《高等工程力学》1 超静定结构内力计算
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其中 Rn ——当Xn＝1时引起的支座反力。 c——支座移动的距离。
1 超静定结构内力计算
§1.1.4超静定结构的位移计算
按照虚功原理，计算超静定结构位移时，若忽略轴力及剪力的影响，其计算
公式为：
s
MM EI
ds
在平面结构中结构位移计算的一般公式为：
s
MM EI
ds
s
NN EA
同理可以求出一端固定一端铰支等截面直杆（图1-3a）的转角位移方程。设 B端为铰，则MBA＝0
M AB
3i A
3i
l
M AB
(1-9)
当一端为固定另一端为滑动支承时（图1-3b），转角位移方程为。
M AB i A B M AB M BA iB A M BA
方程式代入，方程（1-11）中就只有各结点的转角作为未知数。如果结构中有n
个刚性结点，则可列出n个平衡方程。恰好解出方程中的n个基本来知数，即n个
刚性结点的转角。
解方程求出转角后再代回各杆端的转角位移方程中，就可以求出各杆端的内
力。
1 超静定结构内力计算
§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续1）
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力
⑴ 位移法典型方程 设一刚架如图1－5所示。其位移法基本体系如图b所示。
图1-5
当基本体系产生的位移Zl、Z2与原结构的实际位移相等时，附加刚臂的反力 矩应与实际结构在该处的受力情况一致，即反力矩应为零。
R1 R11 R12 R1P 0
1 超静定结构内力计算
(1-5)
其中 M i 、Qi 、N i 是基本体系由于Xi＝1作用而产生的弯矩、剪力和轴力。 MP、QP和NP是基本体系由于荷载作用而产生的弯矩、剪力和轴力。
1 超静定结构内力计算
§1.1.2力法的简化计算方法
对称性的利用。 所谓对称结构就是指结构的几何形状和支承情况对某轴对称，杆件截面和材 料性质也对此轴对称。 利用对称性可以使力法计算大为简化。 方法: 选用对称的基本体系使未知力也分成正对称和反对称两种。正对称的内力引 起的单位内力图是正对称的，反对称的内力引起的单位内力图是反对称的。正、 反的内力图形相乘的结果为零。这样力法方程中的一部分副系数为零，计算得到 一定程度的简化。为了获得正对称的和反对称的单位内力图，有时候采用组合未 知力的方法也是很有效的。如果能够进一步把荷载也分成正对称和反对称两部分， 则荷载弯矩图也有正对称和反对称的两部分，就会使一部分自由项也等于零，计 算获得进一步简化。
这三种类型的杆的转角位移方程是最基本的三种类型。
(1-10)
图1-3
1 超静定结构内力计算
§1.2.2位移法的基本来知数和基本体系
位移法以结点的位移作为基本未知数。但并不是每个结点位移都可以成为基 本来知数的。
刚性结点的角位移都是基本未知数。 结点的独立线位移是位移法的基本未知数
图1-4
确定刚架独立线位移数可以采用下述方法：把刚架所有刚性结点变成铰结点， 刚架体系是几何可变的，则原刚架有结点线位移。若增加链杆使此铰接体系变成 几何不变体系，则所增加的链杆数目就是原结构具有的独立位移的数目。这个方 法只适用于不考虑杆的轴向变形的情况。
rn1Z1 rn2 Z2 rnn Zn RnP 0
由反力互等定理可知
(1-13)
rjk rkj
1 超静定结构内力计算
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续2)
求出未知数Zl、Z2……Zn后，可用叠加法求杆端弯矩
M M1Z1 M 2Z2 M nZn M P
1 超静定结构内力计算
§1.1.3温度变化、支座移动引起的内力计算
超静定结构在温度变化和支座发生移动的情况下都会产生内力。这是超静定 结构的重要特点之一。其计算方法与荷载作用下的内力计算方法基本相同。当外 荷、温度变化和支座移动这三个因素同时存在时，结构的力法方程式为：
其中
11 X 1 12 X 2 1n X n 1p 1t 1c c1 21 X 1 22 X 2 2n X n 2 p 2t 2c c2
§1.1.1力法的基本原理（续4）
由力法方程解出未知力X1、X2、…Xn后，超静定结构的内力可根据叠加原理 用下式计算：
M M1X1 M2X2 MnXn MP Q Q1 X 1 Q2 X 2 Qn X n QP N N1X1 N2 X 2 Nn X n NP
§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力
⑴ 结点无线位移的情况 一般的无侧移刚架、连续梁等都属于这类结构。计算这类结构时，截取每一 个刚性结点，考虑其处于平衡状态。则
M jk 0
(1-11)
其中j表示截取的结点号，亦表示联结于结点j的各杆的近端，k表示各杆的
远端。该式表示联结于结点j各杆近端弯矩的代数和为零。将各杆端的转角位移
