高中数学(理)知识清单-专题11 空间几何体(考点解读)(原卷+解析版)

的面积为 ，则该圆锥的侧面积为__________．
10
1.【2017 课标 1，理 7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角 形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的 面积之和为
A．10
B．12
C．14
D．16
A． 8 6
B． 4 6
C． 2 6
D． 6
2．【2019 年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称 为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V 柱体=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某 柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是
1
2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积
名称
体积
表面积
棱柱
V 棱柱＝Sh(S 为底面积，h 为高)
S 棱柱＝2S 底面＋S 侧面
棱锥 棱台
V 棱锥＝13Sh(S 为底面积，h 为高) V 棱台＝13h(S＋ SS′＋S′) (S、S′为底面积， h 为高)
S 棱锥＝S 底面＋S 侧面 S 棱台＝S 上底＋S 下底＋S 侧面
________．
【变式探究】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
5
A.13＋π B.23＋π C.13＋2π
D.23＋2π
【变式探究】已知一所有棱长都是 2的三棱锥，则该三棱锥的体积为________．
高频考点四 与球有关的切、接问题
例 4．(2019·高考全国卷Ⅰ )已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC 是边
2.【2017 课标 II，理 4】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该
几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体 积为（ ）
A． 90
B． 63
C． 42
D． 36
3.【2017 北京，理 7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（A）3 2
A.
B.
C.
D.
6. （2018 年全国 I 卷）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图．圆柱表面上的点 在正视 6. （2018 年全国 I 卷）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图．圆柱表面上的点 在正视图上
9
的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路 径的长度为
个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 _____________．
6．【2019 年高考江苏卷】如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 的体积是 120，E 为 CC1 的中点，则三棱锥
E−BCD 的体积是 ▲ .
1. （2018 年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
的交点，若 PB＝1，∠APB＝∠BAD＝π3，则三棱锥 PAOB 的外接球的体积是________．
【举一反三】在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2a 的正方形，PD⊥底面 ABCD，且 PD ＝2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．
6
1．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥 P−ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为
长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF＝90°，则球 O 的体积为( )
A．8 6π B．4 6π
C．2 6π D． 6π
【举一反三】(2018·高考全国卷Ⅲ)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等边
三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 DABC 体积的最大值为( )
①有两个互相平行的圆面(底面)； ②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直
圆台
①底面互相平行； ②有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的
①有一个曲面是球面；
球
②有一个球心和一条半径长 R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它的
直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的
A. 1 B. 2
8
C. 3 D. 4 2. （2018 年全国Ⅲ卷）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫 卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则 咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A. A B. B C. C D. D 3. （2018 年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
制作该模型所需原料的质量为___________g.
7
4．【2019 年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如 果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为__________．
5．【2019 年高考天津卷理数】已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5 ．若圆柱的一
（B）2 3
（C）2 2
（D）2
11
4.【2017ຫໍສະໝຸດ 山东，理13】由一个长方体和两个
1 4
圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体
积为 .
5.【2017 课标 1，理 16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中 心为 O.D、 E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚 线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥.当 △ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.
的棱长为 1，除面
外，该正方体其余各面的中
的体积为__________.
10. （2018 年江苏卷）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
________．
11. （2018 年全国Ⅱ卷） 已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成
角为 45°，若
A.
B.
C.
D. 2
7. （2018 年全国Ⅲ卷）设
是同一个半径为 4 的球的球面上四点，
为等边三角形且
其面积为 ，则三棱锥
体积的最大值为
A.
B.
C.
D.
8. （2018 年全国Ⅱ卷）在长方体
中，
，
，则异面直线 与 所
成角的余弦值为
A.
B.
C.
D.
