整数指数幂的运算法则

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1.3.3整数指数幂的运算法则

整数指数幂的运算法则
教学目标
1、知识与技能 : 通过探索把正整数指数幂的运算法则推广到整数指数幂的运算法则, 会用整数指数幂的运算法则熟练进行计算。 2.过程与方法:经历探索整数指数幂的运算法则的过程, 培养学生研讨问题的方法。 3、情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，
= 1 m-8n4 8
= n4 8m 8
课堂小结
引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的运算法则仍然成立。
作业
Ｐ２２ T６，T７
２若正确的话，你能不能运用所学知识加以说明呢？
（各小组的同学可合作与交流）
合作与探究
思考：指数的范围已经扩大到了全体整数后，幂的运算法则仍然成立吗？
运用新知（１）
例1、设a≠0，b≠0，计算下列各式：
（1）a7·a-3
（2）(a-3)-2
（3）a3b(a-1b)-2
练习与检测（１）
Ｐ２０１
运用新知(２)
例2、计算下列各式：
（1） 2 x 3 y -2 3 x -1 y
（2）
2a -3
b
（3）
x2
2xy x2 - y2
y2
-2

练习与检测（２）
ｐ２０２
拓展与延伸
计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式. (1)(2mn2)-3(mn-2)-5;（2）(2mn-2)-2÷ (m-2n-1)-3. 解: (1)原式= 2-3m-3n-6 ·m-5n10
（3）(a·b)n=an·bn （a，b≠0，m、n为正整数）
（4）am÷an=am-n （a≠0, m、n为正整数且m>n）

指数幂运算.3.3 整数指数幂的运算法则

②ห้องสมุดไป่ตู้
(ab)n=anbn(a≠0，b≠0，n是整数).
③
实际上，对于a≠0，m，n是整数，有
a m = a m · a -n = a m+(-n) = a m-n . bn
因此，同底数幂相除的运算法则被包含在公式①中.
am ·an=am+n(a≠0，m，n都是整数)
而对于a≠0， b≠0， n是整数，有

a b

n
=(a· b )
-1 n
= a · ( b ) =a
n
-1 n
n
·
b
-n
n a = n. b
因此，分式的乘方的运算法则被包含在公式③中.
(ab)n=anbn(a≠0，b≠0，n是整数) ③
典例解析
例1
设a≠0，b≠0，计算下列各式（1）a7 ·a-3；（2）(a-3)-2；
-1 4 5 x y ；（1） 4x2 y
3 5 y 答案： 3 . 4x
（2） y 4 3x

-2

-3
.
答案： 27 x12 y 6.
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
我们全都要从前辈和同辈学习到一些东西。就连最大的天才，如果想单凭他所特有的内在自我去对付一切，他也决不会有多大成就。 —— 歌德
2 x （2） y .
-3
3 y -2 2 x 解（1） 3 x -1 y
= 2 x 3-(-1)y -2-1 3
= 2 x 4 y -3 3