1 0 2 0 3 0
(1-1)
1 11 12 13 1p 0 2 21 22 23 2 p 0 3 31 32 33 3 p 0
(1-2)
令Δ11＝δ11X1，Δ12＝δ12X2，Δ13＝δ13X3，公式（1-2）就可以改写为：
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续1）
例题。
图1-1
可根据B支座截面的位移条件来计算未知力X1、X2和X3。计算依据是基本体系 中B截面在荷载和未知力共同作用下的位移应与原结构该截面实际的位移相同。
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续2）
三个位移条件，可以表示为三个方程式
1 超静定结构内力计算
1 超静定结构内力计算
目
1.1力法
录
1.2位移法
1 超静定结构内力计算
1.1力法
§1.1.1力法的基本原理
力法是计算超静定结构的一种基本方法。 基本原理是： 首先将超静定结构中的多余联系去掉，代之以多余未知力；相应于每一个多 余联系，就有一个多余未知力。去掉多余联系后，超静定结构就变成在荷载和多 余未知力共同作用下的静定结构。 力法的基本体系：从超静定结构中去掉多余联系而代之以未知力，这样获得 的静定的几何不变体系。 基本未知数：多余未知力。 基本体系的选择：拟定出去掉多余联系的各种可能方案，选择其中一个作为 基本体系。基本体系应该是几何不变的。选择基本体系的原则应使计算尽可能简 单和方便。
2EI l
A
4EI l
B
6EI l2
AB
M BA
令 i EI ，称为杆的线刚度，则
l
M AB
2i
2
A
B
l
M
AB
M BA
2i
A
2 B
l
M BA
(1-8)
这就是两端固定等截面直杆的转角位移方程。
1 超静定结构内力计算
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续2）
h
N nt 0ds
1 超静定结构内力计算
§1.1.3——线膨胀系数； t/——杆件两侧温差； t0——杆件轴线温升（降）； h——杆截面高度； nc——由于支座移动引起基本体系Xn的作用点沿Xn方向的位移。
nc可由几何关系确定或由虚功原理计算。
nc Rn c
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续3）
如对于有n个多余未知力的结构，力法典型方程式为
11 X 1 12 X 2 1n X n 1p 0 21 X 1 22 X 2 2n X n 2 p 0
(1-4)
n1 X 1 n2 X 2 nn X n np 0
式中 Xi——第i个多余未知力； δik——当Xk＝1时引起基本体系Xi力作用点沿Xi方向的位移。 Δip——荷载作用下基本体系Xi力作用点沿Xi方向的位移。
δii称为主系数，δik正称为副系数。根据位移互等定理
ik ki 所以在计算副系数时，只需计算一半数目的副系数即可。
1 超静定结构内力计算
ds
s
KQ Qds GA
s
Nt
0
ds
s
Mt
h
ds
RK
c
K
(1-7)
其中 M、Q、N——超静定结构在各种因素作用下的内力图。
M
i
、Q
、
i
N
i
——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在
要求位移的截面上的；
RK ——基本体系支座k在单位力作用下的反力； cK——k支座的实际位移。 公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，
1 超静定结构内力计算
§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续2）
⑶ 考虑结点和截面平衡法的解题步骤 ① 确定结构的未知数。 ② 列出各杆端的转角位移方程。 ③ 列出各刚性结点的和相应截面的平衡方程式。 ④ 解平衡方程式求未知位移。 ⑤ 将位移代回转角位移方程求各杆端弯矩。
1 超静定结构内力计算
图1-2
1 超静定结构内力计算
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）
AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为
M AB
M
/ AB
M
// AB
M
/// AB
M AB
4
EI l
A
2E l
I
B
6E l2
I
AB
M AB
M BA
M
/ BA
M
// BA
M /// BA
M BA
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1p 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 p 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 p 0
