课件7：2.3 数学归纳法

需要注意：步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键．归 纳假设“n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”起着已知的作用， 证明“当 n＝k＋1 时命题也成立”的过程中，必须用到归纳 假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结 论推证出当 n＝k＋1 时命题也成立，而不能直接将 n＝k ＋1 代入归纳假设，此时 n＝k＋1 时命题成立也是假设， 命题并没有得证．
活学活用 1.用数学归纳法证明： 11×23＋32×25＋…＋(2n－1n)(22n＋1)＝2n((2nn＋＋11)).
证明：(1)当 n＝1 时，11×23＝12××23成立．
(2) 假 设 当
n＝k
时
等
式
成
立
，
即
有
12 1×3
＋
22 3×5
＋
…
＋
(2k－1k)(22k＋1)＝2k((2kk＋＋11))，

2.3 数学归纳法
知识点 数学归纳法 提出问题
在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的 自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那 么整排自行车就会倒下．
问题 1：试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个 条件？
【答案】①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行 车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下． 问题 2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？ 【答案】一些与正整数 n 有关的问题．
用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式 子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能 被某式(数)整除，这是用数学归纳法证明整除问题的一 大技巧．
活学活用 3.利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N*)能被 x＋y 整除． 证明：(1)当 n＝1 时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被 x＋y 整除，所以命题成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时命题成立，即 x2k－y2k 能被 x＋y 整除．
活学活用
2.证明不等式
1＋
1＋ 2
13＋…＋
1n＜2
n(n∈N*)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2 1＝2.显然命题
成立．
(2)假设 n＝k 时命题成立，即 1＋ 12＋ 13＋…＋ 1k＜2 k. 则当 n＝k＋1 时，
1＋
1＋ 2
13＋…＋
1＋ k
k1＋1＜2
k＋
1 k＋1
＝2 k·kk＋＋11＋1＜k＋(kk＋＋11)＋1＝2(kk＋＋11)＝2 k＋1，
类题通法 用数学归纳法证明等式的方法
用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看 项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的 多少与 n 的取值是否有关，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式两边会 增加多少项；再“两凑”，将 n＝k＋1 时的式子转化成与归纳假设 的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变 形，得到结论所需的形式——凑结论．
则11×23＋32×25＋…＋(2k－1k)(22k＋1)＋(2k＋(k1＋)(12)k2＋3)
＝2k((2kk＋＋11))＋(2k＋(k1＋)(12)k2＋3)＝(k＋2(21k)＋(k＋3)2)， 即当 n＝k＋1 时等式也成立． 由(1)(2)可得对于任意的 n∈N*等式都成立.
题型二 用数学归纳法证明不等式 例 2 已知 f(n)＝1＋21＋31＋…＋1n，当 n＞1，n∈N*时， 求证：f(2n)＞n＋2 2.
4．求证：12＋14＋…＋21n＝1－21n(其中 n∈N*)． 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12，右边＝1－12＝12， 左边＝右边，等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立， 即12＋14＋…＋21k＝1－21k.
那么，当 n＝k＋1 时， 12＋14＋…＋21k＋2k1＋1＝1－21k＋2k1＋1＝1－2k1＋1， 即当 n＝k＋1 时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何 n∈N*都成立．
A．1
B．1＋a＋a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．1＋a
D．1＋a＋a2＋a3
【解析】当 n＝1 时，n＋1＝2，故左边所得的项为 1＋a＋a2. 【答案】B
3．用数学归纳法证明关于 n 的恒等式时，当 n＝k 时，表 达式为 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当 n＝k＋1 时，表达式为____________________． 【解析】当 n＝k＋1 时，应将表达式 1×4＋2×7＋…＋k(3k ＋1)＝k(k＋1)2 中的 k 更换为 k＋1. 【解析】1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4) ＝(k＋1)(k＋2)2
＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)＝3f(k)＋18(3k－1－1)， ∵3k－1－1 是偶数． ∴18(3k－1－1)能被 36 整除． 又∵f(k)能被 36 整除，∴f(k＋1)能被 36 整除． 由(1)(2)知对 n∈N*，f(n)能被 36 整除．
类题通法 用数学归纳法证明整除问题的方法技巧
所以当 n＝k＋1 时不等式也成立． 由(1)和(2)知，对任何 n＞1，n∈N*不等式都成立．
类题通法 用数学归纳法证明不等式应注意两点
(1)证明不等式的第二步即从 n＝k 到 n＝k＋1 的推导 过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的 放缩来实现；
(2)用数学归纳法证明不等式时，推论过程中有时要 用到比较法、分析法和配凑法等．
那么，当 n＝k＋1 时，x2(k＋1)－y2(k＋1)＝x2·x2k－y2·y2k－x2·y2k ＋x2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． 因为 x2k－y2k 与 x2－y2 都能被 x＋y 整除， 所以 x2(k＋1)－y2(k＋1)能被 x＋y 整除， 即当 n＝k＋1 时命题也成立． 根据(1)和(2)，可知命题对任何 n∈N*都成立．
导入新知 1．数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取 第一个值 n0(n0∈N*) 时命题 成立； (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*) 时命题成立，证 明当 n＝k＋1 时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始 的 所有正整数 n 都成立．
课堂检测
1．用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于(n－2)π”
时，归纳奠基中 n0 的取值应为
A．1
B．2
()
C．3
D．4
【解析】边数最少的凸 n 边形为三角形，故 n0＝3. 【答案】C
2．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(n∈N*，
a≠1)，在验证 n＝1 成立时，左边所得的项为 ( )
题型一 用数学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋ n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中 n∈N*)． 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4， 左边＝右边，等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即 1×4＋2×7＋3×10 ＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.
证明：(1)当 n＝2 时，f(22)＝1＋21＋31＋41＝2152＞2＋2 2， 原不等式成立； (2)假设当 n＝k(k∈N*且 k＞1)时不等式成立， 即 f(2k)＝1＋21＋31＋…＋21k＞k＋2 2，
那么当 n＝k＋1 时，有 f(2k＋1)＝1＋12＋…＋21k＋ 2k＋1 1＋…＋2k1＋1＝f(2k)＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k＞ k＋2 2＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k＞k＋2 2＋2k＋1 2k＋… ＋2k＋1 2k＝k＋2 2＋2k＋2k 2k＝k＋2 2＋12＝(k＋12)＋2.
这就是说，当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
根据(1)(2)，可知不等式对任意正整数 n 都成立.
题型三 用数学归纳法证明整除问题 例 3 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9 能被 36 整除． 证明：(1)n＝1 时，f(1)＝(2×1＋7)×31＋9＝36， 能被 36 整除． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9 能被 36 整除．当 n＝k＋1 时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9
上述证明方法叫作数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
化解疑难 数学归纳法中两个步骤的作用及关系
步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正 确性能否递推下去的保证．
这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)， 则无法判断 n＝k(k＞n0)时命题是否成立；如果只有步骤(2) 缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2) 就没有意义了．
那么，当 n＝k＋1 时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1) ＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝ (k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当 n＝k＋1 时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何 n∈N*都成立．