指数与指数幂的运算知识点总结

指数与指数幂的运算知识点总结本节知识点（1）整数指数幂; （2）根式; （3）分数指数幂; （4）有理数指数幂; （5）无理数指数幂. 知识点一整数指数幂1.正整数指数幂的定义:,其中N*.an na a a a 个⋅⋅=∈n 2.正整数指数幂的运算法则: （1）(N*);nm nmaa a +=⋅∈n m ,（2）（且N*）;nm nma a a -=÷,,0n m a >≠∈n m ,（3）(N*);()mn nma a=∈n m ,（4）(N*);()mmmb a ab =∈m （5）（N*）.m m mb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛,0≠b ∈m 3.两个规定（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1.即.()010≠=a a 零的零次幂没有意义.（2）任何不等于零的数的（为正整数）次幂,等于这个数的次幂的倒数.即:n -n n . ()01≠=-a a a nn 零的负整指数幂没有意义. 知识点二根式的概念及其性质 1.次方根n （1）定义一般地,如果（且N*）,那么叫做的次方根. a x n=1>n ∈n x a n （2）性质:①当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次n n n a n方根用表示;na ②当为偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数,表示为.负数没有偶n n na ±次方根;③0的任何次方根都是0,记作.00=n2.根式的定义形如（且N*）的式子叫做根式,其中叫做根指数,叫做被na 1>n ∈n n a 开方数.对根式的理解,要注意以下几点: na （1）且N*; 1>n ∈n （2）当为奇数时,R ; n ∈a （3）当为偶数时,≥0.n a 根式（且N*）的符号的确定:由的奇偶性和被开方数的符号共同确定. na 1>n ∈n n a （1）当为奇数时,的符号与的符号相同; n na a （2）当为偶数时,≥0,为非负数. n a na 3.根式的性质: （1）;()a a nn=（2）对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn与的联系与区别:()nna nn a （1）对于,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0.而对于,是一个恒有意义()nna n ∈a n a nn a 的式子,不受的奇偶性的限制,但式子的值受到的奇偶性的限制. n n （2）当为奇数时,.n ()=nna a a nn =知识点三分数指数幂1. 规定正数的正分数指数幂的意义是（,N*,且）nm nm a a =0>a ∈n m ,1>n 于是在条件,N*,且下,根式都可以写成分数指数幂的形式.0>a ∈n m ,1>n2. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,规定（,N*,且）nmnm nm aaa11==-0>a ∈n m ,1>n 3. 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 对分数指数幂的理解:（1）分数指数幂不能理解为个相乘,它是根式的一种新的写法; nm a nma （2）分数指数不能随意约分. nm如,事实上,,式子是有意义的;而在()()214233-≠-()()424233-=-()3321-=-实数范围内是没有意义的.（3）在保证相应的根式有意义的前提下,负数也存在分数指数幂.如上面提到的,但没有意义.()()424233-=-()()434355-=-所以对于分数指数幂,当≤0时,有时有意义,有时无意义.因此,在规定分数指数幂的nm a a 意义时,要求. 0>a 知识点四有理数指数幂规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂同样适用: （1）（Q ）;sr sra a a +=⋅,0>a s r ,∈（2）（Q ）;()rs sra a=,0>a s r ,∈（3）（Q ）.()rrrb a ab =0,0>>b a r ∈有理数指数幂的运算还有如下性质: （4）（Q ）;sr sraa a -=÷,0>a s r ,∈（5）（Q ）.r r rb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛0,0>>b a r ∈常用结论:（1）当时,; 0>a 0>ba （2）若则;,0≠a 10=a（3）若（,且）,则; sr a a =0>a 1≠a s r =（4）乘法公式适用于分数指数幂.如（）.b a b a b a b a -=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+221221212121210,0>>b a 知识点五无理数指数幂一般地,无理数指数幂（,是无理数）是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性αa 0>a α质同样适用于无理数指数幂.知识点六运用公式进行指数幂的运算（条件求值）常用公式:（1）平方差公式 .()()b a b a b a -+=-22（2）完全平方公式 .()()2222222,2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+（3）立方和公式 . ()()2233bab a b a b a +-+=+（4）立方差公式 .()()2233bab a b a b a ++-=-（5）完全立方和公式 .()3223333b ab b a a b a +++=+（6）完全立方差公式 .()3223333b ab b a a b a -+-=-常用公式变形:（1）,.()ab b a b a 2222-+=+()ab b a b a 2222+-=+（2）,.211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x 211222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+x x x x 或者写成,.()22122-+=+--x x xx ()22122+-=+--x x x x （3）;⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+b b a a b a b a b a 212121213213212323.⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b b a a b a b a b a 212121213213212323例题讲解例1. 已知,求的值.32121=+-x x 32222323++++--x x x x 分析:采用整体思想方法,对所求式子进行合理变形,然后把条件整体代入求值.本题用到的公式和结论有:;()22122-+=+--x x x x . ()()1112121121213213212323-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+------x x x x x x x x x x xx 解:∵32121=+-xx ∴,∴. 92122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x 71=+-x x ∴.()4727222122=-=-+=+--x x x x ()()181731121213213212323=-⨯=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+----x x x x x x xx ∴.52502034721832222323==++=++++--x x x x 例2. 已知,求下列各式的值:22121=+-a a （1）; （2）; （3）.1-+a a 22-+a a 22--a a 分析:在求的值时,直接入手比较困难,我们可以先求出的值,然22--a a ()222--a a 后在进行开平方运算. 解:（1）∵22121=+-aa ∴,∴; 42122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 21=+-a a （2）;()222222122=-=-+=+--a a a a （3）∵()()04242222222=-=-+=---a a a a ∴. 022=--a a例3. 已知,其中,求的值.41=+-x x 10<<x xx x x 122+--分析:要学会根式与分数指数幂的相互转化,在转化时要注意:根指数是分数指数的分母,被开方数（或式）的指数是分数指数的分子.解:∵41=+-x x ∴,∴,∴. 4222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 62121=+-x x()1424222122=-=-+=+--x x x x ∴()()19241442222222=-=-+=---x x x x ∵,∴,∴.10<<x 22-<x x 3819222-=-=--x x ∴. 24638121212222-=-=+-=+----x x x x x x x x 例4. （1）已知,求的值;42121=+-aa 21212323----aa a a （2）已知,且,求的值;9,12==+xy y x y x <21212121yx y x +-解:（1）∵42121=+-aa ∴,∴. 212212142=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 142161=-=+-a a ∴; ()15114111212112121212132132121212323=+=++=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------a a a a a a a a a a a a aa a a （2）∵9,12==+xy y x ∴ ()()3192129212222221212212122121221212121=+-=++-+=++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-xy y x xy y x xy y x xy y x y x y x y x y x∵,∴,∴y x <2121y x <021212121<+-yx y x ∴. 333121212121-=-=+-yx y x 例5. 