演示文稿高数第七章二阶差分方程

(1)
y
x
(2)
)及
1 2i
(
y x (1)
yx(2) )
也都是特解．故可得具 有以下形式的通解：
yx r x ( A1 cosx A2 sinx)
( A1 , A2是任意常数 )
第六页，总共十九页。
二、 二阶常系数非齐次线性差分方程的求解
二阶常系数非齐次线性 差分方程的通解由两项
的和组成：
一项是该方程的一个特 解yx， 另一项是对应的齐次差 分方程的通解Yx .
tan 4b a2
a
则 r cos , r sin
第五页，总共十九页。
1 r(cos i sin ),2 r(cos i sin )
y (1) x
1 x
r x (cos
i sin )
y (2) x
2 x
r
x (cos
i sin
)
都是对应齐次方程的特 解．可以证明
1 2
(
y
x
yx2 ayx1 byx cx n
设其具有形式为
y
x
x s (B0
B1 x
Bn x n )
的特解(其中B0 , B1 ,, Bn为待定系数).
i)当1 a b 0时，取s 0;
ii)当1 a b 0且a 2时，取s 1;
iii)当1 a b 0，且a 2时，取s 2.
ii)当1 a b 0且a 2时, 取s 1,即yx kx，
代入原方程得 k c 2a
此时有特解
y
x
cx 2a
iii)当1
a
b
0且a
2时，取s
2，即y
x
kx 2，
此时有特解
y
x
1 cx2 2
第九页，总共十九页。
例 1 求差分方程
yx2 2 yx1 yx 12的通解及y0 0, y1 0 的特解.
方程有两个相等的实特 征根1
2
a ，此时 2
的通解具有如下形式：
yx
( A1
A2 x)(
a 2
)
x
(
A1
,
A2为任意常数 )
第四页，总共十九页。
(3)第三种情形 a2 4b时
方程有一对共轭的复特 征根,
1
1 2
a
i
4b a2 i
2
1a 2
i
4b a2 i
把它们化为三角表示式 ：
r 2 2 b,
可得A1
4, 3
A2
4 3
故此时特解为 ~y x
4x
4 (2)x 3
4 3
(2) f ( x) cq x (c, q 1都是常数 )，即方程为
yx2 ayx1 byx cq x
第十一页，总共十九页。
设其具有形式为 yx kx sq x的特解.
i)当q2 aq b 0时, 取s 0，得其特解为
2.解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解
等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个
特解.即
yx
yx
y
x
.
第二页，总共十九页。
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解
设Yx x ( 0)为对应齐次方程一个解 ，代入得
x2 ax1 bx 0
即2 a b 0
此方程称为对应齐次方 程的特征方程 ,其根
第十四页，总共十九页。
10B0 7B1 0 10B1 1
B0
7 100
,
B1
1 10
则y
x
7 100
1 10
x
故通解为 y x
7 100
1 10
x
A1 ( 1) x
A2 (4)x
第十五页，总共十九页。
例 2 求差分方程 yx2 3 yx1 4 yx 2的通解． 解 1 a b 1 3 4 0,且a 3 2
解 2 2 0
即( 2)( 1) 0 解得1 2, 2 1
yx A1(2)x A2
1 a b 1 1 2 0,但a 1 2,
y
x
12 x 1 2
4x
第十页，总共十九页。
所给方程通解为 yx 4 x A1(2)x A2 由y0 A1 A2 ,即A1 A2 0 y1 4 2 A1 A2 ,即2 A1 A2 4
（优选）高数第七章二阶差分 方程
第一页，总共十九页。
1.定义
形如yx2 ayx1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数，f ( x)为已知函数)
的差分方程，称为二阶 常系数线性差分方程．
f ( x) 0时称为非齐次的，否则 称为齐次的． yx2 ayx1 byx 0称为相应的齐次方程．
分别就以上情形，将设 定特解代入原方程 , 可确定 其特解.
第十三页，总共十九页。
例 1 求差分方程 yx2 5 yx1 4 yx x的特解．
解 1 a b 1 5 4 10 0
可设y
x
B0
B1 x
代入方程 B0 B1( x 2) 5B0 5B1( x 1) 4B0 4B1 x x 比较两端同次项系数有
x( 7 50
1 10
x)
A1 ( 4) x
A2
第十七页，总共十九页。
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
y
x
x( B0
B1 x)
代入方程得 :
B0 ( x 2) B1( x 2)2 3B0 ( x 1) 3B1( x 1)2 4B0 x 4B1 x2 x
可得B0
7 50
,
B1
1 10
第十六页，总共十九页。
y
x
x(
7 50
1 10
x),
又yx A1(4)x A2 ,
Leabharlann Baidu
通解为
yx
y
x
q2
cq x aq
b
ii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 1得其特解为
y x
cx qx 1 2q a
iii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 2得其特解为
y x
cx qx 1 4q a
第十二页，总共十九页。
(3) f ( x) cxn (c为常数)，即方程为
即差分方程（2）的通解为 y x
Yx
y
x
.
第七页，总共十九页。
(1) f ( x) c(c为常数),即方程为 yx2 ayx1 byx c
可设其特解形式为
y
x
kx s .
i)当1
a
b
0时，取s
0，即y
x
k , 代入原方程得
k c 1 a b
所求特解
y
x
1
c a
b
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1 a
a2 2
4b
, 2
a
a2 4b 2
称为相应方程的特征根 .
现根据a2 4b的符号来确定其通解形 式.
第三页，总共十九页。
(1)第一种情形 a2 4b时
有两个相异的实特征根 1与2，此时的通解具有
如下形式：
yx A11 x A22 x ( A1 , A2为任意常数 )
(2)第二种情形 a2 4b时