9. （2018 年天津卷） 已知正方体 心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥
【举一反三】(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为7，SA 与圆锥 8
底面所成角为 45°.若△SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为________． 【变式探究】(1)已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体的三视图如图所示，
A．158 B．162 C．182 D．324 3．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长
方体 ABCD A1B1C1D1 挖去四棱锥 O—EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分 别为所在棱的中点， AB = BC = 6 cm, AA1 = 4 cm ，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，
专题 11 空间几何体
1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适 中；
2．以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关 系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中 等．
（A） 20
（B） 24
（C） 28
（D） 32
3
【变式探究】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )
A．2＋ 5 B．4＋ 5 C．2＋2 5 D．5 高频考点二 几何体的表面积 例 2．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体 ABCD－A1B1C1D1 挖去四棱锥 O－EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所 在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型 所需原料的质量为________g.
A．12 3 B．18 3
C．24 3 D．54 3
【变式探究】(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球
面上，则该圆柱的体积为( )
A．π C．π
2
B．3π 4
D．π 4
【变式探究】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PB⊥底面 ABCD，O 为对角线 AC 与 BD
(2)空间几何体的直观图
空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角 45°(或
135°)，平行长不变，垂直长减半”．
4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积
法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【变式探究】【2017 课标 1】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角 三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯 形的面积之和为
A．10
B．12
C．14
D．16
【变式探究】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
【误区警示】
1．识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的对应关系和虚实线．
2．注意复合体的表面积计算，特别是一个几何体切割去一部分后剩余部分的表面积计算．要弄清增加
和减少的部分．
3．展开与折叠、卷起问题中，要注意平面图形与直观图中几何量的对应关系．
2
高频考点一 三视图、直观图 例 1．（2018 年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
则该几何体的表面积为( )
A．20＋2 3
B．18＋2 3
C．18＋ 3
D．20＋ 3
(2)已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是( )
4
A．39π＋3 3 4
B．45π＋3 3 4
C．23π 2
D．49π 4
【变式探究】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4 高频考点三 几何体的体积 例 3．（2018 年江苏卷）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
S 圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2
球
V 球＝4πR3(R 为球的半径)
3
S 球＝4πR2(R 为球的半径)
3.空间几何体的三视图和直观图
(1)空间几何体的三视图
三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投
影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．
圆柱
V 圆柱＝πr2h(r 为底面半径，h 为高)
S 圆柱＝2πrl＋2πr2(r 为底面半 径，l 为母线长)
圆锥
V 圆锥＝1πr2h(r 为底面半径，h 为高) 3
S 圆锥＝πrl＋πr2(r 为底面半径， l 为母线长)
圆台
V 圆台＝1πh(r2＋rr′＋r′2) (r、r′为底面半 3
径，h 为高)
cm答案c解析根据三视图可得几何体为一个直四棱柱高为2底面为直角梯形上下底分别为12梯形的高为2因此几何体的体积为2018年浙江卷已知四棱锥sabcd的底面是正方形侧棱长均相等e是线段ab含端点设se与bc与平面abcd所成的角为2二面角sabc的平面角为3则答案d解析设o为正方形abcd的中心m为ab中点过e作bc的平行线ef交cd垂直ef于n连接sosnom则so垂直于底面abcdom垂直于ab因此从而因为所以2018年全国i卷已知正方体的棱长为1每条棱所在直线与平面所成的角都相等则截此正方体所得截面面积的最大值为答案a解析根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的所以在正方体所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等要求截面面积最大则截面的位置为夹在两个面中间的32且过棱的中点的正六边形且边长为2018年全国i卷某圆柱的高为2底面周长为16其三视图如右图
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. （2018 年浙江卷）已知四棱锥 S−ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点（不 含端点），设 SE 与 BC 所成的角为θ1，SE 与平面 ABCD 所成的角为θ2，二面角 S−AB−C 的平面角为θ3，则 A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1 5. （2018 年全国 I 卷）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正 方体所得截面面积的最大值为
3.几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合；
1．柱体、锥体、台体、球的结构特征
名称
几何特征
棱柱
①有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)； ②其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行
棱锥
①有一个面是多边形(底面)； ②其余各面是有公共顶点的三角形．
棱台 圆柱
①底面互相平行； ②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点)