已知,求的值.3232+=a 31311--++aa a a 分析:借助于分式的性质. 解:∵ 3232+=a ∴,.3232113232-=+==-a a()34732223234+=+=⎪⎭⎫⎝⎛=a a ∴()132323431313113131311++=⎪⎭⎫⎝⎛++=++-----a aa a a a a a a aa aa .()3333333333913232347=++=++=++-++=解法二:∵3232+=a ∴113232313132323131313133133131311-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++--------a a a a a a a a a a a a aa a a .313232132132113232=--++=-+++=-+=aa 例6. （1）当时,求的值;22,22-=+=y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----323132343132y y x x y x （2）若,求的值. 122-=xaxx xx aa a a --++33分析: 结论对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全C B A ±C B A 22-C B A ±平方数. 本题中,,被开方数不是完全平方数,所以不能化简,当确有22+=x 22+x.()222222+=+=x 解:（1）∵22,22-=+=y x ∴12331332323132343132------=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x y x y y x x y x ; ()22122222221222+=+-+=--+=（2）∵122-=x a ∴ ()()()()1122223333-+=++-+=++=++--------xx xx x x x x x x x x x x x x a a aa a a a a a a a a a a a a . 1121121122--+-=-+=xx a a 12211212-=-++-=另解:解例5的解法一.题型一整数指数幂的运算例7. 已知（为常数,且Z ）,求的值.a x x =+-22a ∈x x x -+88分析:因为,所以先由条()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+件求出的值.a x x =+-22x x 2222-+完全立方和公式 .()3223333b ab b a a b a +++=+解法一:∵a x x =+-22∴()2222222222-=-+=+--a x x x x ∴()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+.()()a a a a a a 3312322-=-=--=解法二:（完全立方和公式） ∵a x x =+-22∴,展开得:.()3322a x x =+-()()()()3322322232232a x x x x x x =+⨯⨯+⨯⨯+---整理得:,∴. ()382238a x x x x =+++--3838a a x x =++-∴.a a x x 3883-=+-例8. 已知,则_________. 3101=+-x x =--22x x 解:∵ 3101=+-x x ∴ ()9822310222122=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=+--x x xx ∴ ()()816400498242222222=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=---x x x x ∴. 98081640022±=±=--x x 解法二分析:使用平方差公式得. ()()1122----+=-x x x x x x 解法二:∵ 3101=+-x x ∴ ()()9644310422121=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=---x x xx ∴. 389641±=±=--x x ∴. ()()980383101122±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⨯=-+=----x x x x x x 例9. 若,求的值. 31=+-x x 2323-+x x 解:∵（这里）31=+-x x 0>x ∴,∴. 3222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 522121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ∵,∴.02121>+-x x 52121=+-xx ∴ ()1212132132123231----+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x x x x x x xx . ()52135=-⨯=解法二:∵31=+-x x ∴()723222122=-=-+=+--x x x x∴ ()()()202173122213322323=+-⨯=+-+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+----x x x x x x x x ∴.52202323==+-xx 例10. 已知,则【】41=+-x x =+-2121x x （A ）2 （B ）2或 2-（C ）（D ）或666-分析:题目的隐含条件为. 0>x 解:∵41=+-x x ∴,∴ 42221211=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--x x x x 622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ∵02121>+-x x ∴.选择【 C 】.62121=+-x x例11. 已知,则【】212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f ()=+1x f （A ）（B ）42-x ()21+x （C ）（D ）()()2111-+++-x x 322-+x x 解:（换元法）设,则有t xx =+-2121∴222221211-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--t x x x x ∴,∴. ()2222t t t f =+-=()2x x f =∴.选择【 B 】.()()211+=+x x f 解法二（凑整法）:∵212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f ∴,∴.2212122121212122⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---x x x x x x f ()2x x f =∴.()()211+=+x x f题型二根式的化简在进行根式的化简时,主要用到的是根式的性质: （1）;()a a nn=（2）对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn注意对于,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0.而对于,是一个恒有意()nna n ∈a n a nn a 义的式子,不受的奇偶性的限制,但式子的值受到的奇偶性的限制.n n 例12. 化简下列各式: （1）;()()222535-+-（2）（≥1）.()()2231x x -+-x 解:（1）原式;125532535=-+-=-+-=（2）.()()x x x x -+-=-+-313122∵≥1x ∴当1≤≤3时,原式; x 231=-+-=x x 当时,原式. 3>x 4231-=-+-=x x x 例13. 化简: （1）; （2）（≤）.()nnx π-62144+-a a a 21分析:对于（1）,要对的奇偶性进行分类讨论. n 解:（1）当为奇数时,;n ()ππ-=-x x nn 当为偶数时,; n ()()()⎩⎨⎧<-≥-=-=-ππππππx x x x x x nn（2）.()()()33162626221212112144a a a a a a -=-=-=-=+-注意:当底数为正数时,其分数指数可以约分.例14. 求下列各式的值: （1）;223223-++（2）.347246625-+--+分析: 结论对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全C B A ±C B A 22-C B A ±平方数.根据此结论,可知,,均可以化为完全平方的形式. 625+246-347-解:（1）原式;()()221212*********2=-++=-++=-++=（2）原式()()()222322232-+--+=.22322232322232=-++-+=-+--+=总结形如（）的双重二次根式的化简,一般是将其化为n m 2±0,0>>n m 的形式,然后再化简.由得:()2ba ±()ab b a ba n m 222±+=±=± ⎩⎨⎧==+nab mb a 所以是一元二次方程的两个实数根.b a ,02=+-n mx x 例15. 化简. 32-解:. ()()226213213222132324322-=-=-=-=-=-例16. 计算:.()()4123323-+-解:原式.()[]()58323233443=+-=-+-=-+-=注意在利用根式的性质进行的化简时,一定要注意当为偶数时,底数的符号.nna n a 例17. 化简下列各式: （1）（）;()()665544b a b a a -+++0<<b a （2）（）. 1212----+x x x x 21<<x 解:（1）∵0<<b a ∴原式; ()a b a b b a a b a b a a -=-+++-=-+++=2（2）∵,∴ 21<<x 110<-<x ∴原式()()1111111122---+-=---+-=x x x x. ()1211111111-=-+-+-=---+-=x x x x x 例18. 求值_________. =-++335252解:令,则有y x =-=+3352,52,.4525233=-++=+y x 1-=xy ∴,∴()()422=+-+y xy x y x ()()[]432=-++xy y x y x 设,则,有t y x =+0>t ,∴,()432=+t t 0433=-+t t 01333=--+t t ∴()()0412=++-t t t ∵,∴,∴. 