16.2分式的运算 (第5课时)16.2.3 整数指数幂
华师大版八年级下册数学知识点总结
八年级华师大版数学（下）第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
16.2.3整数指数幂2节
指明回答
学生尝试写
合作完成
△温故知新
总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。
教学流程
分课时
环节
与时间
教师活动
学生活动
课内小结作业
板书
·1.填空
（1）-22=（2）(-2)2=（3）(-2)0=
（4）20=(5）2-3=(6）(-2)-3=
2.计算
(1) (x3y-2)2（2）x2y-2·(x-2y)3(3)(3x2y-2)2÷(x-2y)3
本节课你学会了哪些知识？
16.2 3（1）整数指数幂
一负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时， = （a≠0）.
2．掌握整数指数幂的运算性质. 3．会用科学计数法表示小于1的数.
4经历负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力。
重
点
掌握整数指数幂的运算性质.
难
点
会用科学计数法表示小于1的数
课前准备
小黑板、课件、题签
总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。
例10：计算下列等式是否正确？为什么？
（1） （2）
指名回答
观察计算结果，归纳公式
共同完成
△复习旧知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ同时也为了得出新知
总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。
教学流程
人教版初一数学上册分式
第十六章“分式”简介一、教科书内容和课程学习目标（一）教科书内容本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。
全章共包括三节：16．1 分式16．2 分式的运算16．3 分式方程其中，16．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。
11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。
在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。
11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。
解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。
根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。
分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。
然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用。
解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤。
（二）本章知识结构框图（三）课程学习目标本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点：1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。
2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。
3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。
人教版八年级数学上册《分式的运算(第5课时)》示范教学课件
能否将整数指数幂的 5 条运算性质进行适当合并？
名称
符号表示
同底数幂的乘法
am·an＝am＋n（m，n是整数）
幂的乘方
(am)n＝amn（m，n是整数）
积的乘方
(ab)n＝anbn（n是整数）
同底数幂的除法
am÷an＝am－n （a≠0，m，n是整数）
分式的乘方
当 m，n 为整数时，am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝am·a－n，即同底数幂的除法 am÷an 可以转化为同底数幂的乘法 am·a－n．
人教版八年级数学上册
分式的运算
第5课时
1．你还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质？
正整数指数幂：
当 n 是正整数时，an ＝ a·a·…·a．
n个
正整数指数幂的运算性质：
（1） am·an＝am＋n（m，n是正整数）；
（2）(am)n＝amn（m，n是正整数）；
例2 计算： （1）a－2÷a5； （2） ； （3）(a－1b2)3； （4）a－2b2·(a2b－2)－3．
整数指数幂的计算方法 （1）利用负整数指数幂的意义，首先把负整数指数幂都转化为正整数指数幂，然后用分式的乘除计算． （2）先直接运用整数指数幂的性质计算到最后一步，再写成正整数指数幂的形式．
分析：从特殊情形入手，取 m，n 分别为正整数和负整数、负整数和负整数、零和负整数几种情况进行研究（a≠0）．
（1）当 m，n 分别为正整数和负整数时，
a3·a－5＝a3＋(－5)．
am·an＝am＋n
（2）当 m，n 均为负整数时，
a－3·a－5＝a(－3)＋(－5)．
am·an＝am＋n
分式的约分
16.2.3整数指数幂
27 2
2、已知: 2x 1 , 1 y 81,求 x y 的值
32 3
3、若10a 20，10b 51，求 9a 32b
4、若 n2 n 1 n2 1，求整数 n 的值
（4） x2 y3 x1 y 3 （5） 2ab2c3 2 a2b 3 （6） x2 3 x4
3、（1） 3102 3 2103 2 （2） 102 3 2103 2
三 能力提升训练
（5）
4 1
3
6
2
0
3
1
3 2
例 2 计算：
（1） a1b2 3
（2） a2b2 a2b2 3
例 3 下列等式是否正确？为什么？
1am an am an
基础练习：
2
a n
anbn
b
1、（1） 54 20050
初二学案记录 学科 八下数学 时间 月 日
课题 16.2.3 整数指数幂 课型 新授 课时
1-1
一 课堂导入及知识点衔接
【知识归纳】 当 m,n 是正整数时，
（1）a m ·a n ＝a mn ； （2）（a m ） n ＝a mn （3）（ab） n ＝a n b n ．
（4）a m ÷a n ＝a mn ．（m＞n，
a≠0）；
（5） ( a )n b
an bn
(b≠0)（分式乘方法则）
（6）a0 1(a 0) ，即：任何不等于零的数的零次幂都等于 1. 注意： 零的零次幂无意义。
新人教版八年级数学下册知识点总结
八年级数学下册知识点总结第十六章 分式16.1 分式第1课时 分式的概念及有意义的条件1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A叫做分式。
2.分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】（重难点）分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0 即子零母不零】（重难点）第2课时 分式的基本性质1.分式的基本性质（重点）：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
3.分式的通分和约分：关键先是分解因式2.分式的通分和约分：关键先是分解因式。
（重点）3.最简分式16.2分式的运算第3课时 分式的乘除1、分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
（重点）2、分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
（重点） 运算顺序容易错。
（易错点）第4课时 分式的乘方1、分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
（重点）2、分式乘除、乘方混合运算（难点）运算顺序和符号容易错。
（易错点）第5课时 分式的加减1、 同分母分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
2、 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
（难点）,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±=第6课时 分式的混合运算1、混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
（重难点）第7课时 整数指数幂1、任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即)0(10≠=a a ； n 1-()0≠a C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=()0≠C n n n ba b a =)(bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;2.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=⋅；（2）幂的乘方：mn n m a a =)(;（3）积的乘方：n n n b a ab =)(； （4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)；（5）商的乘方：n n n b a b a =)( (b ≠0)3.科学记数法：把一个数表示成n a 10⨯的形式（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法。
16.2.3整数指数幂导学案
. ；a-3= , a 1 = ；a-2bc-2= , ( a ) 1 =
2
；0.1-3=
；
, ( a 2 ) 1 = （2） (2ab2c 3 ) 2 (a 2b)3
1 (3) 20090 (2) 3 ( )3 (3) 2 2
0
=
(a≠0)
错误！未指定书签。二、课堂探究（只当观众的人永远领不到金牌）
1、计算： 5
2
55 ＝
2
； 10
3
一方面： 5
55 ＝ 525 53
2
10 7 ＝ 。 10 3 10 7 ＝ 10 10
另一方面： 5 则5
3
5
5
归纳：一般的，规定： a (a 0) n 是整数，即任何不等于零的数的-n（n 为正整数） 次幂，等于_____________________.
y （1） 、 x
am （2） n 、 b
（3） 、
x y x y
（4） 、
3a b ( 2a b) 2
2.把下列各式写成分式。 （1） 2m 、
3 2
n
（2） ( x 、
y) 1 ( x y) 2
（3） 2( a 、
2b) 2
9.计算： （1） (
1 3 1 ) ( ) 2 3.14 0 (0.1) 2 10 30
1 5 （2） ( ab2 )3 · a3b2 6 3
面对孩子，我们愿付出一切；面对未来，我们一直在努力！
三．课堂检测（拾级而上，一定可以到达顶峰） 1. (x-1)0=1 成立的条件是 2. (x-1)-2= 3.(a-1)-2bc-2= 4. a 2 · (a)2 ( a)3 = 5、计算 （1） x 2 y 3 ( x 1 y)3
16.2.3 整数指数幂
8 8 8
例 题
例10 下列等式是否正确？为什么？ （1）a a a a ; （2）
m n m n
a n n a b . b
n
解：（1） a m a n a mn a m( n) a m a n ,
所以
n
a m a n a m an ;
(103 )3 (109 )3 109 1027 109( 27) 1018.
