高中物理必修一 讲义 第2课时 测量纸带的平均速度和瞬时速度 速度—时间图像

第2课时测量纸带的平均速度和瞬时速度速度—时间图
像
[学习目标要求] 1.学会安装和使用打点计时器。

2.学会测量纸带、制表及记录数据。

3.掌握测瞬时速度的方法，会用打出的纸带求瞬时速度。

4.理解速度—时间图像，会通过图像描述物体的运动。

知识点一测量纸带的平均速度和瞬时速度
你能根据滴水痕迹判断汽车运动的快慢吗？
提示能，点迹密表示运动慢。

❶测量平均速度
用刻度尺测出n个点之间的间距Δx，测出n个点之间的时间Δt，则平均速度v
＝Δx Δt。

❷测量瞬时速度
取包含某一位置在内的一小段位移Δx，根据v＝Δx
Δt算出这一段位移内的平均速度，
用这个平均速度代表纸带经过该位置的瞬时速度。

一般地，取以这个点为中间时刻的一段位移来计算。

如图所示，E点的瞬时速度可用D、F两点间的平均速度
代表，即v E＝Δx Δt。

1.实验器材
电磁打点计时器(或电火花计时器)、低压交流电源(电火花计时器使用220 V交流电源)、复写纸(或墨粉纸盘)、导线若干、刻度尺、纸带、坐标纸。

2.实验步骤
(1)把打点计时器固定在桌子上。

(2)把打点计时器的两个接线柱接到交变电源上(电源频率为50 Hz，电磁打点计时器接8 V低压交变电源，电火花计时器接220 V交变电源)。

(3)启动电源，用手水平拉动纸带，纸带上就打出一行小点。

随后立即关闭电源。

(4)从纸带上点迹清晰的某一点为起始点0，后面每5个点取一个计数点，分别用1、2、3…标出这些计数点，则两相邻计数点之间的时间间隔Δt＝0.1 s。

(5)用刻度尺测量出各计数点到起始点的距离Δx。

3.数据处理
(1)测量纸带的平均速度
若电源频率为50 Hz，则从打第1个点到打第n个点，纸带的运动时间为Δt＝0.02(n
－1) s，纸带的位移为Δx，纸带的平均速度v＝Δx
Δt。

把测量和计算的结果填入表
中。

记录项实验次数点数n
点划分出的间
隔数n－1
运动时间
Δt/s
位移Δx/m
平均速度
v/(m·s－1)
1
2
(2)用打点计时器测量瞬时速度
①选择一条点迹清晰的纸带，从能够看清的某个点开始，每隔四个点取一个计数点，每两个计数点间的时间间隔T＝5×0.02 s＝0.1 s。

在纸带上用O、A、B、C、D、…标出这些“计数点”，如图所示。

用刻度尺依次测出OA 、OB 、OC 、OD 、…的距离是s 1、s 2、s 3、s 4、…，再利用x 1＝s 1，x 2＝s 2－s 1，x 3＝s 3－s 2，x 4＝s 4－s 3，…，确定出OA 、AB 、BC 、CD 、…之间的位移x 1、x 2、x 3、x 4、…。

②运动物体在A 、B 、C 、D 、…各点的瞬时速度分别为v A ＝x 1＋x 22T 、v B ＝x 2＋x 3
2T 、
v C ＝x 3＋x 42T 、v D ＝x 4＋x 5
2T 、…。

