初高衔接之计算补充练习(解析版)

初高衔接之计算补充练习
由于初中数学课程与高中数学课程在内容、要求等方面存在差异，高中必备的某些数学知识在初中没有学到，使同学们在初中阶段所掌握的数学基础知识、基本技能和数学能力在某些方面不能适应高中数学的学习要求。

为了弥补知识空缺，使初、高中数学学习内容达到光滑衔接，并对运算技能和逻辑推理技能进行适当的强化训练，以使同学们能更好、更快地适应高中数学学习的需要。

题型目录
【题型1】平方差公式与完全平方公式提升训练
【题型2】一元二次方程根于系数的关系
【题型3】因式分解：含参十字相乘
【题型4】齐次式计算：比值消元
【题型5】解二元二次方程组
【题型6】试根法解一元三次方程
【题型7】立方和与立方差公式
【题型8】二重根式的化简
【题型9】分式型函数图像：分离常数与函数平移
【题型10】初识一元二次方程根的分布
【课后作业】
核心题型突破
【题型1】平方差公式与完全平方公式提升训练
初高中的过渡衔接尤其重要，初中必须掌握的一些知识很多同学就是没掌握好，导致高中学习相当吃力。

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知识扩充：三项完全平方公
2222()222x y z x y z xy xz yz ++=+++++
1．计算化简
（1
）21)(1−−
【答案】1−
【解析】原式
=221−−+
=1
（2）222211111111.234n  
−
−−−    
【答案】
12n n
+ 【说明】此处用到了平方差公式和分式的错位相消 【解析】原式=1111111111111111223344n n       +−+−+−+−      
     
=
31425311
223344n n n n +−××××××
=13243511223344n n n n −+××××××
=12n n
+
2．运用公式展开：2(23)a b c −−= 【答案】222491246.a b c ab ac bc ++−−+ 【解析】原式=222491246.a b c ab ac bc ++−−+
【巩固练习1】已知4417a a +=，则22
1
a a
+等于________ 【答案】3
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【解答】解：， ， 或（舍去）
【巩固练习2】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，则222a b c ++=________ 【答案】8
【解答】()
()2
222
21688a b c a b c ab bc ac ++=++−++=−=
【巩固练习3
】已知2x =
，2y =，则223x xy y ++= ． 【答案】56
【详解】解：
∵2x =+
，2y =−，8xy = ∴223x xy y ++
()2
x y xy =++
()
2
228=
++−+
56=，
故答案为：56．
【题型2】一元二次方程根于系数的关系
一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即20ax bx c ++=的两根为12,x x ，则12b
x x a +=
−，12c
x x a
=。

利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如()2
2
2
1212122x x x x x x +=+−
3．已知12,x x 是方程2310x x −+=的两个实根，则有2212x x +=
________，12x x −=________ 【答案】7
4
4
1
7a a +
= ∴22
2
1()9a a +=∴22
13a a +
=221
3a a
+=−
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【解析】123x x +=
，121x x =，则()2
22
12121227x x x x x x +=+−=，
12x x −=
4．已知一元二次方程250x x k −+=的两个实数根为1x ，2x ，若1212221x x x x ++=
，求实数k 的值． 【答案】9k =−
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程250x x k −+=的两个实数根是1x 和2x ，
∴125x x +=
，12x x k =， ∵1212221x x x x ++=
∴251k +×=
∴9k =−．
【巩固练习1】若p 和q 是关于x 的一元二次方程2520x x −+=的两个不相等的实数根，253+−=p q ． 【答案】20
【详解】解：∵p 和q 是关于x 的一元二次方程2520x x −+=的两个不相等的实数根，
∴2520p p −+=
即2
52p p =−，5p q +=， ∴()2
5352535555520p q p q p q +−=−+−=+−=×−=，
故答案为：20．
【巩固练习2】已知关于x 的一元二次方程()2
2110ax a x a −−+−=
有两个实数根． (1)求a 的取值范围．
(2)若该方程的两个实数根为1x ，2x ，且22
1212
2x x x x +=，求a 的值． 【答案】(1)1a ≤且0a ≠ (2)1
2
a =
【详解】（1）解：由题意，得：()()2
21410a a a −−−−≥ 且0a ≠， 解得：1a ≤且0a ≠；
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（2）∵该方程的两个实数根为1x ，2x ， ∴()1212211
,a a x x x x a a
−−+=
=， ∴()()22
121212122112a a x x x x x x x x a a
−−++⋅，
解得：12a =，经检验1
2
a =是原方程的解．
【题型3】因式分解：含参十字相乘
十字相乘法：()()2
()x p q x pq x p x q +++=++
在二次三项式2
(0)ax bx c a ++≠中,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积,即12a
a a =×,常数项c 可以分解成两个因数之积,即12c
c c =×,把121,,a a c ,2c .排列如下:
按斜线交叉相乘,再相加,得到1221a c a c +,若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ,即
1221a c a c b += ,那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积,即
()()21122ax bx c a x c a x c ++=
++.
5．分解因式：20x ax x a +−−=
【答案】()()10x a a +−=
【详解】解：()2
2
010x ax x a x a x a +−−=⇒+−−=(
)()10x a a ⇒+−=
6．分解因式：()2
21x a x a +−−+=
．
【答案】()()11x x a −+−
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7．()2
22x a x a −−−可因式分解为_______
【答案】()()2x x a −+
【巩固练习1】2
(21)2ax a x −++可因式分解为 ．
【答案】(1)(2)ax x −− 【巩固练习2】()2
1x a x a −++
【答案】(1)()x x a −−
【巩固练习3】()22
10x a xy y a a +++≠
．
【答案】()1x ay x y a
++
【题型4】齐次式计算：比值消元
齐次式：等式两端或分子分母中每一项的次数都相同的式子称为齐次式
比值消元：一种特殊的消元方式，可以把双变量方程简化为单变量计算，求出两个变量的比例关系 8．已知：22320x xy y −+=，则x
y
＝ ． 【答案】1或2
【详解】等式两边同时除以2y 得到2()3x y
−)20,+=解方程即可 【巩固练习1】已知：0a c >>，且422430c a c a −+=，则c
a
＝ ．
【解析】原方程两边同时除以4a 得到42()3()10,c c a a
−⋅+=
解得2()c a =
即得c a = [说明]注意2()c a
是正数，要舍去负根
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【巩固练习2】已知：22
560x xy y +−=
，则232x y
x y
+−＝ ．
【答案】5或
913
【详解】原方程两边同时除以x2得到2
1560
y
x x y +⋅
−=
解方程可得16y x =−或1，从而原式=23
52y
x y x
+=−或913
【题型5】 解二元二次方程组
二元方程组的解法在初中有过比较详细的学习。

