广东省阳春市第一中学2018届高三第六次月考数学(理)试题(解析版)

阳春一中2017-2018学年月考试题（六）高三数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】=,选A.2.设复数且，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，且，即，解得．考点：复数的模．3.已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意可得若“”，不一定有“”，反之，若“”，由面面垂直的判断定理可得“”，即“”是“”的必要不充分条件.本题选择C选项.4.执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为（）A. 4B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：不成立，所以输出考点：程序框图视频5.若，满足约束条件则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】做出不等式组表示的可行域，如图所示：设,则.据图分析知当直线经过直线和的交点A(1,2)时，取得最大值2，故选C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.6.已知锐角满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为，锐角满足，所以，，两边平方得，=，故选A。

考点：和差倍半的三角函数公式。

点评：中档题，灵活运用三角公式进行变换。

涉及正弦、余弦的和积互化问题，往往通过平方得以实现。

7.的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为展开式中，，的系数分别为，所以的展开式中，的系数为,故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.8.数列中，已知，，且，（且），则此数列为（）A. 等差数列B. 等比数列C. 从第二项起为等差数列D. 从第二项起为等比数列【答案】D【解析】由，得，又由，得，解得，，（），且，且，时，上式不成立，故数列从第项起是以为公比的等比数列，故选D.9.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上底，下底，高分别为1，2，2的直角梯形，一条长为的侧棱垂直于底面，其体积为，解得.故选C.10.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】设，，是定义在实数集上的奇函数，是定义在实数集上的偶函数，因为，所以当时，，此时函数单调递增，，，又，故选A.11.已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】椭圆，，即，则椭圆的焦点为，不妨取焦点抛物线，抛物线的焦点坐标为，椭圆与抛物线有相同的焦点，，即，则抛物线方程为，准线方程为，，由抛物线的定义得：到准线的距离为，即点的纵坐标，又点在抛物线上，，不妨取点坐标关于准线的对称点的坐标为，则，即三点共线时，有最小值，最小值为，故选A.12.设函数，其中，存在，使得成立，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数可视为动点M(x,2lnx)与动点N(a,2a)之间距离的平方,动点M在函数y=2lnx上,动点N在直线y=2x 上,即直线上的动点到曲线的最小距离,由y=2lnx得,解得x=1,所以曲线上的点(1,0)到直线y=2x的距离最小,距离平方的最小值为,则,又存在使得成立,则,此时N为垂足,,解得a=,故选A.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线在处的切线与抛物线以及轴所围成的曲线图形的面积为__________．【答案】【解析】试题分析：根据题意，所求曲边形的面积如图可以转化为与x＝2，x轴围成图形的面积减去△ABC的面积．抛物线在x＝2处的切线的斜率为k＝4，切点A（2，4），切线方程为y＝4x－4，切线与x轴的交点C（1，0），∴所求的曲边形的面积为．考点：考查了利用定积分求面积．点评：解本题的关键掌握定积分的几何意义和求面积的步骤．14.设中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则__________．【答案】2或4【解析】因为，，，所以由余弦定理可得，化为，解得或，故答案为或 .15.在三棱锥中，底面为边长为2的正三角形，顶点在底面上的射影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为__________．【答案】【解析】定点在底面上的射影为三角形的中心，而且底面是正三角形，三棱锥是正三棱锥，，令底面三角形重心（即中心）为底面为边长为的正三角形，是边上的高，，直线与底面所成角的正切值为，，（勾股定理），，于是三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为正方体的对角线为外接球的半径为外接球的表面积为，故答案为.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16.在面积为的平行四边形中，点为直线上的动点，则的最小值是__________．【答案】【解析】取的中点，连接，因为平行四边形，面积为，所以，，，此时，且，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量，，函数．（1）求的单调递增区间；（2）在中，，，是角，，的对边，若，，，求面积的最大值．【答案】（1）数的单调增区间为，；（2）面积的最大值为.【解析】试题分析：(1)由三角函数恒等变换应用化简函数解析式可得，由，，可解得的单调递增区间；（2）由，可得，再由余弦定理得出的范围，即可求出面积的最大值.试题解析：（1）由题意得：，令，，整理得：，，∴函数的单调增区间为，.（2）由题意得：，∴，∵，∴，∴，∴，由余弦定理可得：，又，∴，∴，∴面积的最大值为.18.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．【答案】（1）26.5（2）①0.6826②见解析【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据服从正态分布，从而求出；②根据题意得，的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：．（2）①∵服从正态分布，且，，∴，∴落在内的概率是．②根据题意得，；；；；.∴的分布列为∴．19.在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．【答案】(1)见解析;(2)直线与平面所成角的余弦值为.【解析】试题分析：（1）要证线面平行，先找线线平行，先证平面AED⊥平面ABCD，做过E作EG⊥AD于G，则EG⊥平面ABCD，∴FC∥EG，进而得到线面平行；（2）建系，求面的法向量和线的方向向量，根据向量夹角得到线面角，即可。