4.注意事项
(1)如果在纸带上数出了n 个点，那么，它们的间隔数是(n －1)个，它们的时间间隔为(n －1)×0.02 s 。

(2)使用打点计时器打点时，应先接通电源，待打点计时器打点稳定后，再拉动纸带。

(3)手拉动纸带时速度应适当快一些，以防点迹太密集。

(4)打点计时器不能连续工作太长时间，打点完成后应立即关闭电源。

(5)计算计数点的瞬时速度时，Δx 、Δt 应取此计数点前、后两个点之间的位移和时间，即v n ＝x n ＋x n ＋1
2T 。

【例1】 用打点计时器可测量纸带运动的时间和位移。

下面是没有按操作顺序写的不完整的实验步骤，按照你对实验的理解，在各步骤空白处填上适当的内容，然后按实际操作的合理顺序，将各步骤的字母代号按顺序写在空白处。

A.在电磁打点计时器的两接线柱上分别接上导线，导线的另一端分别接在低压________(选填“交流”或“直流”)电源的两个接线柱上。

B.把电磁打点计时器固定在桌子上，让纸带穿过________，并压在________下面。

C.用刻度尺测量从计时开始点到最后一个点间的距离Δx 。

D.切断电源，取下纸带，如果共有n 个清晰的点，则这段纸带记录的时间Δt ＝______。

E.接通电源，再用手水平地拉动纸带，在纸带上打下一系列小点。

F.利用公式v ＝Δx
Δt 计算纸带运动的平均速度。

实验步骤的合理顺序是________________。

答案 交流 限位孔 复写纸 (n －1)×0.02 s BAEDCF
解析 A 项中电磁打点计时器应使用低压交流电源；B 项中应将纸带穿过电磁打
点计时器的限位孔，并压在复写纸的下方；D 项中纸带上记录的时间Δt ＝(n －1)×0.02 s 。

合理的实验步骤为BAEDCF
【训练1】 在“用打点计时器测瞬时速度”的实验中得到的一条纸带的一部分如图甲所示，从0点开始依照打点的先后依次标为0，1，2，3，4，5，6，…，现在量得0、1间的距离x 1＝5.18 cm ，1、2间的距离x 2＝4.40 cm ，2、3间的距离x 3＝3.62 cm ，3、4间的距离x 4＝2.78 cm ，4、5间的距离x 5＝2.00 cm ，5、6间的距离x 6＝1.22 cm(交流电源频率为50 Hz)。

甲
(1)根据上面的记录，计算打点计时器在打1，2，3，4，5点时的速度并填在下表中：
位置 1 2 3 4 5 v /(m·s －1)
(2)根据(1)中表格，在图乙中画出小车的速度—时间图像，并说明小车速度变化特点。

乙
答案 (1)见解析 (2)见解析图 小车速度均匀减小
解析 (1)某点的瞬时速度可用包含该点的一段位移内的平均速度表示。

由v ＝Δx Δt 得，打1点时，v 1≈1.20 m/s ；打2点时，v 2≈1.00 m/s ；打3点时，v 3≈0.80 m/s ；打4点时，v 4≈0.60 m/s ；打5点时，v 5≈0.40 m/s ；将数值填入表格如下。

位置
1
2
3
4
5
v/(m·s－1) 1.20 1.000.800.600.40
(2)描点并连线得小车的速度—时间图像，如图所示。

由图像可知，小车速度均匀减小。

知识点二利用光电门测速度
如图所示，当滑块在导轨上运动时，光电门利用光敏电阻的特性记录遮光板通过光电门的时间，而遮光板的宽度Δx已知，并且非常小，由于滑块通过光电门的时间Δt非常短，在这段时间内滑块的运动可以近似看作匀速直线运动，所以遮光板通过光电门时的瞬时速度等于遮光板通过光电门时的平均速度，即v＝Δx
Δt。

【例2】用如图所示的计时装置可以近似测出气垫导轨上滑块的瞬时速度。

已知固定在滑块上的遮光条的宽度为4 mm，遮光条经过光电门的遮光时间为0.04 s。

(1)则滑块经过光电门位置时的速度大小为________。

(2)为使Δx
Δt更接近瞬时速度，正确的措施是________。

A.换用宽度更窄的遮光条
B.换用宽度更宽的遮光条
C.提高测量遮光条宽度的精确度
D.使滑块的释放点更靠近光电门 答案 (1)0.1 m/s (2)A
解析 (1)v ＝d Δt ＝4×10－3
m
4×10－2 s
＝0.1 m/s 。

(2)瞬时速度表示运动物体在某一时刻(或经过某一位置时)的速度，当Δt →0时，
Δx Δt 可看成物体的瞬时速度，Δx 越小，Δt 也就越小，选项A 正确，B 错误；提高测量遮光条宽度的精确度，不能减小Δt ，选项C 错误；使滑块的释放点更靠近光电门，滑块通过光电门时的速度可能更小，时间更长，选项D 错误。