042>++t t 01=-t 1=t ∴. 1525233=-++解法二:设,则有=x 335252-++,∴()x x 3452523333-=-++=0432=-+x x∴, ()()03313=-+-x x ()()0412=++-x x x ∵,∴,∴ 042>++x x 01=-x 1=x ∴. 1525233=-++例19. 根据已知条件求值: （1）已知,求的值;32,21==y x yx y x yx y x +---+（2）已知是方程的两根,且,求的值.b a ,0462=+-x x 0>>b a ba b a +-解:（1）∵ 32,21==y x ∴原式()()()()()()yx yx yx yx yx yx -+--+-+=22yx xyy x y x xy y x --+--++=22; 383221322144-=-⨯⨯=-=yx xy（2）∵是方程的两根 b a ,0462=+-x x ∴4,6==+ab b a ∴()()204464222=⨯-=-+=-ab b a b a ∵,∴ 0>>b a 0>-b a ∴. 5220==-b a ∴. ()()()55515242622==-=--+=-+-=+-b a ab b a ba ba ba ba b a （2）解法二:∵是方程的两根,∴b a ,0462=+-x x 4,6==+ab b a ∴. ()()5110242642622222==+-=++-+=+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-abb a ab b a b a b a b a b a ∵,∴,∴0>>b a b a >0>+-ba b a ∴. 5551==+-ba b a 例20. 已知,N*,求的值.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-nn x 115521∈n ()n x x 21++解:∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n nx 115521∴.n n n n n n x 222221125215525411552111---++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+2115541⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-n n∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-n nx 11255211∴.()55552155211111112=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++--nn n nn n n nx x例21. 已知函数,.()53131--=x x x f ()53131-+=x x x g （1）证明:在上是增函数（已知在R 上是增函数）;()x f ()+∞,031x y =（2）分别计算和的值,由此概括出函数和()()()2254g f f -()()()3359g f f -()x f 对所有不等于0的实数都成立的一个等式,并加以证明.()x g x （1）证明:任取,且()+∞∈,0,21x x 21x x <∴ ()()55531131231231131231231131121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=-----x x x x x x x x x f x f ∵,且,在R 上是增函数 ()+∞∈,0,21x x 21x x <31x y =∴312311312311,--><x x x x ∴,∴ ()()021<-x f x f ()()21x f x f <∴在上是增函数; ()x f ()+∞,0（2）解:()()()2254g f f -.0522522552222554432323232313131313131=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----同样求得. ()()()03359=-g f f 猜想:. ()()()052=-x g x f x f 证明:()()()x g x f x f 52-.055555532323232313131313232=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----x x x x x x x x xx 例22. 当,且时,求的值.0,0>>y x ()()y x y y x x 53+⋅=+yxy x y xy x -+++32解:∵,且0,0>>y x ()()y x y y x x53+⋅=+∴, y xy xy x 153+=+0152=--y xy x ∴()()053=-+y x yx ∴,. 05=-y x y x y x 25,5==∴.22958525355032==-+++=-+++yyy y y y y y yxy x y xy x 题型三根式与分数指数幂的互化在进行根式与分数指数幂的互化时要注意两个对应: （1）根指数对应分数指数的分母;（2）被开方数（或式）的指数对应分数指数的分子. 当出现多重根号时,应从里向外化简.例23. 用根式或分数指数幂表示下列各式:,,,;.51a ()043>a a 36a ()013>a a()0>a a a 解:;551a a =;()43430a a a =>;23636a a a ==;()23233101-==>a aa a.()4323210a a a a a a a ==⋅=>例24. 将根式化为分数指数幂是【】 53-a （A ）（B ）（C ）（D ）53-a 53a 53a -35a -解:选择【 A 】. 例25. 化简:_________.（用分数指数幂表示）()()=⋅÷⋅109532a a a a 解:由题意可知:.0>a ∴原式.561012101451310921532a a a a a a a a ==÷=⎪⎭⎫⎝⎛⋅÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=例26. 设,化简:.0>a 434334aa a a -解:∵0>a ∴.611616653163254343234434334---===⋅⋅=aaa aa a a aa aa aa例27. 下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是【】（A ）（B ）()()0414>-=-x x x )0551≠-=-x x x（C ）（D ）()0,4343≠⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x y y x 4182y y =解:（A ）,故（A ）错;()0414>-=-x x x （B ）,故（B ）错; ()0155151≠==--x xx x（D ）,故（D ）错. 选择【 C 】. 4182y y =例28. 下列各式正确的是【】（A ）;（B ）35531aa=-2332x x =（C ）（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=814121814121aaa a x x x x 412212323131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---解:（A ）,故（A ）错;53535311aaa ==-（B ）,故（B ）错; 3232x x =（C ）,故（C ）错. 选择【 D 】.85814121814121a aaa a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-题型四根式和分数指数幂有意义的条件1.对于次根式,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0. n na n ∈a n a 2.0的0次幂和负实数幂都没有意义.例29. 若有意义,则的取值范围是__________.()4321--x x解:∵()()()43434321121121x x x -=-=--∴,解之得:. 021>-x 21<x 即的取值范围是.x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,例30. 函数的定义域是【】()()2125--+-=x x y （A ）（B ）{}2,5≠≠x x x {}2>x x （C ）（D ）{}5>x x {}552><<x x x 或解:∵()()()()()215215250210210-+-=-+-=-+-=-x x x x x x y ∴,解之得:且.⎩⎨⎧>-≠-0205x x 2>x 5≠x ∴该函数的定义域为.选择【 D 】.()()+∞,55,2 题型五幂的运算目前,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,整数指数幂的运算性质适用于实数指数幂的运算.运算的结果可以化成根式形式或者保留分数指数幂的形式,但不能既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数幂.（1）（R ）; s r s r a a a +=⋅∈>s r a ,,0（2）（R ）;()rs sr a a =∈>s r a ,,0（3）（R ）.()r r rb a ab =∈>>r b a ,0,0例31. 计算下列各式（式中的字母均为正数）: （1）;()()()c b a b a b a 24132124-----÷-⋅（2）. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----------212121211122b a b a b a b a 解:（1）原式;()ca ac cb a b a 33112412423-=-=÷-=-----（2）原式 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=--------21212121112121b a b a b a b a ()()()bb b a b a b a ba b a b a221111111111111==+-+=----+=-------------例32. 