2009年全国高考文科数学试题及答案-天津卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
参考公式：。

如果事件A ，B 互相排斥，那么P （AUB ）=P （A ）+P(B)。

棱柱的体积公式V=sh 。

其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 1.i 是虚数单位，
i
i
-25= A i 21+ B i 21-- C i 21- D i 21+-
【答案】D 【解析】由已知，
12)
2)(2()
2(525-=+-+=-i i i i i i i 【考点定位】本试题考查了复数的基本的除法运算。

2.设变量x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为
A 6
B 7
C 8
D 23
【答案】B
【解析】由已知，先作出线性规划区域为一个三角形区域，得到三个交点（2，1）（1，2）（4，5），那么作一系列平行于直线032=+y x 的平行直线，当过其中点（2，1）时，目标函数最小。

【考点定位】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力。

3．设”
”是“则“x x x R x ==∈3
1,的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】 因为1,1,0,3
-==x x x 解得，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。

【考点定位】本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题。

考查逻辑推理能力。

4．设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程
为（ ）
A x y 2±=
B x y 2±=
C x y 2
2
±= D x y 21±=
【答案】C
【解析】由已知得到2,3,122=-=
==b c a c b ，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐
近线方程为x x a b y 2
2±=±
= 【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。

考察了同学们的运算能力和推理
能力。

5.设3
.02
13
1)
2
1(,3log ,2log ===c b a ，则
A a<b<c
B a<c<b
C b<c<a
D b<a<c 【答案】B
【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到10,0<<<c a ，而13log 2>=b ，
因此选B 。

【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能力。

6.阅读右面的程序框图，则输出的S=
A 14
B 20
C 30
D 55
【答案】C
【解析】当1=i 时， S=1;当i=2时， S=5;循环下去，当i=3时， S=14；当i=4时,S=30；
【考点定位】本试题考查了程序框图的运用。

7. 已知函数)0,)(4
sin()(>∈+
=w R x wx x f π
的最小正周期为π，将
)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ）
A
2π B 83π C 4π D 8
π
【答案】D
【解析】由已知，周期为2,2==
w w
π
π ，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，x x 2cos ]4
)(2sin[±=+
+π
ϕ，故选D
【考点定位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用。

8. 设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0
,60
,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）
A ),3()1,3(+∞⋃-
B ),2()1,3(+∞⋃-
C ),3()1,1(+∞⋃-
D )3,1()3,(⋃--∞ 【答案】A
【解析】由已知，函数先增后减再增 当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。

当0<x ，3,36-==+x x
故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或
【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。

以及一元二次不等式的求解。

9. 设y
x b a b a b a R y x y
x
1
1,32,3,1,1,,+=+==>>∈则
若的最大值为 A 2 B 23 C 1 D 2
1 【答案】C
【解析】因为3log ,3log ,3b a y x y x b a ====，
1)2
(log log 112
33=+≤=+b a ab y x 【考点定位】本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变
通能力。

10. 设函数f(x)在R 上的导函数为f ’(x),且2f(x)+xf ’(x)>x 2
,x 下面的不等式在R 内恒成立的是 A 0)(>x f B 0)(<x f C x x f >)( D x x f <)(
【答案】A
【解析】由已知，首先令0=x ，排除B ，D 。

然后结合已知条件排除C,得到A
【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。

通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。

把答案填写在题中的横线上。

）
11. 如图，11BB AA 与相交与点O, 11//B A AB 且112
1
B A AB =，若A O B ∆得外接圆直径为1，则11OB A ∆的外接圆直径为_________. 【答案】2
【解析】由正弦定理可以知道，
AB B A R O
B A r O AB
2,2sin ,12sin 1111====,所以11OB A ∆的外接圆半径是AOB ∆外接圆半径的二倍。

【考点定位】本试题考查了正弦定理的运用。

以及三角形中外接圆半径与边角的关系式运用。

考察了同学们对于新问题的转化化归思想。

12. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a=________. 【答案】3
【解析】由已知正视图可以知道这个几何体是睡着的直三棱柱，两个底面是等腰的三角形，且底边为2，等腰三角形的高位a ，侧棱长为3，结合面积公式可以得到
33322
1
=⨯⨯⨯=
=a sh V ，解得a=3 【考点定位】本试题考查了简单几何体的三视图的运用。

培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力。

13. 设全集{}
1lg |*
<∈=⋃=x N x B A U ，若{}4,3,2,1,0,12|=+==⋂n n m m B C A U ，
则集合B=__________. 【答案】{2，4，6，8}
【解析】}9,8,7,6,5,4,3,2,1{=⋃=B A U }9,7,5,3,1{=⋂B C A U }8,6,4,2{=B
【考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力。

14. 若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a=________. 【答案】1
【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为a
y 1
=
，利用圆心（0，0）到直线的距离d 1
|1|
a =为13222=-，解得a=1 【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。