1立方毫米的空间可以放1018个1立方纳米的物体.
16.2.3 整数指数幂
引言
当n是正整数时，
a n a aa
n个
正整数幂有以下运算性质：
(1) (2) (3)
(4)
(5)
a m a n a m n m n mn a a (ab)n a n bn
(m,n是正整数) (m,n是正整数) (n是正整数) (m,n是正整数,且m>n,a0) (n是正整数)
a a nb n . b
n
an 1 a n （2） n a n a nbn , 所以 b b b
思考 对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一 个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时， 10的指数是多少？如果有m个0呢？
0.0000000021 2.110
a an n b b
n
a m a n a m n
例 题
例9 计算 （1） (a b ) ;
1 2 3
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 3
（2） a 2b 2 (a 2b 2 ) 3 .
3 6 6
人教版八年级上册数学教案15.2 分式的运算(5课时)
15．2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除 第1课时 分式的乘除一、基本目标 【知识与技能】理解分式乘除法的运算法则，并能正确进行计算． 【过程与方法】经历分析、对比的过程，类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则，利用分式的乘除法法则进行计算，增强对法则的理解与掌握．【情感态度与价值观】通过探索分式的乘除法法则的过程，提高对比、归纳的能力，培养从已学知识中推导新知识的习惯．二、重难点目标 【教学重点】 分式的乘除法法则． 【教学难点】运用分式的乘除法法则进行计算并解决实际问题．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P135～P137的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为a b ·c d ＝a ·c b ·d.2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·db ·c.3．分式的乘除法运算，运算结果应化为最简分式.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ； (2)y 7x ÷⎝⎛⎭⎫－2x . 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘除法法则进行计算时，需要注意什么？ 【解答】(1)原式＝a 2b 2c 2abc ＝abc .(2)原式＝y 7x ·⎝⎛⎭⎫－x 2＝－xy 14x ＝－y 14. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式乘除法法则进行计算，运算结果应化为最简分式．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算a 2－1(a ＋1)2÷a －1a ，结果正确的是( D )A.12 B ．a ＋1a ＋2C ．a ＋1aD ．a a ＋12．计算： (1)x 2y x 3·⎝⎛⎭⎫－1y ； (2)a 2－4b 23ab 2·ab a －2b ；(3)x 2－x x －1÷(4－x )； (4)42(x 2－y 2)x ·－x 235(y －x )3.解：(1)原式＝－x 2y x 3y ＝－1x.(2)原式＝(a ＋2b )(a －2b )3ab 2·ab a －2b ＝a ＋2b3b .(3)原式＝x (x －1)x －1·14－x ＝x4－x.(4)原式＝42(x ＋y )(x －y )x ·x 235(x －y )3＝6x (x ＋y )5(x －y )2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，求4a 2－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2a的值． 【互动探索】利用已知等式求出a 、b 的值→计算分式的乘法，化简所求式子→代入a 、b 值进行计算．【解答】∵(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，1－a ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.4a 2－ab16a 2－8ab ＋b 2·2a ＝a (4a －b )(4a －b )2·2a ＝24a －b. 将a ＝1，b ＝1代入上式，得原式＝24a －b ＝24－1＝23.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据非负数的性质求出a 、b 的值后，要代入化简后的式子进行计算．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第2课时 分式的乘方及乘除混合运算一、基本目标 【知识与技能】理解分式的乘方法则，掌握分式乘方与乘除混合运算的运算顺序． 【过程与方法】经历计算、思考、归纳的过程，归纳出分式的乘法法则，通过分式的乘除混合运算和乘方运算，加深对分式乘除法法则和乘方法则的记忆，并了解乘方与乘除法混合运算的运算顺序．【情感态度与价值观】通过归纳分式乘方法则的过程，养成归纳意识，通过运用分式的乘除法法则和乘方法则进行混合运算，提高计算能力．二、重难点目标 【教学重点】分式的乘方法则和混合运算顺序． 【教学难点】运用分式的乘除法法则和乘方法则正确计算．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P138～P139的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．教材第138页“思考”：⎝⎛⎭⎫a b 2＝a 2b 2；⎝⎛⎭⎫a b 3＝a 3b 3；⎝⎛⎭⎫a b 10＝a10b 10.2．分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．用字母表示：⎝⎛⎭⎫a b n ＝a nb n . 3．分式的乘除法和乘方的混合运算，先算乘方，再算乘除法． 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：2x －64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·(x ＋3)(x －2)3－x. 【互动探索】(引发学生思考)类比整式的乘除混合运算顺序进行分式混合运算． 【解答】原式＝2x －64－4x ＋x 2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x ＝2(x －3)(2－x )2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x ＝2(x －3)(x －2)2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)－(x －3)＝－2x －2【互动总结】(学生总结，老师点评)计算分式的乘除混合运算时，先统一为乘法运算，再依次进行计算．【例2】计算：(1)⎝⎛⎭⎫－2b 2a 33； (2)⎝⎛⎭⎫c 3a 2b 2÷⎝⎛⎭⎫c 4a 3b 2·⎝⎛⎭⎫c a 4. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘方法则进行计算时应该注意什么？当式子里同时有乘除法和乘方时，运算顺序是怎样的？【解答】(1)原式＝(－2b 2)3(a 3)3＝－8b 6a 9.(2)原式＝c 6a 4b 2÷c 8a 6b 2·c 4a 4＝c 6a 4b 2·a 6b 2c 8·c 4a 4 ＝c 2a2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)分式乘方时，注意分子、分母分别乘方，式子中有乘除法与乘方时，先算乘方，再算乘除法．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知⎝⎛⎭⎫x 3y 22÷⎝⎛⎭⎫－x y 32＝6，则x 4y 2的值是( A ) A ．6 B ．36 C ．12 D ．32．计算：(1)3ab 22x 3y ·⎝⎛⎭⎫－8xy 9a 2b ÷3x (－4b )； (2)3(x －y )2(y －x )3·(x －y )4÷9y －x ； (3)⎝⎛⎭⎫c 3a 2b 2÷⎝⎛⎭⎫c 4a 3b 2÷⎝⎛⎭⎫a c 4； (4)⎝⎛⎭⎫a －b ab 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b －a 3·(a 2－b 2)． 解：(1)16b 29ax 3.(2)(x －y )43.(3)c 2a 2. (4)a (a ＋b )b 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】许老师讲完了分式的乘除一节后，给同学们出了这样一道题，若x ＝－2018，求代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值．小明通过计算，发现题目中的x ＝－2018是多余的．你认为小明的发现是否正确？