2024北京人大附中初一(下)期中数学(含答案)

2024北京人大附中初一（下）期中
数 学
2024.4
说明：
1．本练习共6页，共四道大题，27道小题，满分100分，时间90分钟． 2．试题答案一律作答在答题纸的指定区域内，在区域外的作答无效． 一、选择题（本题共30分，每题3分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．
1．的绝对值是
A
B ．
C ．
D 2．下面是5片树叶图，在A 、B 、C 、D 四幅图中，能通过图（1）平移得到的是
（1）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．在平面直角坐标中，点()3,4A −在 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．已知23
x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程318x my −=的一个解，那么m 的值为
A ．3
B ．3−
C ．4
D ．4−
5．右图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段CD 的长度，其依据是
A ．垂线段最短
B ．两点之间线段最短
C ．两点确定一条直线
D ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6．若实数a ，b 满足340b +−=，那么a b +的值是 A ．2−
B ．0
C ．2
D ．4
7．如图，直线AB CD ∥，点E ，F 在直线AB 上，点M 在直线CD 上，且满足90EMP =︒∠，若
128=︒∠，则∠2的度数为
A ．33°
B ．56°
C ．52°
D ．62°
8．如图是者北京城一些地点的分布示意图。

在图中，分别以正东，正北方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系．如果表示东直门的点的坐标为()3.5,4，表示宣武门的点的坐标为()2,1−−，那么坐标原点所在的位置是
A ．天安门
B ．正阳门
C ．西直门
D ．阜成门
9．如图，长青化工厂从A 地购买原料运回工厂，制成产品后运到B 地销售，该工厂与A 、B 两地有公路、铁路相连，公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．请问该工厂的原料和产品各重有多少吨？若设原料重x 吨，产品重y 吨，则可以列方程组
A ．102015000
12011097200
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
B ．()()1.5102015000
1.212011097200x y x y +=⎧⎪⎨
+=⎪⎩
C ．201015000
11012097200x y x y +=⎧⎨
+=⎩
D ．()(
)1.5201015000
1.211012097200x y x y +=⎧⎪⎨
+=⎪⎩
10．如图，直线AB CD ∥，点E ，F 分别是直线AB ，CD 上的点，点G 为直线AB ，CD 之间的一点，连接EG ，FG ，∠AEG 的平分线交CD 于点H ，若38DFG ∠=︒，32372EHD G ∠+∠=︒，则∠CHE 的度数为
A ．116°
B ．118°
C ．120°
D ．122°
二、填空题（本题共18分，每空2分）
11．实数9的算术平方根是 ．
12．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，若点()2,3M m m −在y 轴上，则OM 的值为 ． 13．写出一个无理数，使它在4和5之间，该无理数可以是 ． 14．在下图中，∠1和∠2是同位角的是 （直接填写序号）．
15．在平面直角坐标系中，已知点()0,A a 、()3,0B ，直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为9，则a 的值为 ．
16．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE AB ⊥，OF 平分∠EOD ，若40AOC ∠=︒，则FOB ∠= °．
17．如果关于x ，y 的二元一次方程组34431164x y m x y +=+⎧⎨+=⎩
的解满足方程52310x y m −=+，则m 的值
为 ．
18．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某超市将运动耳机、手办模型、迷你音箱各若干个搭配成A ，B ，C 三种盲盒，具体信息如下表：
盲盒的销售数量为 个；（2）已知某个月超市销售的三种盲盒的总成本为32100元，且一共销售盲盒65个（每种盲盒至少销售了1个），则迷你音箱的总成本最多为 元．
三、解答题（本题共52分，第19，20题每题8分，第21题6分，第22，23题每题5分，第24题6分，第25-26每题7分）
19．
（14．
（2）解方程：()2
1621250x −−=． 20．解下列方程组． （1）25
238x y x y +=⎧⎨
+=⎩．
（2）348
465
x y x y −=⎧⎨
+=⎩．
21．如图，E 点为DF 上的点，B 为AC 上的点，12∠=∠，C D ∠=∠，证明：AC DF ∥
请补充完整以下证明 证明：
∵12∠=∠（已知）
13∠=∠（ ）
∴23∠=∠（等量代换）
∴ ∥ （ ） ∴C ABD ∠=∠ 又∵C D ∠=∠（已知）
∴D ABD ∠=∠（ ） ∴AC DF ∥（ ）
22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是()2,0A −，()4,1B −，
()1,2C −−．将三角形ABC 向上平移m 个单位（m 为正整数），再向右平移n 个单位（n 为正整数），得到