解析：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，∴BC=DC，∠ADC=∠BCD=120°，∴∠CDB=30°，∴∠ADB=90°，即BD⊥AD．又AE⊥BD，=A，∴BD⊥平面AED，又BD平面ABCD，∴平面AED⊥平面ABCD．如图4，过E作EG⊥AD于G，则EG⊥平面ABCD，又FC⊥平面ABCD，∴FC∥EG．又EG平面AED，FC平面AED，∴FC∥平面AED．（Ⅱ）解：如图5，连接AC，由（Ⅰ）知AC⊥BC，∵FC⊥平面ABCD，∴CA，CB，CF两两垂直．以C为原点，建立空间直角坐标系C−xyz．设BC，则AC，AB，，，，，∴，，．设平面BDF的法向量为，则即令，则，，则．设直线AF与平面BDF所成角为，则，故直线AF与平面BDF所成角的余弦值为．20.已知抛物线的标准方程为，为抛物线上一动点，（）为其对称轴上一点，直线与抛物线的另一个交点为．当为抛物线的焦点且直线与其对称轴垂直时，的面积为18．（1）求抛物线的标准方程；（2）记，若值与点位置无关，则称此时的点为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．【答案】（1）抛物线的标准方程为；（2）时，与无关.【解析】试题分析：（1）由已知为通径，因此，由可求得；（2）定点问题处理，设，设直线的方程为，代入抛物线方程，由韦达定理得，计算，按和分类后讨论可得取特定值时与无关，即为稳定点．试题解析：（1）由题意，，∴，抛物线的标准方程为（2）设，设直线的方程为，联立得，∴，，由对称性，不妨设，①时，∵，∴同号，又，∴，不论取何值，均与有关，即，不是“稳定点”；②时，∵，∴异号．又，∴，∴仅当，即时，与无关，稳定点为考点：抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系．【名师点睛】在解析几何中，求直线上两点间距离，可利用直线的斜率简化距离公式：是直线上的两点，则，而，只要利用韦达定理就可得．21.已知函数，．（1）曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；（2）记．（i）讨论的单调性；（ii）若，为在上的最小值，求证：．【答案】（1）；（2）（i）①若，，在单调递增；②若或，当时，；当时，；所以在单调递减，在，单调递增;(ii)见解析.【解析】试题分析：（1）先求得，，由在处的切线平行于轴，得，从而可得实数的值；（2）（i）求出，分两种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（ii）若，在单调递减，在单调递增．，令，利用导数研究函数的单调性，只需证明的最大值小于零即可.试题解析：（1），，因为在处的切线平行于轴，所以，所以；（2），（i），若，即时，则由得，当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增．若，则由，得或，构造函数（），则，由，得，所以在单调递减，在单调递增，，所以（当且仅当时等号成立）．①若，，在单调递增；②若或，当时，；当时，；所以在单调递减，在，单调递增．（ii）若，在单调递减，在单调递增．，令，则，令，，在单调递减，，，所以存在唯一的使得，所以在单调递增，在单调递减，故当时，，又，所以，所以当时，．【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数以及内函数的单调性及最值，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.本题是根据(1)求出切线方程后，再利用等差数列求通项的.22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：（为参数）．（1）写出直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程利用两角差的正弦公式展开后，再根据可化为直角坐标方程；（2）利用平方法消去曲线的参数方程中的参数，化为普通方程，然后根据直线与圆的位置关系及圆的几何性质进求解即可.试题解析：（1）∵，∴，∴，．（2）曲线为以为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离为，所以，最大距离为．23.设函数．（1）解不等式；（2）当，时，证明：．【答案】（1）解集为；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；（2）由分段函数可得f（x）的最大值，再由基本不等式求得的最小值，即可得证．试题解析：（1）由已知可得：，所以，的解集为．（2）由（1）知，；，当且仅当，即时取等号，∴．考点：绝对值不等式的解法，不等式恒成立，基本不等式．。