【互动探索】先计算分式乘除运算的值→验证分式乘除运算的结果与x 的关系． 【解答】x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2xx 3＋x 2＋x ·1x ＋2＝(x ＋2)(x －2)x 2＋x ＋1·x (x 2＋x ＋1)x (x －2)·1x ＋2＝1.∴代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2xx 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值是一个定值，与x 的取值无关．故小明的发现是正确的．【互动总结】(学生总结，老师点评)将代数式化简后，如果结果是一个常数，那么该代数式的值与其中字母的取值无关．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．2.2 分式的加减 第3课时 分式的加减一、基本目标 【知识与技能】1．理解分式的加减法法则，并能正确计算分式加减法． 2．掌握异分母分式加减法的计算步骤，并能正确计算． 【过程与方法】经历思考、类比、归纳的过程，理解分式的加减法法则，在掌握分式通分的基础上，掌握异分母分式加减法的计算方法．【情感态度与价值观】类比分数的加减法法则理解分式的加减法法则，养成类比思考的习惯，通过运用分式的加减法法则进行加减法运算，提高运算能力．二、重难点目标 【教学重点】 分式的加减法法则． 【教学难点】异分母分式的加减法的计算步骤．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P139～P140的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】 1．观察填空： (1)15＋25＝35； (2)15－25＝－15； (3)12＋13＝36＋26＝56； (4)12－13＝36－26＝16. 同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减. 异分母分数相加减，先通分，再把分子相加减． 2．类比分数的加减，你能说出分式的加减法则吗？ (1)同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用字母表示为a c ±b c ＝a ±bc.(2)异分母分式相加减，先先通分，变为同分母的分式，再加减. 用字母表示为a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bcbd .环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)x ＋3y x 2－y 2－x ＋2yx 2－y 2； (2)1a ＋3＋6a 2－9； (3)m ＋2n n －m －n m －n ＋2m n －m ； (4)1x －3＋1－x 6＋2x －6x 2－9. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的加减法法则进行计算，异分母分式相加减时，应该注意什么？【解答】(1)原式＝x ＋3y －(x ＋2y )x 2－y 2＝5yx 2－y 2. (2)原式＝a －3(a ＋3)(a －3)＋6(a ＋3)(a －3)＝a ＋3(a ＋3)(a －3)＝1a －3. (3)原式＝m ＋2n n －m ＋n n －m ＋2mn －m＝3m ＋3n n －m.(4)原式＝2(x ＋3)2(x ＋3)(x －3)＋(1－x )(x －3)2(x ＋3)(x －3)－122(x ＋3)(x －3)＝－(x 2－6x ＋9)2(x ＋3)(x －3)＝－x －32x ＋6.【互动总结】(学生总结，老师点评)异分母分式相加减时，首先要通分，变为同分母分式再加减．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列运算中正确的是( C ) A.a a －b －b b －a＝1 B ．m a －n b ＝m －n a －bC.a 2a －b －b 2a －b ＝a ＋b D ．b a －b ＋1a ＝1a3．计算： (1)3a ＋2b 5a 2b ＋a ＋b 5a 2b ；(2)b 2a －b ＋a 2b －a； (3)3b －a a 2－b 2－a ＋2b a 2－b 2－3a －4b b 2－a 2； (4)x x －y ＋x x ＋y －x 2x 2－y 2. 解：(1)4a ＋3b5a 2b .(2)－a －b .(3)a －3ba 2－b 2. (4)x 2(x ＋y )(x －y ). 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知3x ＋4x 2－x －2＝A x －2－B x ＋1，其中A 、B 为常数，求4A －B 的值．【互动探索】要求4A －B 的值，需要先求出A 与B 的值．通过化简等式右边，再对比可求出A 、B 的值．【解答】Ax －2－Bx ＋1＝A (x ＋1)(x ＋1)(x －2)－B (x －2)(x ＋1)(x －2)＝(A －B )x ＋(A ＋2B )(x ＋1)(x －2).因为3x ＋4x 2－x －2＝Ax －2－Bx ＋1＝(A －B )x ＋(A ＋2B )(x ＋1)(x －2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧A －B ＝3，A ＋2B ＝4.解得⎩⎨⎧A ＝103，B ＝13.故4A －B ＝4×103－13＝13.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对比等式中等号两边的分式，得出关于A 、B 的二元一次方程，求出A 、B 的值，从而求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第4课时 分式的混合运算一、基本目标 【知识与技能】1．明确分式混合运算的运算顺序．2．运用分式的运算法则正确计算分式的混合运算． 【过程与方法】经历计算、对比、归纳的过程，明确分式混合运算的运算顺序，在明确运算顺序的基础上，正确计算分数的混合运算．【情感态度与价值观】类比分数的混合运算的运算顺序得出分式的混合运算顺序，养成类比思考的习惯，通过运用分式的运算法则进行混合运算，提高运算能力．二、重难点目标 【教学重点】分式混合运算的运算顺序．【教学难点】正确计算分式的混合运算．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P141～P142的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．2．分式运算与分数运算一样，结果必须化为最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式．活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)x x －y ·y 2x ＋y －x 4y x 4－y 4÷x 2x 2＋y 2； (2)⎝⎛⎭⎫2a b 2·1a －b －a b ÷b 4； (3)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷4－x x. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的混合运算运算顺序计算． 【解答】(1)原式＝xx －y ·y 2x ＋y －x 4y(x 2＋y 2)(x 2－y 2)·x 2＋y 2x2＝xy 2(x －y )(x ＋y )·－x 2yx 2－y 2＝xy (y －x )(x －y )(x ＋y )＝－xy x ＋y .(2)原式＝4a 2b 2·1a －b －a b ÷b 4＝4a 2b 2(a －b )－4a b2＝4a 2－4a (a －b )b 2(a －b ) ＝4abb 2(a －b )＝4ab (a －b ).(3)原式＝[x ＋2x (x －2)－x －1(x －2)2]·x －(x －4) ＝[(x ＋2)(x －2)x (x －2)2－x (x －1)x (x －2)2]·x －(x －4)＝x 2－4－x 2＋x x (x －2)2·x －(x －4)＝－1x 2－4x ＋4.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式混合运算，先乘方，再乘除，最后加减，注意结果化成最简分式或整式．活动2 巩固练习(学生独学)1．若代数式⎝⎛⎭⎫A －3a －1·2a －2a ＋2的化简结果为2a －4，则整式A ＝( A ) A ．a ＋1 B ．a －1 C ．－a －1 D ．－a ＋12．计算：(1)⎝⎛⎭⎫x 2x －2＋42－x ÷x ＋22x ； (2)⎝⎛⎭⎫a a －b －b b －a ÷⎝⎛⎭⎫1a －1b ； (3)⎝⎛⎭⎫1＋y x －y ⎝⎛⎭⎫1－xx ＋y ；(4)⎝⎛⎭⎫x 2y 2·y 2x －x y 2·2y 2x.解：(1)2x . (2)－ab (a ＋b )(a －b )2. (3)xy x 2－y 2. (4)x －16y 8y.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】先化简⎝⎛⎭⎫1－1x －1÷x 2－4x ＋4x 2－1，再从不等式2x －1<6的正整数解中选择一个适当的数代入求值．【互动探索】先化简代数式→解一元一次不等式→从解集中选择一个数代入求值． 【解答】原式＝x －2x －1÷(x －2)2(x ＋1)(x －1)＝x ＋1x －2.