解此联立方程式便可以求出未知数X1、X2、X3。
(1-3)
⑵ 应用位移法典型方程求解超静定结构内力的步骤：
(1-14)
① 确定结构基本未知数的数目。
② 对结构施加附加约束形成基本体系。
③ 画出基本体系在单位位移作用下的弯矩图。
④ 截取各已经施加了附加约束的结点。由弯矩平衡方程（ΣMj＝0）求附加 刚臂的反力rjk。
1 超静定结构内力计算
§1.2.2位移法的基本来知数和基本体系（续）
对每一个刚性结点都附加一个刚臂以限制结点的转角。同时，对每一个独立 线位移加上一个相应的附加链杆以限制其线位移。这样，结构就变成了一个没有 任何结点位移的，由单跨超静定梁组成的组合体。这样的组合体就是位移法的基 本体系。
1 超静定结构内力计算
后三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
§1.2位移法
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式 位移法以结点的位移（角位移和线位移）作为基本来知数，根据求出的位移
计算各杆的内力。因此，必须首先建立各杆件的杆端位移与杆端的内力之间的关 系。这就是转角位移方程。
设一结构中某杆AB。结构受荷载作用的变形如图1-2所示。
(1-6)
n1 X 1 n2 X 2 nn X n np nt nc cn
c1，c2…cn——原结构在未知力作用点对应于未知力方向的实际位移； nt——温度变化引起基本体系Xn的作用点沿Xn方向的位移
nt
M nt ds
⑵ 有结点线位移的情况 计算这类结构时；原利用公式（1-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑 相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶 端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总 是可以求解的。
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续1)
同理附加链杆处的反力也为零，即
R2 R21 R22 R2P 0
或写成
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
对于有n个基本未知数的结构，位移法典型方程式为：
r11Z1 r12 Z2 r1n Zn R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r2n Zn R2P 0
1 超静定结构内力计算
§1.1.4超静定结构的位移计算
按照虚功原理，计算超静定结构位移时，若忽略轴力及剪力的影响，其计算
公式为：
s
MM EI
ds
在平面结构中结构位移计算的一般公式为：
s
MM EI
ds
s
NN EA
同理可以求出一端固定一端铰支等截面直杆（图1-3a）的转角位移方程。设 B端为铰，则MBA＝0
M AB
3i A
3i
l
M AB
(1-9)
当一端为固定另一端为滑动支承时（图1-3b），转角位移方程为。
M AB i A B M AB M BA iB A M BA
方程式代入，方程（1-11）中就只有各结点的转角作为未知数。如果结构中有n
个刚性结点，则可列出n个平衡方程。恰好解出方程中的n个基本来知数，即n个
刚性结点的转角。
解方程求出转角后再代回各杆端的转角位移方程中，就可以求出各杆端的内
力。
1 超静定结构内力计算
§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续1）
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力
⑴ 位移法典型方程 设一刚架如图1－5所示。其位移法基本体系如图b所示。
图1-5
当基本体系产生的位移Zl、Z2与原结构的实际位移相等时，附加刚臂的反力 矩应与实际结构在该处的受力情况一致，即反力矩应为零。
R1 R11 R12 R1P 0
1 超静定结构内力计算
(1-5)
其中 M i 、Qi 、N i 是基本体系由于Xi＝1作用而产生的弯矩、剪力和轴力。 MP、QP和NP是基本体系由于荷载作用而产生的弯矩、剪力和轴力。
1 超静定结构内力计算
§1.1.2力法的简化计算方法
对称性的利用。 所谓对称结构就是指结构的几何形状和支承情况对某轴对称，杆件截面和材 料性质也对此轴对称。 利用对称性可以使力法计算大为简化。 方法: 选用对称的基本体系使未知力也分成正对称和反对称两种。正对称的内力引 起的单位内力图是正对称的，反对称的内力引起的单位内力图是反对称的。正、 反的内力图形相乘的结果为零。这样力法方程中的一部分副系数为零，计算得到 一定程度的简化。为了获得正对称的和反对称的单位内力图，有时候采用组合未 知力的方法也是很有效的。如果能够进一步把荷载也分成正对称和反对称两部分， 则荷载弯矩图也有正对称和反对称的两部分，就会使一部分自由项也等于零，计 算获得进一步简化。