化简下列各式: （1）;212121211111aaa a a++------（2）.111113131313132---+++++-x xx x x x x x 解:（1）原式; ()()011112121212121211=-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=-----a a a a a a a a a （2）原式 11111131323131333131323331-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x x x x 31323132313131313131313231313231323111111111111xx x x x x x x x x x x x x x x x x --+-+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.31x -=例33. 化简:. ()()()()()1421443333211--------++-++-+aa a a a a a a a a a a解:原式 ()()()()()()1221442212212111---------+-+-++++-+-+=a a a a a a a a a a a a a aa a ()[]()[]()()1214412222111--------++++++-+=aa a a a a a a a a a a()()aa a a a aa a a a a a a 21111144144=-++=-++++++=------例34. 化简下列各式:（1）;（2）.436532yx xy⋅1111212331++-+++a a a a a 解:（1）原式;1212143653231--==yx yx y x （2）原式 111111111121212131313231213321313331++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a a a a a a a a a21313221313211aa a a a a +-=-++-=例35. 【】 ()=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--21212001.04122532（A ）（B ）（C ）（D ）0151630173658-解:. ()21212001.04122532-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--1516101324111001491411=-⨯+=-⨯+=选择【 A 】.例36. 化简:_________.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅⋅----321132132a b b a bab a 解:原式.656161673223236167322121131212132--------=÷=⎪⎭⎫⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=b a ab b a b a b a b a ba b a b a 例37._________. =⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛---442102324953121解:原式. 22322322232491112=-++=-++-+=例38. 已知,则的值是_________. 3,2==n m 32432332⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅----m n nm m n n m 解:∵3,2==n m ∴原式 32325343322534312322332⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=--------mn n m n m n m n m mn n m n m . 27232333131=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛=---mn n m 例39. 已知函数,则_________.()()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=1,351,312x x x x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321353f f 解: ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛---4343213533353f f f f . 33939335353331243=+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯=-题型六解含幂的方程例40. 解下列方程:（1）;（2）.2291381+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯x x0123222=-⨯++x x 解:（1）,()2224333+-=⨯x x 424233--+=x x ∴,解之得:;4242--=+x x 2-=x （2）,设,则()0123242=-⨯+⨯x x t x =20>t ∴, 01342=-+t t ()()0114=+-t t 解之得:（舍去）. 1,241221-===-t t ∴,∴.222-=x 2-=x 结论若（,且）,则sra a =0>a 1≠a s r =题型七指数幂等式的证明设参数法例41. 设都是正数,且,求证:. c b a ,,c b a 643==ba c 122+=证明:设,则有. t cba===643cbat t t 12116,2,3===∵ 236⨯=∴,∴ba bacttt t 2112111+=⋅=ba c 2111+=等式两边同时乘以2得:. b a c 122+=例42. 设,且,则_________.m b a ==52211=+ba =m 分析:这是指数幂的连等式,参数已经给出. 解:∵,∴. m ba==52bam m 115,2==∵211=+ba ∴,∴,.2111152m m m m ba ba==⋅=⨯102=m 10±=m ∵,∴. 0>m 10=m 例43. 已知,且. 333cz by ax ==1111=++zy x 求证:.()31313131222c b a czby ax ++=++证明:设,则. t cz by ax ===333zt cz y t by x t ax ===222,,∴.⎪⎭⎫⎝⎛++=++z y x t cz by ax 111222∵,∴ 1111=++z y x t z y x t =⎪⎭⎫⎝⎛++111∴,t cz by ax =++222()3131222t czby ax =++∵3131313313313313131111t z y x t z t y t x t c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++∴.()31313131222c b a czby ax ++=++例44. 对于正整数（≤≤）和非零实数,若c b a ,,a b c ω,,,z y x ,ω70===z y x c b a ,求的值. zy x 1111++=ωc b a ,,解:设,则有.k c b a zyx====ω70ω111170,,,k k c k b k a zyx====∴zy x k abc 111=∵,∴. zy x 1111++=ω70=abc ∵为正整数,且≤≤ c b a ,,a b c ∴ 752107170⨯⨯=⨯⨯==abc ∴或10,7,1===c b a 7,5,2===c b a 当时,,不符合题意,舍去. 10,7,1===c b a 0===ωz y ∴.7,5,2===c b a 本节易错题例45. 计算_________.()()=-++44332121分析对于对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn解:原式.2212212121=-++=-++=例46. 化简_________. ()()=-⋅-43111a a 分析:题目的隐含条件为. 1>a 解:原式.()()()()()()()414343431111111--=-⋅--=-⋅-=-⋅-=---a a a a a a a 例47. 已知,N*,化简.1,0><<n b a ∈n ()()nn nnb a b a ++-解:当为奇数时,原式; n a b a b a 2=++-=当为偶数时,原式.n b a b a ++-=∵,∴原式. 0<<b a a b a a b 2-=---=其它例48. 已知函数,则_________. ()⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛>=0,210,21x x x x f x ()=-)4(f f 解:∵ ()1621121444=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=--f ∴.()()4161616)4(21====-f f f 例49. 已知集合,,且,则_______.{}4,,2a a A -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=b a aa B 2,,33B A ==+b a 解:{}{}4,,4,,2a a a a A -=-=根据集合元素的互异性,,∴a a -≠0>a ∴{}b b a a aa B 2,1,2,,33-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∴,解之得:.⎩⎨⎧==421b a ⎩⎨⎧==21b a ∴ 3.=+b a 例50. 设,若,则()244+=x xx f 10<<x _________. =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f 解:∵()244+=x x x f ∴()()=+++=+++=+++=-+--2422444444244244244111x x x x x x x x x x x x f x f 12424=++x x ∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f.500111100150110015001001100010011=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= f f f f。