由2x －1<6，得x <72.故不等式的正整数解为1,2,3.当x ＝3时，原式＝x ＋1x －2＝3＋13－2＝4.【互动总结】(学生总结，老师点评)选择x 的值时，要使每个分式都有意义． 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．2.3 整数指数幂(第5课时)一、基本目标 【知识与技能】1．理解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质．2．掌握利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数． 【过程与方法】经历思考、计算、对比的过程，理解负整数指数幂的意义，在此基础上，将正整数指数幂的性质推广到任意整数，从而掌握整数指数幂的性质．【情感态度与价值观】类比正整数幂的性质，结合负整数指数幂的意义，推导出整数指数幂的性质，养成类比思考的习惯，通过运用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数，提高运用所学知识的能力．二、重难点目标 【教学重点】负整数指数幂的意义，整数指数幂的运算性质． 【教学难点】用科学记数法表示一些小于1的正数．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P142～P145的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】 一、负整数指数幂1．正整数指数幂的运算有：(a ≠0，m 、n 为正整数) (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ； (3)(ab )n ＝a n b n ； (4)a m ÷a n ＝a m －n ； (5)⎝⎛⎭⎫a b n ＝a nb n ； (6)a 0＝1.2．负整数幂：一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n(a ≠0)，这就是说，a －n (a ≠0)是a n 的倒数．二、科学记数法1．绝对值大于10的数记成a ×10n 的形式，其中1≤︱a ︱<10，n 是正整数．n 等于原数的整数数位减去1.(2)用科学记数法表示：100＝102；2000＝2.0×103；33000＝3.3×104.2．类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值小于1的数，即将它们表示成a ×10－n 的形式．(其中n 是正整数，1≤|a |＜10)3．用科学记数法表示：0.01＝1×10－2；0.001＝1×10－3；0.0033＝3.3×10－3. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)x 2y －3(x －1y )3；(2)(2ab 2c －3)－2÷(a －2b )3；(3)3a －2b ·(2ab －2)－2；(4)4xy 2z ÷(－2x －2yz －1)．【互动探索】(引发学生思考)利用整数指数幂的运算性质进行计算时应该注意些什么？ 【解答】(1)原式＝x 2y －3x －3y 3＝x －1y 0＝1x .(2)原式＝14a －2b －4c 6÷(a －6b 3)＝14a 4b －7c 6＝a 4c 64b 7.(3)原式＝3a －2b ·14a －2b 4＝34a －4b 5＝3b 54a4.(4)原式＝－2x 3yz 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用整数指数幂的运算性质进行计算，结果负整数指数幂写成分数的形式．【例2】用科学记数法表示下列各数： (1)0.0000001； (2)0.00024； (3)0.0000000035.【互动探索】(引发学生思考)用科学记数法表示小于1的正数，一般形式是怎样的？ 【解答】(1)0.0000001＝1×10－7. (2)0.00024＝2.4×10－4. (3)0.0000000035＝3.5×10－9.【互动总结】(学生总结，老师点评)小于1的正数可以用科学记数法表示为a ×10－n 的形式，其中1≤a <10，n 是正整数．【例3】计算：(1)(2×10－6)2·(3×10－4)；(2)(3×10－5)3÷(10－3)－2.【互动探索】(学生总结，老师点评)用科学记数法表示的数的有关计算应该注意些什么？【解答】(1)(2×10－6)2·(3×10－4)＝(4×10－12)·(3×10－4)＝12×10－16＝1.2×10－15. (2)(3×10－5)3÷(10－3)－2＝(27×10－15)÷106＝27×10－21＝2.7×10－20.【互动总结】(学生总结，老师点评)用科学记数法表示的数的有关计算，结果应符合科学记数法．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算(－π )0÷⎝⎛⎭⎫－13－2的结果是( D ) A ．－16B ．0C ．6D ．192．计算：(1)(m 3n )－2·(2m －2n －3)－2；(2)(2xy －1)2·xy ÷(－2x －2y )；(3)⎝⎛⎭⎫b a －2·⎝⎛⎭⎫a b 2； (4)(2m 2n －1)2÷3m 3n －5.解：(1)n 44m 2.(2)－2x 5y 2.(3)a 4b 4.(4)43mn 3.3．用科学记数法表示下列各数：(1)0.000021； (2)0.00000034； (3)0.00102. 解：(1)2.1×10－5. (2)3.4×10－7. (3)1.02×10－3.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！。
16.2.3整数的指数幂
16．2．3整数指数幂学习目标：1．知道负整数指数幂na-=na 1（a ≠0，n 是正整数）. 2．掌握整数指数幂的运算性质. 3．会用科学计数法表示小于1的数. 学习重点：掌握整数指数幂的运算性质. 学习难点：会用科学计数法表示小于1的数. 学习过程：1、我们以前学的幂的运算性质有哪些？（1）___________=⋅nm a a （2）()___________=nma（3）()___________=mab （4）___________=÷n m a a (5) ___________=0a ( )2、同底数幂除法公式nm n m a a a -=÷中，ｍ、ｎ有什么限制吗？4、计算：5255÷＝；731010÷＝ 。
公式：5255÷＝)) ((55=731010÷＝)) 1010((=约分：5255÷＝))) (((5155=731010÷＝) )) 101010(((1= 则()()==--4310,5归纳：一般的，规定：())0(≠=-a ann 是整数，即任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂，等于_____________________.试一试：=-35=-22 =-2)2(x例1 计算：（1）3-3； （2）（ 12）-2；例2 计算：（1）（-2）-2； （2）（-2）-3； （3）（-a ）-2； （4）（-a ）-5．例3 计算：（1）321b a ）（－ （2）22222b a b a －－－）（⋅ 练习1、23312)()(b a b a -- 2、n n ---2313)31(33、)()()(24b a b a b a +÷++-例4 下列等式是否正确？为什么？（1）a m ÷a n =a m ·a -n （2）(a b)n =a n b -n达标检测： 1、计算： （１）、33- （2）、3)21(- （3）、2)2(--（4）、5)2(-- （5）、4)(--a （6）、5)(--a2、判断下列式子是否成立：(1) )(3232a a a -+-=⋅（ ） （2）333b a ab ---=)(；（ ） （3）())(2323a a ⨯--=（ ） 3：计算： （1）2023)1.0(14.3)301()101(----+⨯+-（2）232221)()3(---n m n m（四）总结反思，拓展升华综合运用幂的运算法则进行计算，先做乘方，再做乘除，最后做加减，若遇括号，•应做括号内的运算；对于底数是分数的负整数指数幂，可先颠倒分数的分子和分母的位置，便可把负整数指数化为已知整数指数．三、例、习题的意图分析1． P23思考提出问题，引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质. 2． P24观察是为了引出同底数的幂的乘法：nm nma a a +=⋅，这条性质适用于m,n 是任意整数的结论,说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质，在整数范围里也都适用.3． P24例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质，教师不要因为这部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正，以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.4． P25例10判断下列等式是否正确？是为了类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来.5．P25最后一段是介绍会用科学计数法表示小于1的数. 用科学计算法表示小于1的数，运用了负整数指数幂的知识. 用科学计数法不仅可以表示小于1的正数，也可以表示一个负数.6．