这三种类型的杆的转角位移方程是最基本的三种类型。
(1-10)
图1-3
1 超静定结构内力计算
§1.2.2位移法的基本来知数和基本体系
位移法以结点的位移作为基本未知数。但并不是每个结点位移都可以成为基 本来知数的。
刚性结点的角位移都是基本未知数。 结点的独立线位移是位移法的基本未知数
图1-4
确定刚架独立线位移数可以采用下述方法：把刚架所有刚性结点变成铰结点， 刚架体系是几何可变的，则原刚架有结点线位移。若增加链杆使此铰接体系变成 几何不变体系，则所增加的链杆数目就是原结构具有的独立位移的数目。这个方 法只适用于不考虑杆的轴向变形的情况。
rn1Z1 rn2 Z2 rnn Zn RnP 0
由反力互等定理可知
(1-13)
rjk rkj
1 超静定结构内力计算
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续2)
求出未知数Zl、Z2……Zn后，可用叠加法求杆端弯矩
M M1Z1 M 2Z2 M nZn M P
1 超静定结构内力计算
§1.1.3温度变化、支座移动引起的内力计算
超静定结构在温度变化和支座发生移动的情况下都会产生内力。这是超静定 结构的重要特点之一。其计算方法与荷载作用下的内力计算方法基本相同。当外 荷、温度变化和支座移动这三个因素同时存在时，结构的力法方程式为：
其中
11 X 1 12 X 2 1n X n 1p 1t 1c c1 21 X 1 22 X 2 2n X n 2 p 2t 2c c2
§1.1.1力法的基本原理（续4）
由力法方程解出未知力X1、X2、…Xn后，超静定结构的内力可根据叠加原理 用下式计算：
M M1X1 M2X2 MnXn MP Q Q1 X 1 Q2 X 2 Qn X n QP N N1X1 N2 X 2 Nn X n NP
§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力
⑴ 结点无线位移的情况 一般的无侧移刚架、连续梁等都属于这类结构。计算这类结构时，截取每一 个刚性结点，考虑其处于平衡状态。则
M jk 0
(1-11)
其中j表示截取的结点号，亦表示联结于结点j的各杆的近端，k表示各杆的
远端。该式表示联结于结点j各杆近端弯矩的代数和为零。将各杆端的转角位移
1 0 2 0 3 0
(1-1)
1 11 12 13 1p 0 2 21 22 23 2 p 0 3 31 32 33 3 p 0
(1-2)
令Δ11＝δ11X1，Δ12＝δ12X2，Δ13＝δ13X3，公式（1-2）就可以改写为：
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续1）
例题。
图1-1
可根据B支座截面的位移条件来计算未知力X1、X2和X3。计算依据是基本体系 中B截面在荷载和未知力共同作用下的位移应与原结构该截面实际的位移相同。
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续2）
三个位移条件，可以表示为三个方程式
1 超静定结构内力计算
1 超静定结构内力计算
目
1.1力法
录
1.2位移法
1 超静定结构内力计算
1.1力法
§1.1.1力法的基本原理
力法是计算超静定结构的一种基本方法。 基本原理是： 首先将超静定结构中的多余联系去掉，代之以多余未知力；相应于每一个多 余联系，就有一个多余未知力。去掉多余联系后，超静定结构就变成在荷载和多 余未知力共同作用下的静定结构。 力法的基本体系：从超静定结构中去掉多余联系而代之以未知力，这样获得 的静定的几何不变体系。 基本未知数：多余未知力。 基本体系的选择：拟定出去掉多余联系的各种可能方案，选择其中一个作为 基本体系。基本体系应该是几何不变的。选择基本体系的原则应使计算尽可能简 单和方便。
2EI l
A
4EI l
B
6EI l2
AB
M BA
令 i EI ，称为杆的线刚度，则
l
M AB
2i
2
A
B
l
M
AB
M BA
2i
A
2 B
l
M BA
(1-8)
这就是两端固定等截面直杆的转角位移方程。
1 超静定结构内力计算
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续2）
h
N nt 0ds
1 超静定结构内力计算
§1.1.3——线膨胀系数； t/——杆件两侧温差； t0——杆件轴线温升（降）； h——杆截面高度； nc——由于支座移动引起基本体系Xn的作用点沿Xn方向的位移。
nc可由几何关系确定或由虚功原理计算。
nc Rn c
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续3）
如对于有n个多余未知力的结构，力法典型方程式为
11 X 1 12 X 2 1n X n 1p 0 21 X 1 22 X 2 2n X n 2 p 0
(1-4)