但是二元二次方程组在高中会继续碰到，它的解法有其特殊性，所以有必要在这一块强化。

一、代入消元法解二元二次方程组的一般步骤：
(1)选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数； (2)将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元方程； (3)解这个一元方程，求出未知数的值；
(4)将求得的未知数的值代入(1)变形后的方程中，求出另一个未知数的值； (5)写出原方程组的解．
二、加减消元法解二元二次方程组的一般步骤：
(1)利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或互为相反数的形式； (2)将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元方程(若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数则用加法)；
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(3)解这个一元方程，求出未知数的值；
(4)将求得的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； (5)写出原方程组的解． 9．解下列方程组：
22330
(1)21x y y x y −−+=
−=
解：22330,21,x y y x y −−+=
−=
①
② 由②，得21y x =
−．③ 把③代入①，得223(21)(21)30x x x −−−−+=．整理后，得2230x x −−= 解得121,3x x =−=. 将1x =−代入③，得13y =−
2x =3代入③得25y =．
所以原方程组的解是1,3x y =− =− 或3,
5.
x y =
=
224915,
(2)23 5.x y x y −=
−=
【答案】2,1.3x y = =−
【解析】解：224915,(2)23 5.x y x y −=
−=
①
② 由①，得(23)(23)15.x y x y −+=③ 将②代入③，得23 3.x y +=④ ②+④，得4x=8．解得x=2． 将x=2代入④，得4+3y=3．
解得13y =−，所以原方程组的解是2,
1.3x y = =−
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【巩固练习1】225
30x y x y +=
+−=
【答案】2,
1.3x y = =−
【解析】解：22530x y x y +=
+−=
①
② 由②，得3y x =−．③
把③代入①，得()2
2
35x x +−=．整理后，得2320x x −+=
解得
121,2x x ==. 将1x =代入③，得12y =
2x =2代入③得21y =．
所以原方程组的解是1,2x y = = 或2,
1.
x y =
=
【巩固练习2】222
2
20
5x xy y x y +−= +=
【答案】2,
1.3x y =
=−
【解析】解：222
2
205x xy y x y +−= +=
①
② 由①，得(2)()0x y x y +−=
，即20x y +=或0x y −= 将20x y +=代入②，得22
45y y +=，得1y =±，即2,1.x y =− = 或2,1.
x y =
=− 将0x y −=代入②，得225y y +=
，得y =
，即x y =
=
或x y =
=
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【题型6】试根法解一元三次方程
高次方程高中阶段基本上不会单独考查，即使考查次数也不会超过三次，但函数或导数解题计算中经常会出现关键一步，所以掌握简单有实数根的一元三次方程的解法是很有必要的。