P26思考提出问题，让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数，从而归纳出：对于一个小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几.7．P26例11是一个介绍纳米的应用题，使学生做过这道题后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示小于1的数. 四、课堂引入1．回忆正整数指数幂的运算性质： （1）同底数的幂的乘法：nm nma a a +=⋅(m,n 是正整数)；（2）幂的乘方：mn nm aa =)((m,n 是正整数)；（3）积的乘方：n n n b a ab =)((n 是正整数)； （4）同底数的幂的除法：nm nmaa a -=÷( a ≠0，m,n 是正整数，m ＞n)；（5）商的乘方：n nn ba b a =)((n 是正整数)；2．回忆0指数幂的规定，即当a ≠0时，10=a . 3．你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=9101米吗？ 4．计算当a ≠0时，53a a ÷=53a a =233aa a ⋅=21a ，再假设正整数指数幂的运算性质n m n m a a a -=÷(a ≠0，m,n 是正整数，m ＞n)中的m ＞n 这个条件去掉，那么53a a ÷=53-a =2-a .于是得到2-a =21a（a ≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当n 是正整数时，na -=n a1（a ≠0）.五、例题讲解（P24）例9.计算[分析] 是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数 指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.（P25）例10. 判断下列等式是否正确？[分析] 类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断下列等式是否正确.（P26）例11.[分析] 是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于1的数. 六、随堂练习 1.填空（1）-22=（2）(-2)2= （3）(-2) 0=（4）20= (5）2 -3= (6）(-2) -3= 2.计算(1) (x 3y -2)2（2）x 2y -2·(x -2y)3(3)(3x 2y -2) 2 ÷(x -2y)3七、课后练习1. 用科学计数法表示下列各数：0．000 04， -0. 034, 0.000 000 45, 0. 003 009 2.计算(1) (3×10-8)×(4×103) (2) (2×10-3)2÷(10-3)3八、答案：六、1.（1）-4 （2）4 （3）1 （4）1（5）81 （6）812.（1）46y x （2）4x y （3） 7109yx七、1.(1) 4×10-5(2) 3.4×10-2（3）4.5×10-7（4）3.009×10-32.（1） 1.2×10-5（2）4×103第2课时（一）创设情境，导入新课问题 ：一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？以前学过大于10以上的数的科学记数法，那么现在较小的数纳米直径也能用科学记数法来表示吗？做一做：（1）用科学记数法表示745 000 = 7.45×105，2 930 000= 2.93×106 ．（2）绝对值大于10的数用a ×10n 表示时， 1 ≤│a │< 10 ，n 为 整数 ．（3）零指数与负整数指数幂公式是 a 0 =（a ≠0），a -n = （a ≠0）． （二）合作交流，解读探究 明确（1）我们曾用科学记数法表示绝对值大于10的数，表示成a ×10n 的形式，其中1≤│a │<10，n 为正整数．（2）类似地用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，•将它们表示成a ×10-n 形式，其中1≤│a │<10．（3）我们知道1纳米= 9110米，由 9110=10-9可知，1纳米=10-9米，所以35纳米=35×10-9米．而35×10-9=（3.5×10）×10-9 = 3.5×101－9 = 3.5×10-8，所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8米． 试一试 把下列各数用科学记数法表示（1）100 000=1×105 （2）0.000 01=1×10-5（3）-112 000=－1.12×105 （4）-0.000 001 12=－1.12×10-6 议一议（1）当绝对值大于10的数用科学记数法表示a ×10n 形式时，1•≤│a •│<10，n 的取值与整数位数有什么关系？（2）当绝对值较小的数用科学记数法表示中，a 、n 有什么特点呢？明确：绝对值较小的数的科学记数法表示形式a ×10-n 中，n 是正整数，a •的取值一样为1≤│a │<10，但n 的取值为小数中第一个不为零的数字前面所有的零的个数．比如：0.000 05=5×10-5（前面5个0）；0.000 007 2=7.2×10-6（前面6个0）．（三）应用迁移，巩固提高例1 用科学记数法表示下列各数（1）0.001=1×10-3． （2）-0.000 001=－1×10-6． （3）0.001 357=1.357×10-3． （4）-0.000 034=－3.4×10-5． 例2用科学记数法填空（1）1秒是1微秒的1 000 000倍，则1微秒=1×10-6秒； （2）1毫克=1×10-6千克； （3）1微米=1×10-6米； （4）1纳米=1×103微米；（5）1平方厘米=1×10-4平方米； （6）1毫升=1×10-6立方米． 例3用科学记数法表示下列结果： （1）地球上陆地的面积为149 000 000km 2，用科学记数法表示为______； （2）一本200页的书的厚度约为1.8cm ，用科学记数法表示每一页纸的厚度约等于_______cm ． 【分析】用科学记数法表示数关键是确定a ×10n 中的两个数值a 和n ，第（2）•题要先计算，再用科学记数法表示计算结果． 解：（1）149 000 000=1.49×108即地球上陆地的面积约为1.49×108km2． （2）因为1.8÷200=0.009=9×10-3．所以每一页纸的厚度约为9×10-3cm ．明确：用科学记数法表示数A ，首先要考虑│A │的情况，再来确定n 的值．而a •×10n 中的a 的绝对值是只含有一位整数的数．顺便指出：用a ×10n 表示的数，•其有效数字由a 来确定，其精确度由原数来确定．如3.06×105的有效数字为3、0、6，精确到千位；而3.06×10-2的有效数字为3、0、6，精确到万分位． （四）总结反思，拓展升华引入零指数幂和负整数指数幂后，幂的范围从正整数指数幂推广到整数指数幂，幂的运算法则同样适用于科学记数法有关计算，最后结果一般用科学记数法表示．（五）课堂跟踪反馈1．教科书P26页练习1——2题。
八年级数学上册 15.2 分式的运算 15.2.3 整数指数幂教学设计 (新版)新人教版
八年级数学上册 15.2 分式的运算 15.2.3 整数指数幂教学设计（新版）新人教版一. 教材分析新人教版八年级数学上册15.2节主要讲述了分式的运算中的整数指数幂。
本节内容是学生进一步学习代数知识的基础，对于学生理解分式的运算规则、提高解决实际问题的能力具有重要意义。
本节课的内容包括整数指数幂的定义、性质及运算方法，与现实生活情境的联系等。
通过本节课的学习，学生应能理解整数指数幂的概念，掌握其性质和运算方法，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了有理数、代数式等基础知识，对分式的运算有一定的了解。
但整数指数幂作为一种新的运算方式，可能对学生来说较为抽象，需要通过具体的例子和练习来理解和掌握。
此外，学生可能对分式运算中的符号和规则感到困惑，需要老师在教学中进行解释和引导。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能理解整数指数幂的概念，掌握其性质和运算方法，并能运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等方法，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：整数指数幂的概念、性质和运算方法。
2.难点：对整数指数幂的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境的引入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.小组合作学习：学生进行小组讨论和交流，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
3.实例教学法：通过具体的例子和练习，让学生理解和掌握整数指数幂的运算方法。
4.启发式教学法：老师提问引导学生思考，激发学生的学习兴趣和自主学习能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，包括整数指数幂的定义、性质和运算方法等内容。
2.练习题：准备一些有关整数指数幂的练习题，用于巩固和检验学生的学习效果。
3.教学素材：准备一些与现实生活相关的情境素材，用于引入和拓展学生的学习内容。
人教版数学八年级《分式》作业设计