三角形111A B C ，其中1A ，1B ，1C 是点A ，B ，C 的对应点．
（1）当1m =，1n =时，画出平移后的三角形111A B C ，并写出点1B 的坐标 ； （2）若4m n +=，且三角形1OAC 的面积是1，则1C 的坐标是 ．
23．已知，如图1，直线MN 与直线AB ，CD ，EF 分别交于M ，N ，P ，直线AB EF ∥，过点的射线NH 交直线AB 于点H ，12180∠+∠=︒，
图1
（1）求证：CD EF ∥；
（2）如图2，直线KN 过点N ，若3245∠+∠=∠，求证：射线KN 为∠PNH 的角平分线．
图2
24．小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换， A 变换：首先对实数取算术平方根，减去1；
B 变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；
例如：实数7经过一次A 1，实数10经过一次B 变换得到2． （1）①实数25经过一次A 变换所得的数是 ； ②实数25经过一次B 变换所得的数是 ；
（2）整数m 经过两次在B 变换得到的数是2，则m 的最小值是 ；最大值是 ； （3）实数x 经过一次A 变换得到的数是a ，实数x 经过一次B 变换得到的数是b ，是否存在x 使得a b =成立？若存在请直接写出x 的值，若不存在请说明理由．
25．已知点A ，B ，C ，D ，E 均为定点，直线AB CD ∥，点P 为射线EA 上一个动点（点P 不与点A 重合），连接PC ，
（1）如图1，当点P 在线段AE 上时，若30A ∠=︒，70C ∠=︒，直接写出∠APC 的度数：
图1
（2）点M 为直线CD 下方的动点，连接CM ，CM 平分∠DCP ，
①如图2，当点P 在线段AE 上时，连接AM ，若AM 平分∠BAE ，用等式表法∠M 与∠APC 之间的数量关系，并证明；
图2
②如图3，当点P 在直线CD 的下方运动时（点P 在射线EA 上），射线PN 平分∠APC ，点K 在直线CD 的下方，且满足射线CK PN ∥，若34BAB ∠=︒，请直接写出∠MCK 的度数．
图3
备用图
26．在平面直角坐标系xOy 中，对于互不重合的两个点(),A a b ，(),B c d ，令2m a c =−，2n b d =−，若点P 的坐标为(),m n ，我们称点P 为点A 关于点B 的友好点．
例如，已知()2,3A ，()1,5B ，则3m =，1n =，点A 关于点B 的友好点为()3,1 （1）已知()2,3A ，()1,5B ，
①则点A 关于点B 的友好点的坐标为 ；
②若点B 关于点C 的友好点是点A ，则点C 的坐标为 ；
（2）已知点D D 关于()2,8E 的友好点为点F ，若点F 到x 轴的距离等于到y 轴距离的2倍，求点F 的坐标；
（3）已知点)
1,0G
，(0,H ，点O 为坐标原点，点M 与点N 为三用形GOH 边上的任意两个
不重合的两个点，若点Q 为点M 关于点N 的友好点，则所有可能的点Q 形成的图形的面积为 ．
参考答案
一、选择题（本题共30分，每题3分）
11．3
12．6
13
14．② 15．略 16．65°
17．12
11
−
18．略 三、解答题（本题共52分，第19，20题每题8分，第21题6分，第22，23题每题5分，第24题6分，第25-26每题7分）
19．
（1）解：原式424=−+−
2=−
（2）解：()2
252116
x −=
5
214
x −=±
5
214x =+或5214x =−
98x =或1
8
x =−
20． （1）25238x y x y +=⎧⎨
+=⎩①
②
解：①×2得：2410x y += ③
③－②得：2y = 将2y =代入①得：1x = ∴1
2
x y =⎧⎨
=⎩
（2）348465x y x y −=⎧⎨
+=⎩①
②
解：①×3得：91224x y −= ③ ②×2得：81210x y += ④ ④＋③得：2x = 得2x =代入①得：12
y =−
∴212
x y =⎧⎪⎨=−⎪⎩
21．证明：
∵12∠=∠（已知）
13∠=∠（对顶角相等）
∴23∠=∠（等量代换）
∴BD CE ∥（同位角相等，两直线平行） ∴C ABD ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 又∵C D ∠=∠（已知） ∴D ABD ∠=∠（等量代换）
∴AC DF ∥（内错角相等，两直线平行） 22．
（1）画出平移后的三角形111A B C
1B 的坐标()3,2−；
（2）()2,1−或()0,1． 23． （1）证明：
∵12180+=︒∠∠，13180+=︒∠∠， ∴23=∠∠， ∴CD AB ∥， ∵AB EF ∥， ∴CD EF ∥． （2）证明 ∵CD EF ∥， ∴5CNP =∠∠． 即567=+∠∠∠， ∵3245+=∠∠∠， ∴67324+=+∠∠∠∠， ∵46=∠∠，23=∠∠， ∴726=+∠∠∠． 即7KNH =∠∠，
∴直线KN 为∠PNH 的角平分线．
24．
（1）①4， ②2． （2）略 （3）4或9． 25．（1）40° （2）①略 ②17°或73° 26．（1）①()5,9 ②()1,12−−
（2）∠M 与∠APC 之间的数量关系为：2APC AMC =∠∠ 证明：设1x =∠，2y =∠ ∵CM 平分∠DCP ， ∴212DCP x ==∠∠． ∵AM 平分∠BAE ， ∴222BAE y ==∠∠．
过点作PG CD ∥，过点M 作MH AB ∥，
∴2GPC DCP x ==∠∠，32y =∠∠， ∵AB CD ∥，PG CD ∥，MH AB ∥， ∴AB GP ∥，CD MH ∥．
∴1CMH x ==∠∠，2GAP BAE y ==∠∠． ∴3AMC CMH x y =−=−∠∠∠
422APC GPC x y =−=−∠∠∠
∴2APC M =∠∠．
（3）60+。