试根法：高中阶段考查的三次方程根简单常见，如±1，±2，…由此确定方程的一个根，然后对三次方程因式分解，从而完成方程求解。

10．解方程:32340x x −+=
【答案】1x =或2x =
【解析】猜测并验证得出1x =−是方程的一个根，那么(1)x −是方程的一个因式 故方程可以改写为()
2(1)0x ax bx c −++=
易得1
44a b c =
=− =
，则()()32234144x x x x x −+=
+−+
解得1x =或2x =
【巩固练习1】解方程：3320x x −+= 【答案】1x =或2x =
【解析】猜测并验证得出1x =是方程的一个根
()()323212x x x x x −+=
−+−
1231,2x x x ===−
【巩固练习2】解方程：3234x x −+
【答案】1231,2,3x x x =
=−= 【解析】猜测并验证得出1x =是方程的一个根
()()32226165x x x x x x −+−=
−−−
1231,2,3x x x ==−=
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【巩固练习3】39100x x −+=
【解析】猜测并验证得出2x =是方程的一个根
()()
32910225x x x x x −+=−+−
1232,1,1x x x =−−
【题型7】立方和与立方差公式
立方差：()
3322()a b a b a ab b −=−⋅++ 立方和：()
3322()a b a b a ab b +=+⋅−+
11．已知2310x x −+=，求33
1x x +
【答案】18
【解析】13x x +=，故原式=2
11318x x x x +⋅+−=
【巩固练习1】()()
22(1)(1)11x x x x x x +−−+++ 【答案】6 1.x −
【解析】原式=()()
2
26(1)1(1)11x x x x x x x +−+−++=−
【巩固练习2
】设x =
，y =，求33x y +的值.
【答案】2702
【解析】直接计算可得1,14xy x y +，
故原式=()()()
2222()()()3141432702x y x xy y x y x y xy +−+=+⋅+−=−=
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[说明]注意综合使用完全平方公式与立方和公式．
【题型8】二重根式的化简
二重根式化简，中考不做要求，但是，在高中的三角函数、解析几何中却频频出现
!
2
a b a b =++=++
，则4a b A ab B +=
=
12
【解析】82
88126a b a ab b +== +=+⇒⇒
=
13
【答案】2
2=−
【巩固练习1
【解析】72
77105a b a ab b +== =+⇒⇒
=
−【巩固练习2
【答案】-3
【解析】
213−−−=−
【题型9】分式型函数图像：分离常数与函数平移
分式型函数：形如ax b
y cx d
+=
+的函数，它是由反比例函数平移得到的 分离常数法：把函数ax b y cx d
+=
+中的分子变为常数，便于处理分析，后续求分式型函数的值域时还
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会用到分离常数法．
14．已知函数121x y x +=
−是由反比例函数2k
y x
=平移得到的，求k 的值. 【答案】12131331311111
x x x y k x x x x x +−+−=
==+=+⇒=−−−−−
【巩固练习1】已知函数2
34
x y x +=
−，求y 的取值范围 【答案】
4104101021133333343434343343
x x x y x x x x x −+−
+===+=+≠
−−−−− 【巩固练习2】求函数21
1
x y x −+=−的对称中心 【答案】212212211
211111
x x x y x x x x x −+−+−−+=
==−=−−
−−−−− 12111211
y y y x x x =−
 →=− →=−−−−右移个单位下移个单位
对称中心：()()()120,01,01,2 
→ →−右移个单位
下移个单位
【题型10】初识一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面：
1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）.
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2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立）
3. 判定△符号.
4. 判定对称轴的位置.
总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆.
（1）二元二次方程在R 上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根240b ac ⇔∆=−>; ②方程有两个相等的实数根240b ac ⇔∆=−=; ③方程没有实数根240b ac ⇔∆=−<
（2）一元二次方程的根的“0”分布
①方程有两个不等正根212121240,
00b ac b x x x x a c x x a
∆=−>
⇔+=−>
=>
； ②方程有两个不等负根212121240,
00b ac b x x x x a c x x a ∆=−>
⇔+=−<
=>
③方程有一正根和一负根,设两根为1212,0c
x x x x a
⇔=<
15．关于x 的一元二次方程()()2
22120m x m x m −+++−=
有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（ ）
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A ．34
m > B ．
3
24
m << C ．1
22
m −
<< D ．3
4
m >且2m ≠ 【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解. 【详解】根据题意可知；202m m −≠⇒≠，
由韦达定理可得()()2220221
