湖南省衡阳八中、永州四中2018学年高一下学期第一次联考数学试卷文科实验班 含解析

2018-2018学年湖南省衡阳八中、永州四中高一（下）第一次联考数学试卷（文科）（实验班）一.选择题（每题5分，共60分．在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的）1．若角α的终边过点P（4，﹣3），则cosαtanα的值为（）A．B．C． D．﹣32．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度3．在△ABC中，A=60°，a=4，b=，则B等于（）A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对4．若向量||=，||=2，（﹣）⊥，则、的夹角是（）A．B．C． D．5．已知的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S3﹣3S2=12，则数列{a n}的公差是（）A．1 B．2 C．3 D．46．若数列{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2018+a2018＞0，a2018．a2018＜0，则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4018 B．4018 C．4018 D．40187．若a＞0，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a在R上的解集不是空集的a的取值是（）A．0＜a＜1 B．a=1 C．a＞1 D．以上均不对8．若，则cosα+sinα的值为（）A．B． C．D．9．己知f（x）=x2﹣2x+2，在[，m2﹣m+2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为三边的三角形，则m的取值范围为（）A．（0，1）B．[0，）C．（0，] D．[，]10．已知向量=（2，0），=（0，2），=（cosα，sinα），则与夹角的范围是（）A．[，]B．[0，] C．[，]D．[，]11．已知一次函数f （x ）=kx +b 的图象经过点P （1，2）和Q （﹣2，﹣4），令a n =f （n ）f （n +1），n ∈N *，记数列{}的前项和为S n ，当时，n 的值等于（ ）A ．24B ．25C ．23D ．2612．设x 、y 满足约束条件若目标函数z=ax +by （a ＞0，b ＞0）的最大值为12，则a 2+b 2的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二.填空题（每题5分，共20分）13．已知函数f （x ）=sin （2x +）（0≤x ＜π），且f （α）=f （β）=（α≠β），则α+β= ．14．已知α为第三象限的角，sin α=﹣，则tan2α= ．15．在△ABC 中，AB=1，BC=，AC=，若G 为BC 的中点，则•= ．16．设等比数列{a n }的前n 项和为S n （n ∈N*）．若S 3，S 9，S 6成等差数列，则的值是 ．三.解答题（请写出相应的文字说明、公式定理和解答过程，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）17．已知．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求的值．18．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C ，所对的边，且满足．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a +c=5，且a ＞c ，b=，求的值．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若4S n =（2n ﹣1）a n +1+1，且a 1=1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设c n =，数列{c n }的前n 项和为T n ．①求T n ；②对于任意的n ∈N *及x ∈R ，不等式kx 2﹣6kx +k +7+3T n ＞0恒成立，求实数k 的取值范围． 20．设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A （1，3），B （2，﹣2），C （4，1）．（1）若=，求D 点的坐标；（2）设向量=， =，若k ﹣与+3平行，求实数k 的值．21．已知函数f （x ）=Asin （x +），x ∈R ，且f （）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．22．在等比数列{a n}中，a1=2，a3，a2+a4，a5成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1++…+=a n（n∈N*），{b n}的前n项和为S n，求使S n﹣na n+6≥0成立的正整数n的最大值．2018-2018学年湖南省衡阳八中、永州四中高一（下）第一次联考数学试卷（文科）（实验班）参考答案与试题解析一.选择题（每题5分，共60分．在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的）1．若角α的终边过点P（4，﹣3），则cosαtanα的值为（）A．B．C． D．﹣3【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵α的终边经过点P（4，﹣3），∴r=5，∴cosαtanα=sinα=﹣，故选：A．2．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．3．在△ABC中，A=60°，a=4，b=，则B等于（）A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对【考点】正弦定理．