考察了同学们的运算能力和推理能力。

15. 若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足→
→→
+=CA CB CM 3
261,则
=∙→
→MB MA ________.
【答案】-2
【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设)3,3(),0,32(),0,0(B A C
这样利用向量关系式，求得M )21,233(，然后求得)2
5
,23(),21,23(--=-=→→MB MA ，运
用数量积公式解得为-2.
【考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用。

也体现了向量的代数化手段的重要性。

考查了基本知识的综合运用能力。

16. 若关于x 的不等式22)12(ax x <-的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】)16
49,925(
【解析】因为不等式等价于014)4(2<+-+-x x a ，其中014)4(2=+-+-x x a 中的
04>=∆a ，且有04>-a ，故40<<a ，不等式的解集为
a
x a
-<
<+2121，
212141<+<a 则一定有1，2，3为所求的整数解集。

所以4213<-<a
，解得a 的范围为)16
49
,925(
【考点定位】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用。

考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力。

三、解答题
17. （本小题满分12分）
在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===
（Ⅰ）求AB 的值。

（Ⅱ）求)4
2sin(π
-
A 的值。

【答案】
10
2 【解析】（1）解：在A B C ∆ 中，根据正弦定理，
A
BC
C AB sin sin =，于是522sin sin ===BC A
BC
C
AB （2）解：在ABC ∆ 中，根据余弦定理，得AC
AB BC AC AB A ∙-+=2cos 2
22
于是A A 2cos 1sin -==
5
5，
从而5
3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-==
=A A A A A A 10
2
4sin 2cos 4cos 2sin )42sin(=
-=-πππA A A 【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦
和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。

18. （本小题满分12分）
为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B,C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B ，C 区中分别有18，27，18个工厂
（Ⅰ）求从A,B,C 区中分别抽取的工厂个数；
（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率。

【答案】(1) 2，3，2(2)
21
11 【解析】 （1）解： 工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为9
1637=，所以从A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.
（2）设21,A A 为在A 区中抽得的2个工厂，321,,B B B 为在B 区中抽得的3个工厂，
21,C C 为在C 区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：2
7C 种，随
机的抽取的2个工厂至少有一个来自A
区的结果有),(21A A ，
),(21B A ),(11B A ),(31B A ),(21C A ),(11C A ,同理2A 还能组合5种，一共有11种。

所以所求
的概率为
21
11
112
7=C 【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。

19.如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PD 平面⊥，CD AD ⊥，且DB 平分ADC ∠，E
为
PC
的
中
点
，
1
==CD AD ,
22=DB
（Ⅰ）证明BDE PA 平面//
（Ⅱ）证明PBD AC 平面⊥
（Ⅲ）求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值
【答案】（1）略（2）略（3）
3
1 【解析】 证明：设H BD AC =⋂，连结EH ，在ADC ∆中，因为AD=CD ，且DB 平分ADC ∠，所以H 为AC 的中点，又有题设，E 为PC 的中点，故PA EH //,又
BDE PA BDE HE 平面平面⊄⊂,,所以BDE PA 平面//
（2）证明：因为ABCD PD 平面⊥，ABCD AC 平面⊂，所以AC PD ⊥ 由（1）知，AC BD ⊥,,D BD PD =⋂故PBD AC 平面⊥
(3)解：由PBD AC 平面⊥可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，所以CBH ∠为直线与平面PBD 所成的角。

由CD AD ⊥,2
2
3,22,22,1=
=====BH CH DH DB CD AD 可得 在BHC Rt ∆中，3
1
tan ==
∠BH CH CBH ,所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为3
1。

【考点定位】本小题主要考察直线与平面平行。

直线和平面垂直。

直线和平面所成的角等基础知识，考察空间想象能力、运算能力和推理能力。

20.（本小题满分12分）
已知等差数列}{n a 的公差d 不为0，设1
21-+++=n n n q
a q a a S
*1121,0,)1(N n q q a q a a T n n n n ∈≠-++-=--
（Ⅰ）若15,1,131===S a q ,求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若3211,,,S S S d a 且=成等比数列，求q 的值。

