利用导数研究函数的极值与最值

利用导数研究函数的极值与最值
导数是研究函数变化率的工具，通过导数可以研究函数的极值和最值。

在这篇文章中，我们将讨论如何利用导数来研究函数的极值和最值。

一、极值的定义和判断条件
极值是指函数取得的最大值或最小值。

在数学上，函数f(x)在点x=c
处取得极值的充分条件是f'(c)=0，并且f'(x)的符号在x=c的两侧改变。

具体来说，f'(x)大于0时，函数递增；f'(x)小于0时，函数递减。

而当
f'(x)从正变为负或从负变为正时，就是函数取得极值的地方。

二、几何图形与导数的关系
通过导数的大小和符号，我们可以推断函数的几何行为。

例如，当
f'(x)>0时，函数f(x)是递增的，图像是向上的曲线；而当f'(x)<0时，
函数f(x)是递减的，图像是向下的曲线。

当f'(x)=0时，函数可能达到
极值点。

三、利用导数判断函数的极值
1.求导数：首先求出函数f(x)的导数f'(x)。

2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的极值点x=c。

3.判断符号：将极值点x=c代入f'(x)，判断f'(x)的符号在c的两侧。

如果f'(x)从正变为负，或从负变为正，那么极值点x=c是函数的极
值点。

4.检验：将极值点代入函数f(x)中，算出函数值f(c)，判断是否是
极值。

四、利用导数求函数的最值
1.求导数：求出函数f(x)的导数f'(x)。

2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的最值点x=c。

3.极值判断：判断c是否是函数的极值点，确定是否是最值点。

4.边界判断：检查函数在定义域的边界上的函数值，判断是否可能是
最值。

5.比较：对于所有可能的最值点，比较它们的函数值，得到最大值和
最小值。

五、利用导数求出临界点
临界点是指导数不存在的点或者导数为零的点。

通过求导数，我们可
以找到函数的临界点。

临界点可能是函数的极值点或最值点。

六、利用二阶导数判断函数的极值
对于函数f(x)，若f''(x)>0，那么f(x)在该点上有极小值；若
f''(x)<0，那么f(x)在该点上有极大值；若f''(x)=0，无法判断。

所以，在求得f'(x)=0的极值点后，利用f''(x)的正负来判定这个点是极小值
还是极大值。

综上所述，通过导数我们可以研究函数的极值和最值。

首先求出函数
的导数，然后解方程求出可能的极值点和最值点，通过判断导数的符号来
确定极值点。

同时，利用二阶导数可以判断这个点是极小值还是极大值。

最后，通过比较函数值可以求出最大值和最小值。

导数为我们研究函数极
值与最值提供了有力的工具。