【分析】由sinA，a，b的值，利用正弦定理求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，a=4，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，又b ＜a ，则B=45°， 故选：C ．4．若向量||=，||=2，（﹣）⊥，则、的夹角是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积的定义、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵向量||=，||=2，（﹣）⊥，设向量与的夹角是θ．∴=﹣=2﹣2cos θ=0，∴cos θ=．∵θ∈[0，π]，∴θ=．故选：D ．5．已知的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S 3﹣3S 2=12，则数列{a n }的公差是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【考点】等差数列的通项公式．【分析】设数列{a n }的公差是d ，由2S 3﹣3S 2=12，可得2（a 1+a 2+a 3）﹣3（a 1+a 2）=12，再利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】解：设数列{a n }的公差是d ， ∵2S 3﹣3S 2=12，∴2（a 1+a 2+a 3）﹣3（a 1+a 2）=12， ∴3d=12，解得d=4． 故选：D ．6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2018+a 2018＞0，a 2018．a 2018＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是（ ） A ．4018 B ．4018 C ．4018 D ．4018 【考点】等差数列的通项公式．【分析】对于首项大于零的递减的等差数列，第2018项与2018项的和大于零，积小于零，说明第2018项大于零且2018项小于零，且2018项的绝对值比2018项的要大，由等差数列前n 项和公式可判断结论． 【解答】解：解法1：由a 2018+a 2018＞0，a 2018•a 2018＜0，知a 2018和a 2018两项中有一正数一负数，又a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2018＞a 2018，即a 2018＞0，a 2018＜0．∴S 4018==＞0，∴S4018=•（a1+a4018）=4018•a2018＜0，故4018为S n＞0的最大自然数．选B．解法2：由a1＞0，a2018+a2018＞0，a2018•a2018＜0，同解法1的分析得a2018＞0，a2018＜0，∴S2018为S n中的最大值．∵S n是关于n的二次函数，如草图所示，∴2018到对称轴的距离比2018到对称轴的距离小，∴在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4018在图象中右侧零点B的左侧，4018，4018都在其右侧，S n＞0的最大自然数是4018．7．若a＞0，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a在R上的解集不是空集的a的取值是（）A．0＜a＜1 B．a=1 C．a＞1 D．以上均不对【考点】绝对值不等式．【分析】法一：先求不等式|x﹣3|+|x﹣4|的最大值，要求解集不是空集时实数a的取值范围，只要a大于不等式|x﹣3|+|x﹣4|的最大值即可．法二：不等式的解集不是空集，只需a大于|x﹣3|+|x﹣4|的最小值即可，利用绝对值三角不等式可求它的最小值．【解答】解：法一：|x﹣3|+|x﹣4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和，当x在3、4之间时，这个距离和最小，是1．其它情况都大于1所以|x﹣3|+|x﹣4|≥1如果不是空集，所以a＞1法二：∵|x﹣3|+|x﹣4|≥|（x﹣3）﹣（x﹣4）|=1，∴（|x﹣3|+|x﹣4|）min=1当a≤1时，|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集为∅，所以a＞1．故选C．8．若，则cosα+sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论．【解答】解：∵，∴，故选C9．己知f（x）=x2﹣2x+2，在[，m2﹣m+2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为三边的三角形，则m的取值范围为（）A．（0，1）B．[0，）C．（0，] D．[，]【考点】函数与方程的综合运用．【分析】先把二次函数解析式配方，然后根据自变量x的范围x∈[，m2﹣m+2]，求出f（x）的最大值和最小值，根据三角形的两边之和大于第三边，由最小值的2倍大于最大值，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．【解答】解：f（x）=x2﹣2x+2的对称轴为x=1，在[，m2﹣m+2]上，由于m2﹣m+2＞1恒成立，即有x=1处取得最小值1，由于m2﹣m+2﹣1=m2﹣m+1=（m﹣）2+≥=1﹣，即有x=m2﹣m+2处取得最大值，且为（m2﹣m+1）2+1，不妨设f（a）=f（b）=1，f（c）=（m2﹣m+1）2+1，由以f（a），f（b），f（c）为三边的三角形，由构成三角形的条件可得2＞（m2﹣m+1）2+1，解得0＜m＜1．故选A．10．已知向量=（2，0），=（0，2），=（cosα，sinα），则与夹角的范围是（）A．[，]B．[0，] C．[，]D．