初中数学最新版《实际问题与一元二次方程5》精品导学案(2022年版)

第 3 课时 实际问题与一元二次方程(3)
一、导学 1.导入课题：如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm， 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边 衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度(结果保存小数点后一位)？ 2.学习目标：列一元二次方程解决图形的面积问题. 3.学习重、难点： 重点：会列一元二次方程解决图形的面积问题. 难点：会恰当设未知数列出方程. 4.自学指导： (1)自学内容：教材第 20 页到第 21 页“探究 3〞. (2)自学时间：10 分钟. (3)自学方法：充分利用图形寻找等量关系，再根据等量关系列出方程. (4)探究提纲： ①根据题目的条件，得出上下边衬与左右边衬的宽度之比是 27∶21=9∶7，你知道是怎 样得出来的吗？请你推一推. 设中央的矩形的长和宽分别是 9acm 和 7acm.
由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 (27-9a)∶ (21-7a)=9(3-a)∶7(3-a)= 9∶7 ②书上设上、下边衬的宽均为 9xcm，而不是设为 xcm，这样做有什么好处？ 列出的方程为整数式，方便计算 ③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法 吗？
原方程可化为 9(3-2x)·7(3-2x)= ×27×21，
∴(3-2x)2= ，∴x=
.
④方程的哪个根符合实际意义？为什么？
x= x= 符合实际意义，因为取 x= ，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，


不符合实际. ⑤如果设中央矩形的长为 9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解. 设中央矩形的长为 9xcm,那么宽为 7xcm. ⑥练习：要为一幅长 29cm,宽 22cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，
且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保存小数点后一 位)？
设镜框的宽度为 xcm. 二、自学学生可参考自学指导进行自学. 三、助学 1.师助生： (1)明了学情：教师深入课堂了解学生的自学进度，观察学生是否能独立推出上下边衬 与左右边衬的宽度比为 9∶7. (2)差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. 2.生助生：生生互动，交流研讨. 四、强化 ⑤、⑥题，并点评. 2.几何问题中设未知数的方法及等量关系. 3.“面积、体积问题〞常用公式： (1)直角三角形的面积公式，一般三角形的面积公式； (2)正方形的面积公式，长方形的面积公式； (3)梯形的面积公式； (4)菱形的面积公式； (5)平行四边形的面积公式； (6)圆的面积公式. 五、评价 (围绕三维目标)：在这节课的学习中你有什么收获？还有哪些缺乏？ 2.教师对学生的评价： (1)表现性评价：点评学生的学习主动参与性、小组交流合作情况、学习方法和效果等. (2)纸笔评价：课堂评价检测. (教学反思)：


(1)面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的实际问 题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能 力的拓展、发散有很大的帮助.
(2)列一元二次方程解决实际问题是让数学回归生活，是对一元二次方程解法的延伸， 同时又是一元二次方程或二元一次方程组解决实际问题步骤的总结和内容的升华，列一元二
次方程解决实际问题是下章中学习用二次函数解决问题的根底.
(时间：12 分钟总分值：100 分)
一、根底稳固(60 分)
1.(20 分)从正方形铁片的边截去 2cm 宽的一个长方形，余下的面积是 48cm2，那么原来
的正方形铁片的面积是(D)
A. 8cm
B. 64cm
C. 8cm2
D. 64cm2
2. (20 分)直角三角形的两条直角边的和是 14cm,面积是 24cm2.那么其两条直角边长分别
是 6cm、8cm.
3.(20 分) 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框.长方形钢
片的长为 30cm，宽为 20cm,要使制成的长方形框的面积为 400cm2，求这个长方形框的边框
宽.
解：设长方形框的边框宽为 xcm.
依题意，得(30-2x)(20-2x)=600-400.整理，得 x2-25x+100=0,解得 x1=5, x2=20(舍去).
∴x=5.
答：这个长方形框的边框宽为 5cm.
二、综合应用(20 分)
4.(20 分)小林准备进行如下操作实验；把一根长为 40cm 的铁丝剪成两段，并把每一段
各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于 58cm2，小林该怎么剪？
(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm2.〞他的说法对吗？请说
明理由.
解：(1)设其中一个小正方形的边长为 xcm,那么另一个小正方形的边长为 依题意 x2+(10-x)2=58，解得 x1=3, x2=7.
=(10-x)cm.


