八年级正方形的性质和判定

正方形的性质和判定
1、互动探索
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角，因此它既是矩形又是菱形，那么今天我们看下面图形来研究下它的性质和判定方法。

知识点一（正方形的性质和判定）
【知识梳理】
1、定义：有一组邻边并且有一角是的形叫做正方形。

2、性质：①正方形的四个角都是，四条边都。

②正方形的两条对角线，并且互相，每条对角线。

3、判定：
①的矩形是正方形。

②的菱形是正方形。

③两条对角线，且互相垂直平分的四边形是正方形。

④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形。

4.面积：①正方形面积=边长的平方 S=a×a(S表示正方形的面积，a表示正方形的边长)
②对角线乘积的一半
5.周长：正方形周长=边长×4 用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则C=4a
【例题精讲】
例1.
1、如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边重点连线EF为边的正方形EFGH的周长
为。

（第1题）（第2题）
2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，正方形ABCD的边长为3，则△ECF的周长为。

3、如图，正方形ABCD的边长为7，点E、F分别在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的个动点，则PE+PF的最小值。

（第3题）（第4题）
4、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为。

【课堂练习】
1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是。

2、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠BCP度数是。

（第1题）（第2题）（第3题）
3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为。

4、如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别为BC和AB的中点，P为AC上一个动点，则PE+PF的最
小值为．
（第4题）
知识点二（正方形的判定）
【知识梳理】
正方形的判定：
①的矩形是正方形。

②的菱形是正方形。

③两条对角线，且互相垂直平分的四边形是正方形。

④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形。

【例题精讲】
例1.
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上的一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时．①四边形BECD是形；②则当∠A等于度时，四边形BECD是正方形。

2、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．（1）求证：四边形AFHG为正方形；（2）若BD=6，CD=4，求AB的长。

【课堂练习】
1、如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、CD上的点，且∠CFE=60°，将四边形BCFE沿EF 翻折，得到B′C′FE，C′恰好落在AD边上，B′C′交AB于点G，则GE的长是。

2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：四边形DFAE为正方形。

3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD边上的点，CE=DF，AE与BF交于点M求证：AE⊥BF。

【例题精讲】
例1.
1、如图，E是正方形ABCD中AD边上的中点，BD、CE相交于F点，（1）求证：EB=EC；（2）求证：∠DAF=∠DCF；（3）求证：AF∠BE；（4）过F作FG∠BE交BC于G，求证：FG=FC。

.
2、如图，已知正方形ABCD，点P在对角线BD上，PE⊥PA交BC于E，PF⊥BC，垂足为F点，（1）求证：∠PEC=∠BAP；（2）求证：EF=FC；（3）求证：DP=2CF。

3、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连AE交对角线BD于F，过F作FG∠AE交BC于G．（1）求证：AF=FC；（2）求证：∠FAG=45°。

4、如图，正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上的一点，连接FE并延长与CD的延长线相交于点G，作EH∠FG交BC的延长线于点H；（1）若BC=8，BF=5，求线段FG的长；（2）求证：EH=2EG。

【课堂练习】
1、如图．在正方形ABCD中，点E是BC边上的中点，EF⊥AC于点F．连接DF并延长交BC于G．过F 作FM⊥DG交CD于N，交BC的延长线于点M．（1）求证：△FEG≌△FCN；（2）猜想CG与EG的数量关系．并说明理由；（3）若AB=6．求△FCM的面积。

2、已知：如图正方形ABCD中，AE与BD交于F，过点F作MN∥AB，交AD于M，交BC于点N，FH⊥AE，HG⊥BD．（1）求证：AF=FH；（2）求证：BD=2GF。

【例题精讲】——利用正方形的性质和特殊角构造三垂直模型求点的坐标
1、如图，A（-1,0），B（0,3），以AB为边作正方形ABCD，求C，D的坐标。

2、如图，E（-2,0），A（0,4），延长EA至D，使AD=AE，四边形ADCB为正方形，（1）求点C的坐标；（2）求CE的长。

【课堂练习】
1、如图，边长为2的正方形OABC的OA边与y轴的夹角为30°，求B,C的坐标。

2、如图，已知边长为l的正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第一象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是。

【例题精讲】——处理2问题的关键是利用条件构造等腰直角三角形
基本图形
基本结论：
例1.
1、如图，点O为正方形ABCD的对角线的交点，E为正方形外一点，且AE⊥BE。

（1）求∠OEB的度数；（2）求证：EA+EB=2OE
变式：如图，若上题中的E点在正方形内部，其他条件不变（1）求∠OEB的度数；（2）试探究EA,EB,OE 之间的数量关系。

2、如图，若点E为正方形ABCD外一点，∠BEC=45°，连接AE．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：AE+CE=2BE。

3、如图，E为正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE=BC=1．（1）求∠DCE的度数；（2）点P在EC 上，作PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，求PM+PN的值。

4、如图，边长为1的正方形ABCD 被两条平行的线段EF、GH分割为四个小块，EF，GH交于点P。

（1）若AG=AE,求证;AF=AH;(2)若∠FAH=45°，求证：AG+AE=FH。

【课堂练习】
1、已知正方形ABCD，P为边AB上一点（P不与A、B重合），过P作PE⊥CP，且CP=PE，连接AE．（1）如图1，求∠EAD的度数；（2）如图2，连接CE交BD于G，求证：AE+2DG=2CD；
（3）如图2，当BC=10，PA=6，则BG= （直接写出结果）。

2、如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．（1）求∠EAF的度数；（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求
证：2AD=AF+2DM。

1、如图，在正方形ABCD 的内部作等边△ADE ，则∠AEB 度数为 。

（第1题） （第2题） （第3题）
2、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG=1，则AE 的边长为 。

3、如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD 的面积是 。

4、如图，正方形ABCD 中，点E 在BC 上，且CE=
4
1
BC ，点F 是CD 的中点，延长AF 与BC 的延长线交于点M ．以下结论：∠AB=CM ；∠AE=AB+CE ；∠S ∠AEF =3
1
S 四边形ABCF ；∠∠AFE=90°．其中正确结论的有 。

5、如图，将一个边长分别为4,8的矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合（AB=4，BC=8）,则折痕EF 的长度为 。

（第4题) （第5题） (第6题）
6、如图在正方形ABCD 中，AC 为对角线，点E 在AB 边上，EF ⊥AC 于点F ，连接EC ，AF=3，△EFC 的周长为12，则EC 的长为 。

7、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则AE 的长是 。

（第7题）（第8题）
8、如图，正方形ABCD中，AB=8，M在DC上，DM=2,N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为。

9、矩形ABCD中，将△BCD沿BD翻折到△BED，BE交AD于F，AB＝4，BC＝8(1) 求证：DF＝BF (2) 求△DEF的面积；(3) 求AE的长。

10、如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE、EF，（1）判定∠AEF的形状，并说明理由；（2）设AE的中点为O，判定∠BOF和∠BAF的数量关系，并证明你的结论。

11、如图，E为正方形ABCD的对角线AC上一点，过点E作EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接FG．（1）若AE=AB，求∠CDE的度数；（2）FG与DE相等吗？为什么？
12、正方形ABCD 中，点M 在AB 上，点N 在CD 上，点P 在BC 上，MN ⊥AP 于E(1) 求证：AP ＝MN ；(2) 点F 在MN 上，若EF ＝EA ，连CF ，点G 为CF 的中点，连DG ，求证：DE ＝2DG(3) 在(2)的条件下，若DA ＝DE ，DN ＝
2
3
，BM ＝2，求DG 的长。