[，]【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】计算向量的模长，得到点A在以C（0，2）为圆心，为半径的圆上，利用数形结合，由图来分析其夹角的最大值、最小值点，结合解三角形的有关知识进而得到答案．【解答】解：∵=（2，0），=（0，2），=（cosα，sinα），∴||==，A的轨迹是以C（2，0）为圆心，以为半径的圆在△COD中，OC=2，CD=，∠CDO=，所以∠COD=，所以当A在D处时，则与夹角最小为，当A在E处时与夹角最大为，∴与夹角的取值范围是[]，故选：D．11．已知一次函数f（x）=kx+b的图象经过点P（1，2）和Q（﹣2，﹣4），令a n=f（n）f（n+1），n∈N*，记数列{}的前项和为S n，当时，n的值等于（）A．24 B．25 C．23 D．26【考点】数列的求和．【分析】由已知条件，先求出f（x），再由a n=f（n）f（n+1），n∈N*，求出a n，由此利用裂项求和法能求出数列{}的前项和为S n，从而能求出时，n的值．【解答】解：∵一次函数f（x）=kx+b的图象经过点P（1，2）和Q（﹣2，﹣4），∴，解得k=2，b=0，∴f（x）=2x，∵a n=f（n）f（n+1），n∈N*，∴a n=2n•2（n+1）=4n（n+1），∴==，∴S n====，解得n=24．故选：A．12．设x、y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则a2+b2的最小值为（）A．B．C． D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用点直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（4，3）．此时z=4a+3b=12，a2+b2的几何意义为直线4a+3b=12上的点到原点的距离的平方，则原点到4a+3b=12上的最短距离d==，则a2+b2的最小值为d2=（）2=，故选：C ．二.填空题（每题5分，共20分）13．已知函数f （x ）=sin （2x +）（0≤x ＜π），且f （α）=f （β）=（α≠β），则α+β=．【考点】正弦函数的图象．【分析】解法一：不妨假设α＜β，由题意可得α+β∈（，），再利用f （α）=f （β）=（α≠β），以及和差化积公式求得cos （α+β+）=0，求得=，从而求得α+β的值．解法二：利用正弦函数的图象的对称性可得2α++2β+=2•，由此求得α+β的值．【解答】解：解法一：∵函数f （x ）=sin （2x +）（0≤x ＜π），∴2x +∈[，）．∵f （α）=sin （2α+）=f （β）=sin （2β+）=∈（0，），（α≠β），不妨假设α＜β，则 2α+∈（，π），2β+∈（2π，），∴α+∈（，），β+∈（π，），∴α∈（，），β∈（，），∴α+β∈（，）．再根据 sin （2α+）﹣sin （2β+）=2cos sin =2cos （α+β+）sin （α﹣β）=0，∴cos （α+β+）=0，∴=，或=，则α+β=（舍去）或α+β=，故答案为：．解法二：∵函数f （x ）=sin （2x +）（0≤x ＜π），∴2x +∈[，）．∵f （α）=f （β）=（α≠β），则由正弦函数的图象的对称性可得 2α++2β+=2•，即 α+β=，故答案为：．14．已知α为第三象限的角，sin α=﹣，则tan2α=．【考点】二倍角的正切．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而利用二倍角的正切函数公式即可求值得解．【解答】解：∵α为第三象限的角，sinα=﹣，∴cosα=﹣=﹣，tan=，∴tan2α==．故答案为：．15．在△ABC中，AB=1，BC=，AC=，若G为BC的中点，则•=2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件可以判断△ABC为Rt△，∠B=90°，并得出，求出cos，而，这样进行数量积的运算便可求出的值．【解答】解：∵AB2+BC2=AC2；∴∠B=90°如图，在Rt△ABC中，；∵G为BC中点；∴；∴====2．故答案为：2．16．设等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*）．若S3，S9，S6成等差数列，则的值是．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设等比数列{a n}的公比为q、首项是a1，根据公比q与1的关系进行分类，由等比数列的前n项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简所求的式子即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q、首项是a1，当q=1时，有S3=3a1、S9=9a1、S6=a1，不满足S3，S9，S6成等差数列；当q≠1时，因为S3，S9，S6成等差数列，所以2×=+，化简得2q6﹣q3﹣1=0，解得q3=或q3=1（舍去），则===，故答案为：．三.解答题（请写出相应的文字说明、公式定理和解答过程，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）17．已知．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（Ⅰ）利用和角的正切公式，化简可求tanα的值；（Ⅱ）利用二倍角公式，再弦化切，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）因为=，所以；（Ⅱ）===．18．在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C，所对的边，且满足．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a+c=5，且a＞c，b=，求的值．