人教版数学八年级《分式》全章随堂练习及作业设计16．1分式16.1.1从分数到分式随堂练习1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1）32x + （2）532x x +- （3）2254x x --3. 当x 为何值时，分式的值为0？（1）75x x+ （2）7213x x - (3) 221x x x --课后练习1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？(1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 .2．当x 取何值时，分式2132x x +-无意义？3. 当x 为何值时，分式21x x x--的值为0？16.1.2分式的基本性质随堂练习 1．填空：(1) xx x 3222+=()3x + (2)32386b b a =()33a（3) c a b ++1=()an cn + (4) ()222y x y x +-=()x y -2．约分：（1）c ab b a 2263 （2）2228mn n m （3）532164xyzyz x - （4）x y y x --3)(23．通分： （1）321ab 和cb a 2252 （2）xy a 2和23x b（3）223ab c 和28bca- （4）11-y 和11+y4．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号.(1) 233ab yx -- (2) 2317b a --- （3) 2135x a -- (4) m b a 2)(--课后练习1．判断下列约分是否正确： （1）c b c a ++=b a ( ) （2）22y x y x --=y x +1( ) （3）nm nm ++=0( )2．通分： （1）231ab 和b a 272 （2）x x x --21和xx x +-213．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“－”号.（1）ba ba +---2 （2）y x y x -+--3216.2分式的运算16.2.1分式的乘除(一)随堂练习 计算（1）ab c 2c b a 22⋅ （2）322542n m m n ⋅- （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷x x y 27（4）－8xy x y 52÷ (5)4411242222++-⋅+--a a a a a a (6))3(2962y y y y -÷++- 课后练习 计算:（1）231x y x y ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭（2）2510321b bc ac a ⎛⎫÷- ⎪⎝⎭ （3）()21285xy x y a ÷-（4）222432a b ab ab a b -⋅- （5）2(4)1x xx x -÷-- （6）222342()35()x y x x y x --⋅-16．2．1分式的乘除(二)随堂练习(1))2(216322b a a bc a b -⋅÷ （2）103326423020)6(25ba c c ab b ac ÷-÷（3）x y y x x y y x -÷-⋅--9)()()(3432 （4）22222)(x y x xy y xy x x xy -⋅+-÷-课后练习(1))6(4382642z yx y x y x -÷⋅- (2)9323496222-⋅+-÷-+-a a b a b a a(3)229612316244y y y y y y --÷+⋅-+- (4)xyy xyy x xy x xy x -÷+÷-+222)(16．2．1分式的乘除(三)随堂练习1．判断下列各式是否成立，并改正.（1）23)2(a b =252a b （2）2)23(a b -=2249ab -（3）3)32(x y -=3398xy （4）2)3(b x x -=2229b x x - 2．计算(1) 22)35(y x （2）332)23(c b a - （3）32223)2()3(xay xy a -÷（4）23322)()(z x zy x -÷- （5))()()(422xy x y y x -÷-⋅- (6)232)23()23()2(ayx y x x y -÷-⋅-课后练习(1) 332)2(a b - (2) 212)(+-n ba(3)4234223)()()(c a b a c b a c ÷÷ (4) )()()(2232b a ab a ab b a -⋅--⋅-16．2．2分式的加减（一）随堂练习 计算 (1)ba ab b a b a b a b a 22255523--+++ （2）m n mn m n m n n m -+---+22（3）96312-++a a （4）ba ba b a b a b a b a b a b a ---+-----+-87546563 课后练习(1) 22233343365cba b a c ba a b bc a b a +--++ (2) 2222224323ab ba b a b a b a a b ----+---(3) 122+++-+-b a ab a b a b (4) 22643461461x y xy x y x -----16．2．2分式的加减（二）随堂练习 计算(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(ba ab b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 课后练习 (1) )1)(1(y x x y x y +--+ (2) 22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3) zxyz xy xy z y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a －1的值.16．2．3整数指数幂随堂练习1.填空（1）－22= （2）(－2)2= （3）(－2) 0=（4）20= ( 5）2－3= ( 6）(－2) －3=2.计算(1) (x 3y －2)2 （2）x 2y －2 ·(x －2y)3 (3)(3x 2y －2) 2 ÷(x －2y)31. 用科学计数法表示下列各数：0．000 04 －0. 034 0.000 000 4 0. 003 0092.计算(1) (3×10－8)×(4×103)(2) (2×10－3)2÷(10－3)316．3分式方程(一) 随堂练习解方程: (1)623-=x x（2）1613122-=-++x x x（3）114112=---+x x x（4）22122=-+-x x x x1．解方程 (1) 01152=+-+x x (2) xx x 38741836---=-(3)01432222=---++x x x x x (4) 4322511-=+-+x x2．X 为何值时，代数式xx x x 231392---++的值等于2？16．3分式方程(二)随堂练习1. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?3. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.课后练习1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快51 ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
2016年最新人教版初中数学新教材目录
初中数学新教材目录（2012修订）人教版义务教育课程标准实验教科书数学（7～9年级）各章目录2016年9月七年级上第一章有理数1.1 正数和负数1.2 有理数1.2.1 有理数 1.2.2 数轴 1.2.3 相反数 1.2.4 绝对值1.3 有理数的加减法1.3.1 有理数的加法 1.3.2 有理数的减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1.4 有理数的乘除法1.4.1 有理数的乘法 1.4.2 有理数的除法观察与猜想翻牌游戏中的数学道理1.5 有理数的乘方1.5.1 乘方 1.5.2 科学记数法 1.5.3 近似数数学活动小结第二章整式的加减2.1 整式阅读与思考数字1与字母X的对话2.2 整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结第三章一元一次方程3.1 从算式到方程3.1.1 一元一次方程 3 .1.2 等式的性质阅读与思考方程史话3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母3.4 实际问题与一元一次方程数学活动小结（2）第四章几何图形初步4.1 几何图形4.1.1 立体图形与平面图形 4.1.2 点、线、面、体阅读与思考几何学的起源4.2 直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4.3 角4.3.1 角 4.3.2 角的比较与运算 4.3.3 余角和补角4.4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结七年级下第五章相交线与平行线5.1 相交线5.1.1 相交线 5.1.2 垂线 5.1.3 同位角、内错角、同旁内角观察与猜想看图时的错觉5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线 