＋1)cn≥λ，n∈N＋} ，若集合 M 的元素个数为 3，求
C．有最大值 32
D．有最小值 32
解析： Sn＝a1＋a2＋a3＋ …＋ an
＝
log223＋
log2
34＋log
245＋
…
＋
log
n＋ 2n＋
1 2
234
n＋ 1
＝log2 3×4×5×…× n＋2
2 ＝ log2n＋2<－5，
∴
2 n＋
2<312，
∴ 64<n＋2，
∴ n>62，
∴ nmin＝63. 答案： B