（Ⅲ）若*
2
222,1)1(2)1(1,1N n q
q dq T q S q q n n n
∈--=+--±≠）证明（ 【答案】（1）34-=n a n （2）2-=q （3）略
【解析】 （1）解：由题设，15,1,1,)2()(3121113===++++=S a q q d a q d a a S 将 代入解得4=d ，所以34-=n a n *N n ∈
（2）解：当32123211,,,32,2,,S S S dq dq d S dq d S d S d a ++=+===成等比数列，所
以312
2S S S =，即)32222
dq dq d d dq d ++=+（）（，注意到0≠d ，整理得2-=q
（3）证明：由题设，可得1-=n n q b ，则
12223212-+++=n n n q a q a q a a S ①
12223212---+-=n n n q a q a q a a T ②
①-②得，
)(212234222-+++=-n n n n q a q a q a T S
①+②得，
)(2221223122--+++=+n n n n q a q a q a T S ③
③式两边同乘以 q ，得)(2)(221223122--+++=+n n n n q a q a q a T S q 所以2
21
23
221)
1(2)(2)1()1(q
q dq q
q q d T q S q n n n n --=+++=+--- （3）证明：n l k l k l k b a a b a a b a a c c n n )()()(212121211-+-+-=-
=1
1122111)()()(--++-+-n n n q
db l k q db l k db l k 因为0,01≠≠b d ，所以
122111
2
1)()()(--++-+-=-n n n q l k q l k l k db c c 若n n l k ≠，取i=n ，
若n n l k =，取i 满足i i l k ≠，且j j l k =，n j i ≤≤+1 由（1）（2）及题设知，n i ≤<1，且
122111
2
1)()()(--++-+-=-n n n q l k q l k l k db c c ① 当i i l k <时，1-≤-i i l k ，由n q ≥，1,2,1,1-=-≤-i i q l k i i 即111-≤-q l k ， ),1()(22-≤-q q q l k 2211)1()(-----≤-i i i i q q q l k
所以111)1()1()1()1(111
2121-=----=--++-+-≤-----i i i i q q
q q q q q q q q db c c
因此021≠-c c
② 当i i l k >时，同理可得,11
2
1-≤-db c c 因此021≠-c c 综上，21c c ≠
【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n 项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。

21. （本小题满分12分）
设函数0),(,)1(3
1)(223
>∈-++-
=m R x x m x x x f 其中 （Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率 （Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <。

若对任意的
],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立，求m 的取值范围。

【答案】（1）1（2）)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。

函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=
31
3223-+m m 函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=3
1322
3-+-m m
【解析】解：当1)1(,2)(,3
1)(1'
2/23=+=+==f x x x f x x x f m 故时，
所以曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1.
（2）解：12)(2
2
'
-++-=m x x x f ，令0)('
=x f ，得到m x m x +=-=1,1
因为m m m ->+>11,0所以
当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：
)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。

函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=313223-+m m 函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=3
1322
3-+-m m
（3）解：由题设， ))((3
1)131()(212
2x x x x x m x x x x f ---=-++-=
所以方程13
12
2-++-m x x =0由两个相异的实根21,x x ，故321=+x x ，且
0)1(3412>-+=∆m ，解得2
1
)(21>-<m m ，舍
因为12
3
,32,221221>>=+><x x x x x x 故所以
若0)1)(1(3
1
)1(,12121≥---=<≤x x f x x 则，而0)(1=x f ，不合题意
若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x
则0))((3
1
)(21≥---==x x x x x x f 又0)(1=x f ，所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最小值为0，于是对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立的充要条件是03
1)1(2
<-=m f ,解
得3
333<<-
m 综上，m 的取值范围是)3
3
,
21( 【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。

22. （本小题满分14分）
已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的两个焦点分别为)0)(0,(),0,(21>-c c F c F ，过点
)0,(2
c a E 的直线与椭圆相交于点A,B 两点，且||2||,//2121B F A F B F A F = （Ⅰ求椭圆的离心率
（Ⅱ）直线AB 的斜率；
（Ⅲ）设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线B F 2上有一点H(m,n)(0≠m )在C AF 1∆的外接圆上，求m
n 的值。

【答案】（1）33==a c e （2）32±=k （3）5
22=m n 【解析】 （1）解：由||||,//2121B F A F B F A F =，得2
1||||||||1212==A F B F EF EF ,从而 2122
=+-c c a c c a ，整理得223c a =，故离心率33==a c e （2）解：由（1）知，2
2222c c a b =-=，所以椭圆的方程可以写为222632c y x =+ 设直线AB 的方程为)(2
c
a x k y -=即)3(c x k y -= 由已知设),(),(2211y x B y x A 则它们的坐标满足方程组⎩⎨⎧=+-=222632)3(c
y x c x k y 消去y 整理，得062718)32(222222=-+-+c c k cx k x k 依题意，3333,0)31(4822<<->-=∆k k c 而22
2221222132627,3218k
c c k x x k k x x +-=+=+，有题设知，点B 为线段AE 的中点，所以2123x c x =+
联立三式，解得22
2222213229,3229k
c c k x k c c k x ++=+-=，将结果代入韦达定理中解得32±=k
(3)由（2）知，23,021c x x ==，当3
2-=k 时，得A )2,0(c 由已知得)2,0(c C - 线段1AF 的垂直平分线l 的方程为),2(2222c x c y +-=-
直线l 与x 轴的交点)0,2(c 是C AF 1∆的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222)2
()2(c c y c x +=+- 直线B F 2的方程为)(2c x y -=，于是点),(n m H 满足方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-==+-)(24
9)2(2
22c m n c n c m 由0≠m ，解得222,35c n c m ==，故5
22=m n 当32=k 时，同理可得522=m n 【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，圆的方程等基础知识。

考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想，考查运算能力和推理能力。