简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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1 (2)(2018· 昆明一中质检)已知命题 p:∀x∈R,x+x ≥2;命题 q:∃x0∈(0,+∞),x2 0 >x3 0,则下列命题中为真命题的是( A.(綈 p)∧q B.p∧(綈 q) ) C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∧q
解析 (1)全称命题的否定为特称命题,
∴命题的否定是:∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0. 1 (2)对于 p:当 x=-1 时,x+x =-2,∴p 为假命题.取 x0∈(0,1),
解析 (1)错误.命题p∨q中,p,q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题,则p,q都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2-1P27A组T3改编)命题p:∃x0∈R,x0>1的否定是( A.綈p:∀x∈R,x≤1 C.綈p:∀x∈R,x<1 B.綈p:∃x∈R,x≤1 D.綈p:∃x∈R,x<1
p(x0)成立.
【训练 2】 命题 p:存在
π x∈0, ,使 2
sin x+cos x> 2;命题 q:“∃x0∈(0,
+∞),ln x0=x0-1”的否定是“∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1”,则四个命题: (綈 p)∨(綈 q),p∧q,(綈 p)∧q,p∨(綈 q)中,正确命题的个数为( A.1
1 (2)当 x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当 x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)= -m,由 f(x)min 4 1 1 ≥g(x)min,得 0≥4-m,所以 m≥4.
答案 (1)C
1 (2)4,+∞
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤:
0<a<4.
∴实数a∈[0,4),因此p假,綈p是真命题.
命题q:由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.
因此“x2-2x-8>0”是“x>5”的必要不充分条件,q为真命题.故(綈p)∧q为真命题. 答案 (1)A (2)D
规律方法
1.“p∨q”、“p∧q”、“ 綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联
π 在0, 上是增函数,∴ymax=tan 4
解析
∵函数 y=tan x
π 4 =1,依题意,m≥ymax,
即 m≥1.∴m 的最小值为 1.
答案 1
考点一
含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】 (1)设a,b,c是非零向量.已知命题p: 若a· b=0,b· c=0,则a· c=0;命题q:若 a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( A.p∨q B.p∧q ) D.p∧(綈q) ) C.(綈p)∧(綈q)
綈p→真假相反.
2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)命题“5>6或5>2”是假命题.( ) ) (2)命题綈(p∧q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.( (3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( ) ) (4)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,綈p(x)的真假性相反.(
第3节
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲
1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;2.理解全称量
词与存在量词的意义;3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知识梳理
1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的 且 、 或 、 非
叫做逻辑联结词.
(2)命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断
当x<0时,x3<0,则C为假命题;由指数函数的性质知,∀x∈R,2x>0,则D为真 命题.
答案 C
4.(2017· 山东卷)已知命题p:∃x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a2<b2,则a<b.下列命 题为真命题的是( A.p∧q ) B.p∧綈q C.綈p∧q D.綈p∧綈q
解析
∵ 一元二次方程 x2 - x + 1 = 0 的判别式 Δ = ( - 1)2 - 4×1×1<0 , ∴ x2 - x +
答案 B
考点三
由命题的真假求参数的取值范围
【例 3】 (1)已知命题 p:“∀x∈[0,1],a≥ex” ,命题 q:“∃x0∈R,x2 0+4x0+a =0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.(4,+∞) (2)已知 f(x)=ln(x
2
) D.(-∞,-1)
B.[1,4]
(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (2)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题. 含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决.
【训练3】 本例(2)中,若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”,其他条件不变,
则实数m的取值范围是____________.
1 1 解析 当 x∈[1,2]时,g(x)max=g(1)= -m,由 f(x)min≥g(x)max,得 0≥ -m, 2 2 1 ∴m≥2.
答案
1 ,+∞ 2
结词“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤是:(1)明确其构成形式; (2)判断其中命题p,q的真假;(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假. 2.p且q形式是“一假必假,全真才真”,p或q形式是“一真必真,全假才假”,非 p则是“与p的真假相反”.