知识点三 速度—时间图像
❶速度—时间图像(v －t 图像)
以时间t 为横轴，速度v 为纵轴，建立直角坐标系，根据测量数据在坐标系中描点，然后用平滑的曲线把这些点连接起来，即得到物体运动的v －t 图像。

❷v －t 图像的意义
v －t 图像非常直观地反映了速度随时间变化的情况，但它不是物体运动的轨迹。

【思考】 (1)如图甲所示，v －t 图像是描述直线运动还是曲线运动？ (2)用折线把这些点连起来(如图乙所示)就是物体运动的v －t 图像了吗？
提示(1)从图中可看出物体的速度大小随时间不断变化；速度方向不变，与规定的正方向相同，做直线运动。

(2)因为通常速度不会发生突变，所以要用一条平滑的曲线描出这些点。

1.由图像能判断不同时刻对应的瞬时速度
(1)瞬时速度为正，说明物体沿选定的正方向运动，如图中的图线1、4、5。

(2)瞬时速度为负，说明物体沿与选定的正方向相反的方向运动，如图中的图线2、3。

(3)若图线经过t轴，说明物体的运动方向发生变化，如图中的图线6。

2.根据图像判断物体的运动性质
(1)若图线平行于t轴，则表示物体做匀速直线运动，如图中的图线1、2。

(2)若图线不平行于t轴，则表示物体做变速运动，如图中的图线3、4、5、6。

3.截距的意义
(1)纵轴上的截距：表示初始时刻物体的瞬时速度。

(2)横轴上的截距：表示该时刻物体的速度为零，该时刻前后物体的速度方向相反。

4.图线交点的意义：两条图线相交，表示该时刻两物体的瞬时速度相同。

【例3】如图所示为某质点做直线运动的v－t图像，据此可知以下说法正确的是()
A.质点始终向同一方向运动
B.在运动过程中，质点运动方向发生变化
C.前2 s内做加速直线运动
D.后2 s内做减速直线运动
答案B
解析由图像知，质点的速度由负变正，因此速度方向发生变化，A项错误，B 项正确；前2 s内负方向上速度减小，做减速直线运动，后2 s内速度增大，做加速直线运动，故C、D项错误。

【训练2】(多选)在跳水比赛中，某运动员(可看成质点)的速度与时间关系图像如图所示，选竖直向下为正方向，t＝0是其向上起跳瞬间，则()
A.t1时刻该运动员开始进入水面
B.t2时刻该运动员开始进入水面
C.t3时刻该运动员已浮出水面
D.t1～t3时间内运动员始终向下运动
答案BD
解析在0～t1时间内，运动员在空中处于上升阶段，t1时刻到达最高点；t1～t2时间内，运动员在空中下落，t2之后速度减小，运动员已进入水中，选项A错误，B正确；t3时刻，运动员的速度减为零，此时仍处于水下，选项C错误；t1～t3时间内运动员始终向下运动，选项D正确。

1.(测量纸带的平均速度)如图是研究直线运动实验中打点计时器打出的纸带，每5个点选一个计数点，各计数点对应在刻度尺上的示数已在图中标出，单位是cm。

(1)打点计时器是一种使用交流电源记录运动物体在一定时间间隔内位移的仪器，目前实验室用的打点计时器有________打点计时器和________计时器两种，它们所接电源均为频率为________的交流电源，但前者所接的电源电压为________V ，后者所接的电源电压为________V 。

打点计时器打点的周期决定于电源的________，图中计数点间隔时间为T ＝________s 。

(2)物体接于纸带左端A 点附近，则物体速度方向________(选填“由A 指到B ”或“由B 指到A ”)，物体做________(选填“加速”或“减速”)运动。

(3)请计算AE 段的平均速度为______m/s 。

BD 段的平均速度为________m/s 。

答案 (1)电磁 电火花 50 Hz 8 220 频率 0.1 (2)由B 指到A 加速 (3)0.225 0.2
解析 (1)打点计时器是一种使用交流电源记录运动物体在一定时间间隔内位移的仪器，目前实验室用的打点计时器有电磁打点计时器和电火花计时器两种，它们所接电源的频率均为50 Hz ，但前者所接的电源电压为8 V ，后者所接的电源电压为220 V 。