当 x=3 时，小正方形周长为 12cm；当 x=7 时，小正方形周长为 28cm.
∴小林应把长为 40cm 的铁丝剪为 28cm 和 12cm 的两段.
(2)对.两个正方形的面积之和为：
x2+(10-x)2=2x2-20x+100=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50
∵无论 x 取何值，2(x-5)2 总是不小于 0 的.
∴2(x-5)22 的，所以不可能等于 48cm2.
小峰的说法是对的.
三、拓展延伸(20 分)
5.(20 分)如图，要设计一幅宽 20cm，长 30cm 的图案，其中有两横、两竖的彩条，横、
竖彩条的宽度比为 3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条
的宽度(结果保存小数点后一位)？
解：设横彩条的宽度为 3xx cm.
答：横彩条的宽度约为 1.8cm,竖彩条的宽度约为
1.2cm.
24.2.1 点和圆的位置关系
教学目标 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆 的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． (二)能力训练要求 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题 的策略． (三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些根本策略，体验解决问题策略的多样性，开展实践能力与创新 精神． 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的 三个点作圆． 教学方法 教师指导学生自主探索交流法．


教具准备 投影片三张 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点 能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索． Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(§3．4A)
1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？
[生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
作法：如以下列图，分别以 A、B 为圆心，以大于 1 AB 长为半径画弧，在 AB 的两侧 2
找出两交点 C、D，作直线 CD，那么直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，直线 CD 上的 任一点到 A 与 B 的距离相等．
[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做 圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？
[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆 心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．
2．做一做(投影片§3．4B) (1)作圆，使它经过点 A，你能作出几个这样的圆？ (2)作圆，使它经过点 A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布 有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？ (3)作圆，使它经过点 A、B、C(A、B、C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你 能作出几个这样的圆？
[师]根据刚刚我们的分析，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并 作出解答．
[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过点 A 作圆，只要圆心确定下来，半 径就随之确定了下来．所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段为 半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．
(2)点 A、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到 A、B 的距离相等．根 据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等，那么圆心应在线段 AB 的垂直平分线上．在 AB 的垂直平分线上任意取一点，都能 满足到 A、B 两点的距离相等，所以在 AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点 到 A 的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段 AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无 数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．


(3)要作一个圆经过 A、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离 相等．因为到 A、B 两点距离相等的点的集合是线段 AB 的垂直平分线，到 B、C 两点距离 相等的点的集合是线段 BC 的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到 A、B、C 三点 的距离相等，就是所作圆的圆心．
因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆． [师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？ 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4C)
作法
图示
1．连结 AB、BC
2．分别作 AB、BC 的垂直 平分线 DE 和 FG，DE 和 FG 相交于点 O
3．以 O 为圆心，OA 为半径作 圆 ⊙O 就是所要求作的圆
他作的圆符合要求吗？与同伴交流． [生]符合要求． 因为连结 AB，作 AB 的垂直平分线 ED，那么 ED 上任意一点到 A、B 的距离相等； 连结 BC，作 BC 的垂直平分线 FG，那么 FG 上的任一点到 B、C 的距离相等．ED 与 FG 的满足条件． [师]由上可知，过一点可作无数个圆．过两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的 三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 (circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． Ⅲ．课堂练习


锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有 怎样的特点？
解：如以下列图． O 为外接圆的圆心，即外心． 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心 在三角形的外部． Ⅳ．课时小结 本节课所学内容如下： 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程． 方法． 3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念． Ⅴ．课后作业 习题 3．6 Ⅵ．活动与探究 如以下列图，CD 所在的直线垂直平分线段 AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的 圆心？ 解：因为 A、B 两点在圆上，所以圆心必与 A、B 两点的距离相等，又因为和一条线段 的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在 CD 所在的直线上．因此 使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．







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