【训练 1】 (2018· 郑州调研)命题 p:函数 y=log2(x-2)的单调增区间是[1,+∞), 1 命题 q:函数 y= x 的值域为(0,1).下列命题是真命题的为( ) 3 +1
)
解析 特称命题的否定为全称命题.∴綈p:∀x∈R,x≤1.
答案 A
3.(2018· 贵阳调研)下列命题中的假命题是(
)
A.∃x0∈R,lg x0=1
C.∀x∈R,x3>0 解析
B.∃x0∈R,sin x0=0
D.∀x∈R,2x>0
当x=10时,lg 10=1,则A为真命题;当x=0时,sin 0=0,则B为真命题;
解析
)
B.2
因为 sin x+cos x=
C.3
π 2sinx+ ≤ 4
D.4
2,所以命题 p 是假命题;又特称命题的
否定是全称命题,因此命题 q 为真命题.则(綈 p)∨(綈 q)为真命题,p∧q 为假命题, (綈 p)∧q 为真命题,p∨(綈 q)为假命题.∴四个命题中正确的有 2 个命题.
P 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q p∨q 真 真 真 假 綈p 假 假 真 真

假 假 假
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用
符号“ ∀ ”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量 词,用符号“ ∃ ”表示.
A.p∧q
B.p∨q
C.p∧(綈q)
D.綈q
解析 由于y=log2(x-2)在(2,+∞)上是增函数, ∴命题p是假命题.
1 由 3 >0,得 3 +1>1,所以 0< x <1, 3 +1 1 所以函数 y= x 的值域为(0,1),故命题 q 为真命题. 3 +1
x x
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(綈q)为假命题,綈q为假命题.
答案 B
考点二
含有一个量词命题的否定及真假判定 )
【例2】 (1)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0
3 此时 x2 0>x0,∴q 为真命题.
从而綈p为真命题,(綈p)∧q为真命题. 答案 (1)D (2)A
规律方法
1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命
题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全 称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论. 2.判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明 p(x) 成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个 x = x0 ,使
由a∥b知a=xb,由b∥c知b=yc,
∴a=xyc,∴a∥c,∴q是真命题. 综上知p∨q是真命题,p∧q是假命题. 又∵綈p为真命题,綈q为假命题. ∴(綈p)∧(綈q),p∧(綈q)都是假命题.
(2)命题p:当a=0时,有1>0恒成立;
当 a≠0 时
a>0, ,得 解之得 2 Δ=a -4a<0,
C.[e,4]
1x +1),g(x)=2 -m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1 ,2],使得
f(x1)≥g(x2),则实数 m 的取值范围是________.
解析
(1)由题意知p与q均为真命题,由p为真,可知a≥e,由q为真,知x2+4x+a
=0有解,则Δ=16-4a≥0,∴a≤4.综上可知e≤a≤4.
1>0恒成立, ∴p是真命题,綈p为假命题. ∵当a=-1,b=-2时,(-1)2<(-2)2,但-1>-2, ∴q为假命题,綈q为真命题.
根据真值表可知p∧綈q为真命题,p∧q,綈p∧q,綈p∧綈q为假命题.
答案 B
π 5.若“∀x∈0, ,tan 4
x≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为________.
3.全称命题和特称命题 名称 形式 全称命题 特称命题
结构
简记 否定
对M中的任意一个x,有p(x)成立 存在M中的一个x0,使p(x0)成立
∀x∈M,p(x) ∃x0∈M,綈p(x0) ∃x0∈M,p(x0) ∀x∈M ,綈p(x)
[常用结论与微点提醒] 1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀: p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与
Hale Waihona Puke (2)(2018· 深圳联考) 已知命题p:不等式ax2 +ax+1>0 的解集为 R ,则实数a∈(0,4), 命题q:“x2-2x-8>0”是“x>5”的必要不充分条件,则下列命题正确的是( A.p∧q B.p∧(綈q) C.(綈p)∧(綈q) D.(綈p)∧q
解析 (1)取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a· b=0,b· c=0, 但a· c=1≠0,∴p是假命题. 又a,b,c是非零向量,
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