4-2转动定律

d
C
mO
J O J C md
2
1 圆盘对P 轴 J P mR 2 mR 2 的转动惯量 2
P
R O m
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
Fej
m j
Fij
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
M ej M ij m j rj2α
j j
z
O
M ij M ji
M ij 0
j
rj
m j
Fej
M
j
ej
( m r )α
2 j j
Fij
J r dm
例4 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上， 和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物 体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩 擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体 B 从 静止落下距离 y 时， C A mA 其速率是多少？（3） mC 若滑轮与轴承间的摩 擦力不能忽略，并设 它们间的摩擦力矩为 M f 再求线加速度及 mB B 绳的张力.
M ij
O
M ji
d
ri
Fji iF
ij
rj
j
Mij M ji
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例1 有一大型水坝高110 m、长1000m，水深100m， 水面与大坝表面垂直，如图所示 . 求作用在大坝上的力， 以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
第四章 刚体的转动
FT1 mA a
mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 M f J
A mA
FT1
C
mC FT2
a R
mB g M f R a mA mB mC / 2
mB B
mA (mB g M f / R) FT1 mA mB mC / 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 一 力矩 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F 作用在刚体上点 P , 且在转动 为由点O 到力的 平面内, r 作用点 P 的径矢 . Z F 对转轴 的力矩
第四章 刚体的转动
M
M
O
z
M Fr sin Fd
M r F
mB (mA mC 2) g M f R FT2 mA mB mC 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例5 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度 和角速度 .
例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
O
l 2
r
l
dr O´
dr O´
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 dm dr dJ r 2dm r 2dr
r
1 3 J 2 r dr l 0 12 1 ml 2 12
第四章 刚体的转动 4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 A 解 （1）隔离物体分 FT1 C mA mC 别对物体A、B 及滑轮作 受力分析，取坐标如图， FN FT2 运用牛顿第二定律 、转 FT1 mA 动定律列方程 . O mB B x
PA
FT1
PC
FC
矩为零，故 F 对转轴的 力矩
M z k r F M z rF sin
O
r
F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M 2 M 3
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
FT2
mB PB y
O
FT1 mA a
mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 J
FT2
a R
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
如令 mC
A mA
FT1
C
mC FT2
mB B
mA mB g FT1 FT2 mA mB
0，可得
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
2mB gy v 2ay mA mB mC / 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 （3） 考虑滑轮与轴承间的摩 擦力矩 M f ，转动定律
h 100m
y
h
dF
dy
y
dM ydF
h
O
Q
dM y[ p0 g (h y)]Ldy
M y[ p0 g (h y)]Ldy
0
1 1 2 3 p0 Lh gLh 2 6 12 M 2.1410 N m 代入数据，得
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 二 转动定律 1）单个质点 m 与转 轴刚性连接
第四章 刚体的转动
FT1
Mf
RFT2 RFT1 M f J
结合（1）中其它方程
FT2
FN
FT1 mA a
mB g FT2 mBa
FT2
mB
PB
RFT2 RFT1 M f J
a R
mA FT1 PA
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2
定义转动惯量
J m r
j
2 j j
转动定律
M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 三 转动惯量
2 j j
第四章 刚体的转动
2
J m r , J r dm
j
物理意义：转动惯性的量度 .
y
y
dA
dy
x
h y
O Q O
x 解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积元 dA Ldy 作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
h 100m
L 1000m
y
dA
dy
dF pdA pLdy 令大气压为 p0 ，则
p p0 g (h y)
第四章 刚体的转动
Ft mat mr M rF sin 2 M rFt mr 2 M mr
M
O
z
r
m
Ft
Fn

F
质量元受外力 F ，内力 F ij ej 2 Mej Mij m j rj
外力矩 内力矩
2）刚体
z
O
rj
第四章 刚体的转动
J m r r dm
2 j j 2 j
dm
：质量元
对质量线分布的刚体： dm

dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm
：质量面密度

：质量体密度
dS
dV
对质量体分布的刚体：dm
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
代入初始条件积分 得
3g d sin d 2l
3g (1 cos ) l
h y
dF [ p0 g (h y)]Ldy
h
x O
1 F [ p0 g (h y )]Ldy p0 Lh gLh2 0 2
代入数据，得
F 5.9110 N
10
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
L 1000m dF [ p0 g (h y)]Ldy dF 对通过点 Q 的轴的力矩
r
F
*
d
P

Fi 0 , Mi 0
d F
: 力臂
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 讨论
第四章 刚体的转动
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量 z F Fz F F 其中 Fz 对转轴的力 k Fz
铰链对细杆的约束力 F N
作用，由转动定律得
解
细杆受重力和
1 mgl sin J 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
由角加速度的定义
d d d d dt d dt d
l/2 2
如转轴过端点垂直于棒
1 2 J r dr ml 0 3
l 2Fra Baidu bibliotek
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
r

圆环质量
dm 2 π r dr
2 3
R R
O
r dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
2
而
m π R
2
所以
1 2 J mR 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 注意
第四章 刚体的转动
转动惯量的大小取决于刚体的质量、形 状及转轴的位置 . 四 平行轴定理 质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量
转动惯性的计算方法
质量离散分布刚体的转动惯量
2 j j 2 11
J m r m r m r
2 2 2 j
2 j j 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J m r r dm
j
dm
：质量元
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 质量连续分布刚体的转动惯量