n1 X 1 n2 X 2 nn X n np 0
式中 Xi——第i个多余未知力； δik——当Xk＝1时引起基本体系Xi力作用点沿Xi方向的位移。 Δip——荷载作用下基本体系Xi力作用点沿Xi方向的位移。
δii称为主系数，δik正称为副系数。根据位移互等定理
ik ki 所以在计算副系数时，只需计算一半数目的副系数即可。
1 超静定结构内力计算
ds
s
KQ Qds GA
s
Nt
0
ds
s
Mt
h
ds
RK
c
K
(1-7)
其中 M、Q、N——超静定结构在各种因素作用下的内力图。
M
i
、Q
、
i
N
i
——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在
要求位移的截面上的；
RK ——基本体系支座k在单位力作用下的反力； cK——k支座的实际位移。 公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，
1 超静定结构内力计算
§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续2）
⑶ 考虑结点和截面平衡法的解题步骤 ① 确定结构的未知数。 ② 列出各杆端的转角位移方程。 ③ 列出各刚性结点的和相应截面的平衡方程式。 ④ 解平衡方程式求未知位移。 ⑤ 将位移代回转角位移方程求各杆端弯矩。
1 超静定结构内力计算
图1-2
1 超静定结构内力计算
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）
AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为
M AB
M
/ AB
M
// AB
M
/// AB
M AB
4
EI l
A
2E l
I
B
6E l2
I
AB
M AB
M BA
M
/ BA
M
// BA
M /// BA
M BA
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1p 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 p 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 p 0
解此联立方程式便可以求出未知数X1、X2、X3。
(1-3)
⑵ 应用位移法典型方程求解超静定结构内力的步骤：
(1-14)
① 确定结构基本未知数的数目。
② 对结构施加附加约束形成基本体系。
③ 画出基本体系在单位位移作用下的弯矩图。
④ 截取各已经施加了附加约束的结点。由弯矩平衡方程（ΣMj＝0）求附加 刚臂的反力rjk。
1 超静定结构内力计算
§1.2.2位移法的基本来知数和基本体系（续）
对每一个刚性结点都附加一个刚臂以限制结点的转角。同时，对每一个独立 线位移加上一个相应的附加链杆以限制其线位移。这样，结构就变成了一个没有 任何结点位移的，由单跨超静定梁组成的组合体。这样的组合体就是位移法的基 本体系。
1 超静定结构内力计算
后三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
§1.2位移法
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式 位移法以结点的位移（角位移和线位移）作为基本来知数，根据求出的位移
计算各杆的内力。因此，必须首先建立各杆件的杆端位移与杆端的内力之间的关 系。这就是转角位移方程。
设一结构中某杆AB。结构受荷载作用的变形如图1-2所示。
(1-6)
n1 X 1 n2 X 2 nn X n np nt nc cn
c1，c2…cn——原结构在未知力作用点对应于未知力方向的实际位移； nt——温度变化引起基本体系Xn的作用点沿Xn方向的位移
nt
M nt ds
⑵ 有结点线位移的情况 计算这类结构时；原利用公式（1-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑 相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶 端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总 是可以求解的。
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续1)
同理附加链杆处的反力也为零，即
R2 R21 R22 R2P 0
或写成
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
对于有n个基本未知数的结构，位移法典型方程式为：
r11Z1 r12 Z2 r1n Zn R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r2n Zn R2P 0