02
Δ21420m m m m m m − > −
+ −> − +−−>
，解得324m <<，故选：B
【巩固练习1】已知关于x 的方程()22
2210x a x a +++−=
有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】11a −<<
【分析】利用二次方程根的分布可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.
【详解】设方程关于x 的方程)22
2210x a x a +++−=
的两根分别为1x 、2x ， 则()()
222
12Δ42410
10
a a x x a =+−−> =−< ，解得11a −<<. 故答案为：11a −<<.
【巩固练习2】关于x 的方程24260x mx m −++=至少有一个负根，则m 的取值范围是（ ）
A ．3
2
m ≥ B ．1m ≤− C ．3
2
m ≥或1m ≤− D ．1m <−
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的分布以及判别式、韦达定理得关系求解. 【详解】当方程没有根时，2168240m m ∆=−−<，即2230m m −−<， 解得3
12
m −<<
；
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当方程有根，且根都不为负根时，21212Δ16824040260
m m x x m x x m =−−≥ +=≥ =+≥ ， 解得3
2m ≥，
综上，1m >−，即关于x 的方程24260x mx m −++=没有一个负根时，1m >−， 所以关于x 的方程24260x mx m −++=至少有一个负根的充要条件是1m ≤−，
课后练习
1
．已知2x =
，2y =，求223x y xy +−的值． 【答案】11
【详解】解：2x =
，2y =，
224x y ∴+==．
(
221xy =+=
． 223x y xy ∴+−
()2225x xy y xy =++− ()2
5x y xy =+−
1651−×
11=．
2．已知22228a b c ++=，4ab bc ac ++=，则a b c ++=________ 【答案】6±
【解答】()()2
2
2
2
228836a b c a b ab bc ac ++++++++
3．若m ，n 是方程2220240x x ++=的两个实数根，则2m m n +−的值为 ． 【答案】4048
【详解】解：∵m 、n 是方程2220230x x +−=的两个实数根， ∴22024220240mn m m =+−=，，
∴222024m m +=，
∴()()2
2
2202420244048m m n
m m m n +−=+−+=−−=． 故答案为：4048．
4．对以下式子进行因式分解
（1）()2
212ax a x −−−（其中0a ≠）
（2）2221x x a −+− （3）2224mx mx x −−+（其中0m ≠）
（4）()2
33x m x m −−−
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【答案】（1）(1)(2)ax x +−；（2）(1)(1)x a x a −−−+（3）()()22x mx −−（4）()()3x x m +− 5．若2232x y xy −=，求
2x y
x y
−+
【答案】
2
5
或2− 【解析】原式两边同除2
y ，得2
230x x y y −⋅−=
，解得3x y =或1− 则1
2252x x y
y
x
x y
y
−−=
=++或2− 6．解方程组：22
2,20.x y x y xy −=
−−=
【答案】
【解析】解：22
20x y xy −=
一可以化为()()20x y x y −+=， ∴20x y −=
或0x y +=． 则原方程可以变为202x y x y −=
−= 或0,2,x y x y +=
−=
解得42x y = = 或11
x y =
=−
7．解方程：322560x x x −−+=
【答案】2x =或15
x =．或1x =− 【解析】解：猜并且检验x=2是方程的一个根，
那么方程可以改写为()
322256(2)0x x x x ax bx c −−+=−++= 故()
322256(2)23x x x x x x −−+=−−− 再次因式分解可得(2)(23)(1)0x x x −−+=
原方程的根为2x =或15
x =．或1x =− 8
【答案】1−
1
===
9．设5,1
x y xy
+==，求33
x y
+的值.
【答案】110
【解析】()()
33222
()()()35253110 x y x y x xy y x y x y xy
+=+⋅−+=+⋅+−=×−=
10．已知函数
21
1
x
y
x
−+
=
−
，求y的取值范围和对称中心
【答案】2
y≠−，对称中心：
【解析】
212232233
2
11111
x x x
y
x x x x x
−+−−+−−
===+=−+
−−−−−
，
因为
3
1
x
≠
−
，故2
y≠−
函数图像平移：12
333
2
11
y y y
x x x
=  →= →=−
−−
右移个单位下移个单位
对称中心：()()()
12
0,01,01,2
 → →−
右移个单位下移个单位
11．*求关于x的方程2210
ax x
++=至少有一个负实根，求a的取值范围.
【答案】1
a≤
【详解】①当0
a=时，方程为210
x+=，解得1
2
x=−，符合要求．
②当0a≠时，方程为一元二次方程，此时2210
ax x
++=有实根的充要条件是
判别式0
∆≥，即440
a
−≥，解得1
a≤，
设方程2210
ax x
++=的两根分别为12,x x，则1212
21
,
x x x x
a a
+=−=，
①方程2210
ax x
++=有一负根一正根的充要条件为
1
1
a
a
≤
<
，解得a<0；
②方程2210
ax x
++=有两个负根的充要条件为
1
2
1
a
a
a
≤
−<
>
，解得01
a<≤，
综上所述，当1
a≤时，方程2210
ax x
++=至少有一个负实根.
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