5.2.2 平行线的判定5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质 5.3.2 命题、定理、证明信息技术应用探索两条直线的位置关系5.4 平移数学活动小结第六章实数6.1 平方根6.2 立方根6.3 实数阅读与思考为什么说不是有理数数学活动小结第七章平面直角坐标系7.1 平面直角坐标系7.1.1 有序数对7.1.2 平面直角坐标系阅读与思考用经纬度表示地理位置7.2 坐标方法的简单应用7.2.1 用坐标表示地理位置7.2.2 用坐标表示平移数学活动小结第八章二元一次方程组8.1 二元一次方程组8.2 消元——解二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组*8.4 三元一次方程组解法阅读与思考一次方程组的古今表示及解法数学活动小结第九章不等式与不等式组9.1 不等式9.1.1 不等式及其解集9.1.2 不等式的性质阅读与思考用求差法比较大小9.2一元一次不等式9.3 一元一次不等式组数学活动小结第十章数据的收集、整理与描述10.1 统计调查实验与探究瓶子中有多少粒豆子10.2 直方图信息技术应用利用计算机画统计图10.3 课题学习从数据谈节水数学活动小结八年级（上）第十一章三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边 11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性信息技术应用画图找规律11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角11.2.2 三角形的外角阅读与思考为什么要证明11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形11.3.2 多边形的内角和数学活动小结第十二章全等三角形12.1 全等三角形12.2 三角形全等的判定信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质数学活动小结第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质13.2 画轴对称图形信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形13.3.2 等边三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4 课题学习最短路径问题数学活动小结第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.1 同底数幂的乘法14.1.2 幂的乘方14.1.3 积的乘方14.1.4 整式的乘法14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式14.2.2 完全平方公式阅读与思考杨辉三角14.3 因式分解14.3.1 提公因式法14.3.2 公式法阅读与思考型式子的因式分解数学活动小结第十五章分式15.1 分式15.1.1 从分数到分式 15.1.2 分式的基本性质15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除15.2.2 分式的加减15.2.3 整数指数幂阅读与思考容器中的水能倒完吗15.3 分式方程数学活动小结八年级下第十六章二次根式16.1 二次根式16.2 二次根式的乘除16.3 二次根式的加减阅读与思考海伦-秦九韶公式数学活动小结第十七章勾股定理17.1 勾股定理阅读与思考勾股定理的证明17.2 勾股定理的逆定理阅读与思考费马大定理数学活动小结第十八章平行四边形18.1 平行四边形18.1.1 平行四边形的性质18.1.2 平行四边形的判定18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形18.2.2 菱形18.2.3 正方形实验与探究丰富多彩的正方形数学活动小结第十九章一次函数19.1 函数19.1.1 变量与函数19.1.2 函数的图象阅读与思考科学家如何测算岩石的年龄19.2 一次函数19.2.1 正比例函数19.2.2 一次函数 19.2.3一次函数与方程、不等式信息技术应用用计算机画函数图象19.3 课题学习选择方案数学活动小结第二十章数据的分析20.1 数据的集中趋势20.1.1 平均数20.1.2 中位数和众数20.2 数据的波动程度阅读与思考数据波动程度的几种度量20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结九年级上第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法21.2.2 公式法21.2.3 因式分解法*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系阅读与思考黄金分割数21.3 实际问题与一元二次方程数学活动小结第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质22.2 二次函数与一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质22.3实际问题与二次函数阅读与思考推测滑行距离与滑行时间的关系数学活动小结第二十三章旋转23.1 图形的旋转23.2 中心对称23.2.1 中心对称23.2.2 中心对称图形23.2.3 关于原点对称的点的坐标信息技术应用探索旋转的性质23.3 课题学习图案设计阅读与思考旋转对称数学活动小结第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆24.1.2 垂直于弦的直径24.1.3 弧、弦、圆心角24.1.4 圆周角24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系实验与探究圆和圆的位置关系24.3 正多边形和圆阅读与思考圆周率π24.4 弧长和扇形面积实验与探究设计跑道数学活动小结第二十五章概率初步25.1 随机事件与概率25.1.1 随机事件25.1.2 概率25.2 用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25.3 用频率估计概率实验与探究π的估计数学活动小结九年级下第二十六章反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质信息技术应用探索反比例函数的性质26.2实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结第二十七章相似27.1 图形的相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定27.2.2 相似三角形的性质27.2.3 相似三角形应用举例观察与猜想奇妙的分形图形27.3 位似信息技术应用探索位似的性质数学活动小结第二十八章锐角三角函数28.1 锐角三角函数阅读与思考一张古老的“三角函数表”28.2 解直角三角形及其应用阅读与思考山坡的高度数学活动小结第29章投影与视图29.1 投影29.2 三视图阅读与思考视图的产生与应用29.3 课题学习制作立体模型数学活动小结。
16.2.3分式-----整数指数幂
（a≠0,m、n是正整数,m＞n）
新 课 负整数指数幂
请分析
a
3
a ?
5
分
析
由分式的约分可知，当a≠0时
a3 a3 1 3 5 a a 5 3 2 2 a a a a
而a m a n a mn ,(a 0, m, n是正整数，m>n)
假设这个性质对于 a 3 a 5 的情形也是用，则有：
（2）科学计数法表示小于1的正数：
（a 是整数位只有一位的正数，n是正整数。）
练习
１、若(2x-1)0=1，求x的取值范围。
解： 2x-1≠0
(A)(2)3 2 3 8 (B )(2)
3
x≠
2、下列计算正确的是（ D
1 1 3 8 2 2 3 8 1 1 3 8 ( 2)
是
a
n
的倒数 的倒数
a (a 0) 是 a
n
n
对于 a m a n a m n (m, n为正整数) 扩大到 m，n是任意整数 的情况。
这条性质，能否
【例题】
a 3 a 5 1 a3 a 3 5 5 a 3 ( 5) a a
3 5
a a
a
3 ( 5)
1.用科学计数法表示下列各数： 0.000 000 001， 0.001 2， =1×10-9 =1.2×10-3 0.000 000 345 ， -0.000 63， =3.45×10-7 =-6.3×10-4 0.000 000 010 8 3780 000 -8 =1.08×10 =3.78×106
复习：正整数指数幂的运算性质
(1)同底数幂相乘：am·an = am+n（m、n是正整数） (2)幂的乘方：（am）n = amn（m、n是正整数） (3)积的乘方：（ab）n = anbn （n是正整数）
162分式的运算第5课时1623整数指数幂
练习
1、填空：
1
（1）32=_9__， 30=_1_， 3-2=__9__;
1 （2）(-3)2=__9_，(-3)0=_1_，(-3)-2=__9___；
1 （3）b2=_b_2_, b0=_1_, b-2=__b_2_(b≠0).
2(、(1(11)计()1)22算)20200;：0;;;
((((2222))))323232322;222;;;
1 1• a5
1 a5
a5
a0(5)
即a0 • a5 a0(5)
归纳 am·an=am+n 这条性质对于m,n是
任意整数的情形仍然适用.