打点计时器打点的周期决定于电源的频率，图中每5个点选一个计数点，则计数点间隔时间为T ＝0.1 s 。

(2)物体接于纸带左端A 点附近，则物体速度方向由B 指到A ，由于相邻点间距逐渐增加，则物体做加速运动。

(3)AE 段的平均速度
v －
AE ＝x AE 4T ＝
（11.0－2.0）×10－2 m
0.4 s
＝0.225 m/s
BD 段的平均速度为
v －
BD ＝x BD 2T ＝
（7.4－3.4）×10－2 m
0.2 s
＝0.2 m/s 。

2.(v －t 图像)(多选)做直线运动的物体，其v －t 图像如图所示，下列判断正确的是( )
A.物体在1 s末改变运动方向
B.物体在前3 s内运动方向不变
C.物体在3 s末运动方向改变
D.物体在2 s时的速度大小为2 m/s
答案BCD
解析前3 s内物体的速度方向均为正，运动方向没有改变，A错误，B正确；由题图可知物体在3 s以后速度为负，则说明物体改变了运动方向，C正确；从题图中可以看出，物体在2 s时的速度大小为2 m/s，D正确。

3.(v－t图像)(多选)如图所示为一物体做直线运动的速度—时间图像，在整个运动过程中，下列说法正确的是()
A.BC段和CD段物体的运动方向相反
B.CD段和DE段物体的运动方向相反
C.物体在D点速度为0，此后运动方向改变
D.AB段物体静止
答案BC
解析物体在0～20 s内的速度均为正值，运动方向不变，物体在D点速度为0，以后运动方向改变，故A错误，B、C正确；AB段物体以速度v＝5 m/s做匀速直线运动，D错误。

题组一 测量纸带的平均速度和瞬时速度
1.(2022·北京北师大实验中学高一期中)如图所示，图甲是电磁打点计时器的示意图，图乙是该打点计时器在某次实验中打出的纸带，则以下说法中正确的是( )
A.将该打点计时器接在8 V 的直流电源上，它将在纸带上每隔0.02 s 打一个点
B.当打点计时器正常工作时，纸带上点迹越疏的地方表示纸带的运动速度越小
C.若纸带上打出D 、F 两点的时间间隔为Δt ，两点间距离为Δx ，则Δx
Δt 可以大致表示纸带上D 、F 之间任何一点的瞬时速度
D.D 、F 两点间距离过小测量误差会增大，所以实际测量中D 、F 之间的距离越大越好 答案 C
解析 将该打点计时器接在8 V 的直流电源上，它不能在纸带上打点，故A 错误；当打点计时器正常工作时，纸带上点迹越疏的地方表示纸带的运动速度越大，故B 错误；纸带上打出D 、F 两点的时间间隔为Δt 很小，
Δx Δt 可以大致表示纸带上D 、F 之间任何一点的瞬时速度，故C 正确；D 、F 两点间距离越小，则Δx
Δt 越接近DF 之间某点速度的瞬时值，则实际测量中D 、F 之间的距离并非越大越好，故D 错误。

2.(2021·山西太原市第五十六中高一月考)某次实验纸带的记录如图所示，图中前几个点模糊，因此从A 开始取了5个计数点，每两个相邻的计数点间还有4个点没画出来，打点计时器打点频率为50 Hz 。

测得各段长度为AB ＝1.6 cm ，AC ＝
3.4
cm ，AD ＝5.4 cm ，AE ＝7.6 cm ，则相邻计数点间的时间间隔为______ s ，从打A 点到E 点共历时______ s ，从A 到E 纸带的平均速度是________ m/s ，打下B 点时的瞬时速度为______ m/s(计算结果均保留2位有效数字)。

答案 0.1 0.4 0.19 0.17
解析 由每两个相邻的计数点间还有4个点没画出来，打点计时器打点频率为50 Hz ，可得相邻计数点间的时间间隔 T ＝5×1f ＝5×1
50 s ＝0.1 s
由图可知，从打A 点到E 点有四个时间间隔，经历的时间为0.4 s 从A 到E 纸带的平均速度为
v －
＝AE 4T ＝7.64×0.1
×10－2 m/s ＝0.19 m/s
打下B 点时的瞬时速度为
v B ＝AC 2T ＝ 3.42×0.1×10－2 m/s ＝0.17 m/s 。