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，然后将所求的式子利用平面向量的数量积运算法则化简后，将b，c及cosA的值代入即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）∵a﹣2bsinA=0，∴sinA﹣2sinBsinA=0，…∵sinA≠0，∴sinB=，…又B为锐角，则B=；…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知B=，又b=，根据余弦定理，得b2=7=a2+c2﹣2accos，…整理得：（a+c）2﹣3ac=7，∵a+c=5，∴ac=6，又a＞c，可得a=3，c=2，…∴cosA===，…则=||•||cosA=cbcosA=2××=1．…19．已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1，且a1=1．+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n．①求T n；②对于任意的n∈N*及x∈R，不等式kx2﹣6kx+k+7+3T n＞0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）充分利用已知4S n=（2n﹣1）a n+1，将式子中n换成n﹣1，然后相减得到a n与+1a n的关系，利用累乘法得到数列的通项，+1（2）①利用裂项求和，即可求出T n，②根据函数的思想求出≥，问题转化为kx2﹣6kx+k+8＞0恒成立，分类讨论即可．+1，【解答】解：（1）∵4S n=（2n﹣1）a n+1=（2n﹣3）a n+1，n≥2∴4S n﹣1∴4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n，整理得（2n+1）a n=（2n﹣1）a n+1，即=，∴=3，=，…，=以上各式相乘得=2n﹣1，又a1=1，所以a n=2n﹣1，（2）①∵c n===（﹣），∴T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，②由①可知T n=，∴≥，∵kx2﹣6kx+k+7+3T n＞0恒成立，∴kx2﹣6kx+k+8＞0恒成立，当k=0时，8＞0恒成立，当k≠0时，则得，解得0＜k＜1，综上所述实数k的取值范围为[0，1）．20．设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，﹣2），C（4，1）．（1）若=，求D点的坐标；（2）设向量=，=，若k﹣与+3平行，求实数k的值．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；相等向量与相反向量．【分析】（1）利用向量相等即可得出；（2）利用向量共线定理即可得出．【解答】解：（1）设D（x，y）．∵，∴（2，﹣2）﹣（1，3）=（x，y）﹣（4，1），化为（1，﹣5）=（x﹣4，y﹣1），∴，解得，∴D（5，﹣4）．（2）∵=（1，﹣5），==（4，1）﹣（2，﹣2）=（2，3）．∴=k （1，﹣5）﹣（2，3）=（k ﹣2，﹣5k ﹣3），=（1，﹣5）+3（2，3）=（7，4）．∵k ﹣与+3平行，∴7（﹣5k ﹣3）﹣4（k ﹣2）=0，解得k=．∴．21．已知函数f （x ）=Asin （x +），x ∈R ，且f （）=．（1）求A 的值；（2）若f （θ）+f （﹣θ）=，θ∈（0，），求f （﹣θ）．【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由函数f （x ）的解析式以及f （）=，求得A 的值．（2）由（1）可得 f （x ）=sin （x +），根据f （θ）+f （﹣θ）=，求得cos θ 的值，再由 θ∈（0，），求得sin θ 的值，从而求得f （﹣θ） 的值．【解答】解：（1）∵函数f （x ）=Asin （x +），x ∈R ，且f （）=．∴Asin （+）=Asin=A •=，∴A=．（2）由（1）可得 f （x ）=sin （x +），∴f （θ）+f （﹣θ）=sin （θ+）+sin （﹣θ+）=2sin cos θ=cos θ=，∴cos θ=，再由 θ∈（0，），可得sin θ=．∴f （﹣θ）=sin （﹣θ+）=sin （π﹣θ）=sin θ=．22．在等比数列{a n }中，a 1=2，a 3，a 2+a 4，a 5成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1++…+=a n （n ∈N *），{b n }的前n 项和为S n ，求使S n ﹣na n +6≥0成立的正整数n 的最大值．【考点】数列的求和． 【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程关系进行求解即可．（2）利用方程法求出数列{b n }的通项公式，利用错位相减法求出{b n }的前n 项和公式，解不等式即可．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=2，a3，a2+a4，a5成等差数列．∴2（a2+a4）=a3+a5，即2（a2+a4）=q（a2+a4），∴q=2，则a n=a1q n﹣1=2×2n﹣1=2n，即；（2）∵数列{b n}满足b1+，，∴b1++…++=a n+1﹣a n=2n+1﹣2n=2n，两式相减得=a n+1=（n+1）•2n，即b n=n•2n﹣1，n≥2，则b n+1当n=1时，b1=a1=2，不满足b n=n•2n﹣1，n≥2．即b n=．当n=1时，不等式等价为S1﹣a1+6=6≥0成立，当n≥2时，S n=2+2•21+3•22+4•23+…+n•2n﹣1，①则2S n=4+2•22+3•23+4•24+…+n•2n，②②﹣①，得S n=2+2•21﹣22﹣23﹣24﹣…﹣2n﹣1+n•2n=6﹣+n•2n=6+n•2n=6+4﹣2n+1+n•2n=10+（n﹣2）•2n，则当n≥2时，不等式S n﹣na n+6≥0等价为10+（n﹣2）•2n﹣n•2n+6≥0，即16﹣2•2n≥0，则2n≤8，得n≤3，则n的最大值是3．2018年10月19日。