类似于上面的观察，可以进一步用负 整数指数幂或0指数幂，对于前面提到的其他 正整数指数幂的运算性质进行试验，看这些 性质在整数指数幂范围内是否还适用。
事实上，随着指数的取值范围由正整数 推广到全体整数，前面提到的运算性质也推 广到整数指数幂。
(4) (2ab2c-3)-2÷(a-2b)3
=2-2a-2b-4c6÷ a-6b3
=2-2a4b-7c6
a4c6 4b7
。
下列等式是否正确？为什么？
（1）am÷an=am·a-n
(2)
a
n
anbn
b
解：两个等式都正确。
（1）因为am÷an=am-n=am+(-n)=am·a-n，
所以am÷an=am·a-n 。
用科学记数法表示这个数时，10的指
数是多少？如果有m个0呢？
9
m+1
即小于1的正数可以用科学记数法 表示为a×10-n的形式，其中a是整数数 位只要一位的正数，n是正整数。
这种形式更便于比较数的大小。 例如2.57×10-5显然大于2.57×10-8， 前者是后者的103倍。
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n
解：两个等式都正确。 （1）因为am÷an=am-n=am+(-n)=am·-n， a
所以am÷an=am·-n a
n n
。
1 a a n n n (2)因为 n a n a b ， b b b n a n n 所以 a b 。 b
科学记数法
1×10-9
-0.000 03
1.2×10-3 3.45×10-7
0.000 000 010 8
-3×10-5
2、计算：
6
1.08×10-8
3 6 2 4 3
(1)(2 10 ) (3.2 10 ) (2)(2 10 ) (10 )
今 日 作 业
课本P23习题16.2 第7题，第8题。
例如2.57×10-5显然大于2.57×10-8，
前者是后者的103倍。
对于一个小于1的正小数，如 果小数点后至第一个非0数字前有8个0,
Байду номын сангаас
用科学记数法表示这个数时，10的指
数是多少？如果有m个0呢？
9
m+1
例题
纳米是非常小的长度单位，1纳米=10-9 米。把1纳米的物体放在乒乓球上就如同把乒 乓球放在地球上。1立方毫米的空间可以放多 少个1立方纳米的物体？
解： 1毫米=10-3米，1纳米=10-9米
(10 ) (10 ) 10 10 10
3 3 9 3
9 27 9 ( 27 )
10
18
1立方毫米的空间可以放1018个1立 方纳米的物体。
练习
1、用科学记数法表示下列各数： 0.000 000 001 0.001 2 0.000 000 345
22 2 2
解： （1）20=1；
3 (2) 2
2
4 2 ； 9 3
3
2
1 3 (3)0.01 100 1000000； 100
3
1 1 (4)(3a ) 2 。 6 3a 27a
2 3
3
引入负整数指数和0指数后，运算性 质am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m＞n) 可以扩大到m,n是全体整数。 引入负整数指数和0指数后，运 算性质am·n=am+n(m,n是正整数)能否扩 a 大到m,n是任意整数的情形?
观察
a 1 2 3 ( 5 ) a a 5 2 a a a a 3 5 3 ( 5 ) 即a a a 1 1 1 3 5 8 3 ( 5 ) a a 3 5 8 a a a a a 3 5 3 ( 5 ) 即a a a 1 1 0 5 5 0 ( 5 ) a a 1 5 5 a a a a 0 5 0 ( 5 ) 即a a a
(3) ab a nb n (n是正整数)；
n
(4)a a a
m n
n n
m n
(a 0, m, n是正整数, m n)；
a a (5) n (n是正整数)； b b 0 (6)a 1(a 0)。
1 1纳 米 10 米 ， 即 纳 米 9 米 1 10
●
(3)x2y-3(x-1y)3
1 =x-1y0 ； x (4) (2ab2c-3)-2÷(a-2b)3
=2-2a-2b-4c6÷ a-6b3 =2-2a4b-7c6 4 6 ac 7。 4b
下列等式是否正确？为什么？
（1）am÷an=am·-n a
a n n (2) a b b
9
一般地，am中指数m可以是负整 数吗？如果可以，那么负整数指数幂am 表示什么？
a a a
m n
m n
(a 0, m, n是正整数m n) ,
3 3
a a ? 3 5 当m＜n时, a a ?
当m=n时,
a a a 3 1， a
3 3
3
a a a
人教版八年级（下册）
第十六章分式
16.2分式的运算（第5课时）
复习回顾
我们知道，当n是正整数时，
a a a a
n
n个
正整数指数幂还有哪些运 算性质呢？
(1)a a a (m, n是正整数)； m n mn (2) a a (m, n是正整数)；
m n
m n
练习
1、填空： 1 （1）32=___， 30=__， 3-2=____; 9 9 1
1 （2）(-3)2=___，(-3)0=__，(-3)-2=_____； 9 1 9 1 2 2 （3）b2=___, b0=__, b-2=____(b≠0). 1 b b
2、计算： 0
3 3 3 ; 0 ; (1)2 ; (2) (1)2 00;; (2) 3 ; ; ; (1)2 (2) 2 (1)2 (2) 2 2 2 3 3 ; 3 (3)0.01 3 (3)0.01 (3)0.01 ;;; (3)0.01 22 3 2 ) 33 a 0 0 (4)(3 ) (4)(3aa 2 ) 3a 0 a a (4)(3 a ) a 0 (4)(3
3 5 3
am· n=am+n 这条性质对于m,n是 a 任意整数的情形仍然适用.
类似于上面的观察，可以进一步用负 整数指数幂或0指数幂，对于前面提到的其他 正整数指数幂的运算性质进行试验，看这些 性质在整数指数幂范围内是否还适用。 事实上，随着指数的取值范围由正整数 推广到全体整数，前面提到的运算性质也推 广到整数指数幂。
归纳
例题
计算：
(1) (a-1b2)3； (2) a-2b2 (a2b-2)-3；
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(3)x2y-3(x-1y)3 (4) (2ab2c-3)-2÷(a-2b)3 6 b 解： (1) (a-1b2)3 =a-3b6 3 ； a 8 b -2b2 (a2b-2)-3 (2) a =a-8b8 8 ； a
我们已经知道，一些较大的数适 合用科学记数法表示。例如，光速约 为3×108米/秒，太阳半径约为 6.96×105千米。
有了负整数指数幂后，小于1的 正数也可以用科学记数法表示。例如， 0.001=10-3，0.000257=2.57×10-4.
即小于1的正数可以用科学记数法 表示为a×10-n的形式，其中a是整数数 位只要一位的正数，n是正整数。 这种形式更便于比较数的大小。
3 3
3
33
a。
0
3
a 1
0
a a 1 a a 5 3 2 2， a a a a
3 5
a a a
3 5
35
a 。
2
a
2
1 2 a
归纳
一般地，当n是正整数时，
n
a
1 n (a 0)。 a
这就是说，a-n(a≠0)是an的倒数。
am (m是正整数）； am = 1 （m=0）； 1 am（m是负整数）。