题组二 利用光电门测速度
3.用气垫导轨和数字计时器能更精确地测量物体的瞬时速度。

如图所示，滑块在牵引力作用下先后通过两个光电门，配套的数字计时器记录了遮光条通过第一个光电门的时间为Δt 1＝0.29 s ，通过第二个光电门的时间为Δt 2＝0.11 s ，已知遮光条的宽度为3.0 cm ，则滑块通过第一个光电门的速度为________ m/s ，通过第二个光电门的速度为________ m/s(结果均保留2位有效数字)。

答案 0.10 0.27
解析由于滑块经过光电门时遮光条的挡光时间较短，所以滑块经过光电门的速
度可用遮光条挡光时间内的平均速度表示。

经过第一个光电门的速度v1＝d
Δt1
＝
3.0×10－2 m
0.29 s≈0.10 m/s，经过第二个光电门的速度v2＝
d
Δt2
＝
3.0×10－2 m
0.11 s≈0.27
m/s。

题组三v－t图像
4.如图所示为某物体做直线运动的速度—时间图像，关于物体在0～6 s内的运动情况，下列说法正确的是()
A.0～2 s内物体做匀速直线运动
B.2～6 s内物体保持静止
C.0～2 s内和2～6 s内物体的运动方向不同
D.2 s末物体的速度大小为4 m/s
答案D
解析0～2 s内物体的速度随时间不断增大，物体的运动不是匀速直线运动，A 错误；2～6 s内物体以4 m/s的速度做匀速直线运动，B错误；0～6 s内物体的速度均为正值，因此在0～6 s内物体一直沿正方向运动，运动方向没有变化，C错误；2 s末物体的速度大小为4 m/s，D正确。

5. (多选)如图所示为甲、乙两质点运动的v－t图像，对于甲、乙两质点的运动，下列说法正确的是()
A.质点甲向所选定的正方向运动，质点乙与甲的运动方向相反
B.质点甲和乙的速度并不相同
C.在相同的时间内，质点甲、乙的位移相同
D.不管质点甲、乙是否从同一地点开始运动，它们之间的距离一定越来越大
答案AB
解析由v－t图像知，甲、乙两质点以大小相等、方向相反的速度做匀速直线运动，A、B正确；在相同的时间内，甲、乙两质点的位移等大、反向，C错误；由于甲、乙两质点的出发点无法确定，故甲、乙两质点的距离可能越来越大(如图甲所示)，也可能先变小再变大(如图乙所示)，D错误。

6.(多选)如图所示是A、B两个物体的速度图像，则下列说法正确的是()
A.A、B两物体运动方向一定相反
B.开始4 s内A物体的速度一直小于B物体的速度
C.t＝4 s时，A、B两物体的速度相同
D.A、B物体都做加速运动
答案BC
解析由题图可知，两物体的速度均为正值，故运动方向相同，故A错误；前4 s 内A的速度一直小于B的速度，故B正确；t＝4 s时，两图像相交，表示A、B
两物体的速度相同，故C正确；由图像可知，A物体做加速运动，B物体做减速运动，故D错误。

7.某矿井中的升降机由井底上升到井口过程中的v－t图像如图所示，根据图像下列判断正确的是()
A.2 s末升降机的速度达到最大
B.2～4 s升降机静止
C.1～2 s升降机的速度变化比4～5 s的速度变化大
D.1～2 s升降机的速度变化比4～5 s的速度变化快
答案A
解析由v－t图像可知，2 s末升降机的速度达到最大，A正确；2～4 s升降机做匀速运动，B错误；1～2 s升降机的速度变化没有4～5 s的速度变化大，1～2 s 升降机的速度变化比4～5 s的速度变化慢，C、D错误。

8.(2022·浙江玉环市坎门中学高一月考)在“用打点计时器测速度”的实验中
(1)需要的器材有：电磁打点计时器、复写纸片、导线、________、纸带、刻度尺。