1.3 整数指数幂

(2)3 1 1 (2)3 8
5、用小数表示下列各数： ①10- 4； ② 1.6×10－3； ③2.1×10-5； ④－3.2×10－ 6、计算：
（1）a2×a-3；（2）(a×b)-3；（3）(a-3)2。
7、计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式：
（1）(a-3)2(ab2)-3；（2）(2mn2)-2(m-2n-
=(
1 a
)n(a≠0,n为正整数)
特别地，a-1 =
1 a
(a≠0)
例如：33÷35=3-2=312
=
1
9
a4÷a6=a-2
1
=a2
例1 计算：
2-3
10-2 (-2)-4
-2-4
( 21 ) -3
(
2 3
)-2
58÷58
(
1 3
)
0×10-1
(a-1)2÷(a-1)2(a≠1)
例2 把下列各式写成分式：
2
0
=
1
，
3
100=1， x0=1(x≠0)
动脑筋设a≠0，n是正整数，试问：a-n等于什么？
分析
如果想把公式
am an =
am-n
推广到m＜n的情
形，那么就会有
a-n=
a0-n=
a0 an
=
1 an
这启发我们规定
n
a-n =
1 an
(a≠0,n为正整数)
由于
1 an
1 = a
因此
a-n
2.已知3m=2, 9n=10, 求33m-2n 的值
解： 33m-2n =33m÷32n=(3m)3÷(32)n=(3m)3÷9n =23÷10=8÷10=0.8

指数的运算与指数函数

指数的运算与指数函数4.1指数的运算【知识梳理】1. 整数指数幂1）定义：我们把n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。

在上述定义中，n 为整数时，这样的幂叫做整数指数幂。

2）整数指数幂的运算法则：（1）n m a a = （2）=n m a )(（3）=n maa （4）=m ab )(3)此外，我们作如下规定：零次幂：)0(10≠=a a ；负整数指数幂：),0(1+-∈≠=N n a a a nn； 2. 根式：1）n 次方根：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *。

注：①当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a -，n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数；负数的n 次方根是一个负数，都表示为na ；③0的任何次方根都是0，记作00=n。

2）正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算数根。

当na 有意义时，n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．注：当n 是奇数时，a a nn =；当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn ；3. 有理指数幂1）我们进行如下规定： n na a=1 （0>a ）那么，我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。

此外，下面定义也成立： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。

3)有理指数幂的运算性质：（1）r a ·sr r aa +=),,0(Q s r a ∈>；（2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 题型一根式与幂的化简与求值【例1】.求下列各式的值：（1）223223-++ （2）347246625-+--+【例2】.计算下列各式的值：（1）()[]75.0343031162)87(064.0---+-+-- （2）()()()012132232510002.0833-+--+⎪⎭⎫⎝⎛----【例3】.化简下列各式：（1）()0,0332>>b a b a ab ba （2）212121211111a a a a a ++------【过关练习】1.求值：（1）335252-++ （2）3332332313421248a a b a ab b ba a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-2.化简：（1）111113131313132---+++++-x xx x x x x x（2）()()14214214433332)1()1(1))((----------++-++-++-+a a a a a a a a a a a a a a a a3.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是_____.())0()4)(0()1()3();0()2();0()1(434334316221>=>=<=>-=--a a a a x xxy y y x x x题型二含附加条件的求值问题【例1】（1）若3193=⋅ba，则下列等式正确的是（） A. 1-=+b a B. 1=+b a C. 12-=+b a D.12=+b a（2）若,123-=++x x x 则2827211227281x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++----的值是_____.【例2】（1）已知,32,21==y x 求yx y x y x y x +---+的值；（2）已知b a ,是方程0462=+-x x 的两个根，且0>>b a ，求ba ba +-的值.【过关练习】 1.已知.88(22的值常数），求x x xxa --+=+2.已知32121=+-a a ，求21212323----aa a a 的值.3. 已知122+=xa ，求xx xx aa a a --++33的值题型三解含幂的方程与等式的证明【例1】解下列方程（1）x x )41(212=+ （2）03241=-++x x【例2】已知433cz by ax ==，且1111=++zy x ，求证31313131222)(c b a cz by ax ++=++【过关练习】 1. 解下列方程（1）2291381+⎪⎭⎫⎝⎛=⨯x x （2）0123222=-⨯++x x2.设c b a ,,都是正数，且cb a 643==，求证ba c 122+=.4.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数函数函数 )1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数. 2. 指数函数的性质（1）定义域 :实数集合R ；（2）值域：0>y ;（3）奇偶性：指数函数是非奇非偶函数（4）单调性：1>a 时，函数 )1,0(≠>=a a a y x在),(+∞-∞上为增函数；10<<a 时，函数)1,0(≠>=a a a y x 在),(+∞-∞上为减函数；（5）函数值：0=x 时，1=y ,图象恒过点（0，1）；（6）当0,1>>x a 时1>y ；0,1<>x a 时，10<<y .当10<<a ,0>x 时，10<<y ;0,10<<<x a 时，1>y .题型一指数函数的概念例1 .已知指数函数)3)(2(--+=a a a y x的图像经过点（2,4），求a 的值.【过关练习】.若指数函数)(x f 的图像经过点（2,9），求)(x f 的解析式及)1(-f 的值.题型二指数型复合函数的定义域和值域【例1】.求下列函数的定义域和值域（1） xy 31-= （2）412-=x y（3）xy -=)32( （4）32221--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y【例2】.求函数[]2,2,221341-∈+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xx 的值域.【例3】.如果函数[]1,1-)1,0(122在且≠>-+=a a a a y x x上有最大值14，试求a 的值.【过关练习】1.求函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的定义域和值域.2.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+R x y y A x,)21(12,则满足B B A =⋂的集合B 可以是（）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,0 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x C.{}11≤≤-x x D.{}0>x x 3.函数22212+-=+x xy 的定义域为M ，值域[]2,1P ，则下列结论一定正确的个数是（）。

整数指数幂的运算法则

整数指数幂的运算法则
一、整数指数幂的运算法则
1、乘方：乘方运算结果就是把基数（底数）连乘指数（指数）次的结果。

2、幂的乘法：当两个数的指数相同时，可以将它们相乘，结果只是把这两个数的底数相乘，而指数不变。

3、幂的除法：
当两个数的底数相同时，可以将它们相除，结果只是把这两个数的指数相减，而底数不变。

例如25^3/25^2=25.
4、幂的乘方：
当一个数的指数是另一个数的基数时，可以将它们相乘，结果只是把这两个数的基数相乘，而指数相加。

5、根号的指数：
当一个数的指数是另一个数的底数时，可以将它们进行操作，结果只是把这两个数的底数相加，而指数相减。

二、应用实例：
1、计算8^2×8^2
答案：8^2×8^2=8^4
2、计算(5^3)^2
答案：(5^3)^2 = 5^6
3、计算（64^2）÷64
答案：（64^2）÷64 = 64 4、计算（7^2）×7
答案：（7^2）×7 = 7^3 5、计算（49^1/2）×49
答案：（49^1/2）×49 = 49。

幂的运算法则公式

幂的运算法则公式
幂运算法则公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m×a n=a（m+n）；同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m÷a n=a（m-n）。

（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

a m×a n=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（2）同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

a m÷a n=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（3）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(a m)n=a(mn)，(m,n都为正整数)
（4）积的乘方：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

(ab)n=a n b n，（n为正整数）
（5）分式的乘方：把分式的分子、分母分别乘方即为乘方结果
(a/b)n=(a n)/(b n)，（n为正整数）
（6）零指数：
a0=1 (a≠0)
（7）负整数指数幂
a-p=1/a p(a≠0, p是正整数）
（8）负实数指数幂
a(-p)=1/(a)p或（1/a）p(a≠0，p为正实数）（9）正整数指数幂
①a m a n=a m+n
②（a m）n=a mn
③a m/a n=a m-n(m大于n,a≠0)
④(ab)n=a n b n。

整数指数幂运算法则

整数指数幂运算法则Exponential operations involving integers are a fundamental concept in mathematics that allows us to raise a number to a certain power. This operation is commonly used in various mathematical problems, such as calculating compound interest, determining growth rates, and solving equations. Understanding the rules of integer exponentiation is crucial for mastering advanced mathematical concepts and problem-solving techniques.整数指数幂运算是数学中的一个基本概念，它允许我们将一个数提升到某个幂。

这种运算常用于各种数学问题中，如计算复利、确定增长率和解方程。

了解整数指数幂的规则对于掌握高级数学概念和解决问题的方法至关重要。

One of the fundamental rules of integer exponentiation is the product rule, which states that when two numbers with the same base are multiplied, their exponents are added together. This rule simplifies the process of multiplying numbers with exponents and allows for easier computation of complex expressions. By applying the product rule, we can break down complex exponentiationproblems into simpler components, making them more manageable and easier to solve.整数指数幂的基本规则之一是乘法法则，它规定当两个具有相同底数的数相乘时，它们的指数相加。

整数指数幂的运算法则.3.3 整数指数幂的运算法则

（am )n amn 幂的乘方：底数不变，指数相乘
（特别要注意这两个公式的不同，极容易混淆！）
（ab)n anbn 积的乘方：分别乘方再相乘
精讲：
例1 设a≠0，b≠0，计算下列各式：
（1）a7 ·a-3；（2）(a-3)-2；（3）a3b(a-1b)-2.
解（1） a7·a-3 = a7+(-3) = a4.
（2）(a-3)-2 = a(-3)×(-2) = a6 .
（3） a3b(a-1b)-2
= a3b·a2b-2
= a3+2b1+(-2) = a5b-1
=
a5 b
注意：最后结果一般不保留负指数应写成分式形式.
例2 计算下列各式：
（1）23xx3-y1-y2 ；
（2）
2x y
-3.