(2)电磁打点计时器工作时使用________(选填“交流”或“直流”)电源，当电源的频率是50 Hz时，每隔________ s打一次点。

(3)下列说法正确的是________。

A.拖动纸带的同时，闭合电源开关
B.先闭合电源开关，让打点计时器正常工作时，拖动纸带
C.纸带上的打点密集，说明纸带运动速度较大
D.利用打出的纸带可以准确地求出打下某些点时纸带运动的瞬时速度
(4)如图是某同学拖着纸带运动打出的一条纸带，图中直尺的单位为cm，点O为纸带上记录的第一点，点A、B、C、D……依次表示点O以后连续的各点。

E点的读数____________ cm，纸带在打下E点时的速度为________ m/s(结果保留2
位有效数字)。

答案 (1)电源 (2)交流 0.02 (3)B (4)4.20 0.89
解析 (1)需要的器材除了电磁打点计时器、复写纸片、导线、纸带、刻度尺之外，还需要电源给打点计时器供电。

(2)电磁打点计时器工作时使用8 V 以下的低压交流电源，当电源的频率是50 Hz 时，每隔0.02 s 打一个点。

(3)实验时应先闭合电源开关，让打点计时器正常工作时，再拖动纸带，故A 错误，B 正确；纸带上的打点密集，说明纸带运动速度较小，故C 错误；利用打出的纸带，我们用某两点间的平均速度来粗略代表两点之间某一点的瞬时速度，并不是准确值，故D 错误。

(4)刻度尺的分度值为mm ，需要估读到0.1 mm ，所以E 点的读数为4.20 cm 。

用D 和F 两点间的平均速度来粗略代替打E 点的速度，即 v E ＝x F －x D 2T ＝（6.20－2.65）×10－22×0.02
m/s ≈0.89 m/s 。

9.某同学在“用打点计时器测速度”的实验中，电源频率为50 Hz ，用打点计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况，在纸带上确定出A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 共7个计数点。

相邻两个计数点间的距离如图所示，每两个相邻的计数点之间的时间间隔为0.1 s 。

(1)在实验中，使用打点计时器时应先____________再____________(选填“拉动纸带”或“启动电源”)。

(2)每两个计数点间还有________个计时点没有标出。

(3)试根据纸带上各个计数点间的距离，计算出打下B 、C 、D 三个点时小车的瞬
时速度，并将各个速度值填入下表(计算结果均保留3位有效数字)。

v B v C v D v E v F 数值(m/s)
0.640
0.721
(4)当t ＝0时质点位于A 点，将B 、C 、D 、E 、F 各个时刻的瞬时速度标在直角坐标系中，作出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线，并说明小车速度变化的特点。

答案 (1)启动电源 拉动纸带 (2)4
(3)0.400 0.479 0.560 (4)见解析图 小车的速度随时间均匀增大 解析 (1)在实验中，使用打点计时器时应先启动电源，再拉动纸带。

(2)每两个计数点间还有4个计时点没有标出。

(3)v B ＝（3.62＋4.38）×10－2
2×0.1 m/s ＝0.400 m/s ；
v C ＝（4.38＋5.20）×10－22×0.1 m/s ＝0.479 m/s ；
v D ＝（5.20＋5.99）×10－22×0.1
m/s ≈0.560 m/s 。

(4)图线如图所示，由图像知小车的速度随时间均匀增大。

10.让小球从斜面的顶端滚下，如图所示是用频闪照相机拍摄的小球在斜面上运动的一段过程，已知闪频为10 Hz ，且O 点是0.4 s 时小球所处的位置，试根据此图估算：
(1)小球从O 点到B 点的平均速度大小； (2)小球在A 点和B 点的瞬时速度大小。

答案 (1)0.8 m/s (2)0.8 m/s 1.0 m/s
解析 根据题意可知，相邻两次闪光的时间间隔T ＝1
10 s ＝0.1 s 。

(1)v －
OB ＝x OB t OB
＝16×10
－2
0.2
m/s ＝0.8 m/s 。

(2)小球在A 点时的瞬时速度 v A ＝x OB
t OB
＝0.8 m/s
小球在B 点时的瞬时速度
v B ＝x AC t AC
＝（27－7）×10－2
0.2 m/s ＝1.0 m/s 。