解
（1）
2x3 y-2 3x-1 y
=
2 3Leabharlann x3-(-1)y-2-1
=
2 3
x4
y
-3
=
2x4 3y3
（2）
-3
2x

y

y 3
=
2x

= y3
(2x)3
= y3
8x3
学生展示：
1.设a≠0，b≠0，计算下列各式：
（1） a a3 ;
（2） (a)3 (a1)2;
整数指数幂课本节内容13133整数指数幂的运算法则说一说正整数指数幂的运算法则有哪些
整数指数幂的运算
新市镇中学易爱武 2017年5月
自学----自主学习课文内容
正整数指数幂有以下运算性质:

整数指数幂的运算法则

探究点二逆用幂的运算法则求值例3：已知a-m =3，bn=2，则(a-mb-2n)-2=_____．
方法总结：把要求的代数式逆用幂的运算法则，用已知的式子来表示是解题的关键。
探究点三运用法则巧妙转化进行化简或计算
方法总结：利用负整数指数幂，把底数是互为相反数的可以转化为相同，再根据幂的运算法则进行计算.
二、合作探究
探究点一：直接运用幂的运算法则进行运算【类型一】乘积形式的整数指数幂的运算
方法总结：整数指数幂的运算要注意运算顺序：先算乘方，再算乘除.最后结果要化为正整数指数.
【类型二】商形式的整数指数幂的运算例2：计算：
方法总结：商形式的整数指数幂的运算有两种方法：一是先把正整数指数转化为负整数指数，再约分化简；二是先计算整数指数幂，最后再把负整数指数幂化为正整数指数幂。
1.3 整数指数幂 1.3.3 整数指数幂的
运算法则
学习目标
1 理解整数指数幂的运算法则； 2. 会用整数指数幂的运算法则进行计算.（重点、难点）
一、情境导入
1.请同学们回顾，我们学可以把幂的指数从正整数推广到整数.这时我们怎样理解这些运算法则呢？

【精品】整数指数幂的运算法则

1.3整数指数幂1.3.3 整数指数幂的运算法则【学习目标】1、熟练掌握整数指数幂的运算法则2、会根据幂的运算法则正确地对整数指数幂进行运算，并能将其结果用正整数幂来表示【重点难点】熟练地运用幂的运算法则进行逆反运算【自主探究】1.正整数指数幂的运算法则有哪些？这些法则对于整数指数幂也成立吗？运用这些运算法则时，要注意什么？2.当a 、b 都不等于0时，下列运算律成立：(1)同底数幂的乘、除法a m ·a n＝_____（m ，n 都是整数）；a m ÷a n ＝_____（m ，n 都是整数）；(2)幂的乘方(a m )n ＝_____（m ，n 都是整数）；(3)积的乘方(ab )n ＝_____（n 是整数）；(4)分式的乘方 n a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____（n 是整数）． 3.上述的逆运算也正确吗？【基础演练】1.下列各式正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.设a ≠0,b ≠0,计算下列各式：3.计算()231x y x y --的结果为__________4.计算下列各式：()()23222122221,23x y x xy y x y x y ---⎛⎫++ ⎪-⎝⎭5.当x =14,y =8时，求式子2522x y x y ----⋅的值。

与小组成员交流分享你的学习成果，讨论解答疑难，展示点评，归纳精要。

【综合提升】先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：6.计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：(1)(x-3yz-2)2；(2)(a3b-1)-2(a-2b2)2；(3)(2m2n-3)3(-mn-2)-2．。

湘教版八年级数学上册课件-整数指数幂的运算法则

是aa正mn 整a数m-n，(且a≠m0＞，nm)，；n都

a
n

)b.

an(b≠0，n是正整数
bn
思考:之前我们已经学习了零指数幂和负指数幂的运算，那么 am·an=am+n(m，n都是正整数)这条性质能否扩大到m，n都是任意整数的情形?
讲授新课
一整数指数幂的运算
计算：(1)a3·a-5；（2）a-3·a-5；（3）a0·a-5.
解：（10×8×3）×（3×106）÷（2×105） =（720×106）÷（2×105） =360×10=3.6×103（毫升）.
当堂练习
1. 设a≠0，b≠0，计算下列各式：
（1）a a3 ___a_4___;
（2）a3 a1 2 ___a_____;
（3）(a)2
优质课件
八年级数学上（XJ）教学课件
第1章分式
1.3 整数指数幂
1.3.3 整数指数幂的运算法则
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解整数指数幂的运算法则；（重点） 2.会用整数指数幂的运算法则进行计算. （重点、难点）
导入新课
回顾与思考
问题正整数指数幂的运算法则有哪些？
am·an=am+n(m，n都是正整数) ； (am)n=amn(m，n都是正整数)； (ab)n=anbn(n是正整数).
解：1
原式=
a3 a5

1 a2
a2
a35 ,即a3
a 5
a35;
2
原式=
1 a3
1 a5

1 a8

a 8

乘方的法则

乘方的法则
乘方的运算法则有同底数幂法则，正整数指数幂法则，分数的乘方法则，积的乘方，同指数幂乘法，完全平方等运算法则。

乘方的运算法则
一.乘方的运算法则
1.同底数幂法则：同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。

a^m×a^n=a^(m+n)
a^m÷a^n=a(m-n)
2.正整数指数幂法则
(a^k=a×a×…×a），其中k∈N^*(既k为正整数）
3.平方差：两数和乘两数差等于它们的平方差。

用字母表示为：（a+b）(a-b)=a^2-b^2
4.分数的乘方法则
（a/b）^k=a^k/b^k
5.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

用字母表示为：（a^m）^n=a^(m×n)
6.积的乘方：积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。

用字母表示为：（a×b)^n=a^n×b^n
7.同指数幂乘法：同指数幂相乘，指数不变，底数相乘。

8.完全平方：两数和（或差）的平方，等于它们的平方的和加上（或者减去）它们的积的2倍。

二.有理数乘方的符号法则
1.负数的偶次幂是正数，负数的奇数幂是负数。

2.正数的任何次幂都是正数。

3.0的任何正数次幂都是0。