易错点08 立体几何(学生版)

易错点08 立体几何
易错点1：平行和垂直的判定
在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。

立体几何中平行与垂直的易错点
易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一
谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。

易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视
",//,"a a b b αα⊄⊂三个条件中的某一个。

易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；
易错点2：异面直线所成的角
1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。

2.求异面直线所成角的步骤： ①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。

②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。

③因为异面直线所成的角的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。

3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。

易错点3：直线与平面所成的角 1.传统几何方法：
①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。

②利用三面角定理（即最小角定理）21cos cos cos θθθ⋅=求1θ。

2.向量方法：设n 为平面α的法向量，直线a 与平面α所成的角为θ，则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪
⎭⎫ ⎝⎛>∈<-><⎥⎦⎤ ⎝⎛>∈<><-=πππππθ,2,,2,2,0,,,2n a n a n a n a
易错点4：二面角
用向量求二面角大小的基本步骤
1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；
2.求出平面α的法向量1n ，平面β的法向量2n
3.进行向量运算求出法向量的夹角121212
cos ,n n n n n n •<>=-
；
4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：
→
→→→-==2121,cos cos ,cos cos n n n n θθ，为钝角时当二面角为锐角时
1．已知,l m 是两条不同的直线，α是平面，且//m α，则（ ） A ．若l
m ，则l α∥ B ．若l α∥，则l m
C ．若l m ⊥，则l α⊥
D ．若l α⊥，则l m ⊥
2．已知直三棱柱111ABC A B C -各棱长均相等，点D ，E 分别是棱11A B ，1CC 的中点，则异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为（ ）
A ．15
B ．15-
C ．35
D ．
35
3．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1A D 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A ．直线P
B 与直线1A D 垂直，直线PB ∥平面11B D
C B ．直线PB 与直线1
D C 平行，直线PB ⊥平面11AC D C ．直线PB 与直线AC 异面，直线PB ⊥平面11ADC B D ．直线PB 与直线11B D 相交，直线PB ⊂平面1ABC
4．平行六面体1112-ABCD A B C D 中，111,3
∠=∠=∠===
A AB
A AD BAD A
B AD AA π，则1BD 与
底面ABCD 所成的线面角的正弦值是（ ）
A B C ．1
2
D 5．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（ ） A ．若m ⊥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ⊥α，α⊥β，则m ⊥β C ．若m ⊥α，α⊥β，则m ⊥β D ．若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β
1．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30，则（ ） A ．2AB AD = B ．AB 与平面11AB C D 所成的角为30 C ．1AC CB =
D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒
2．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．
时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
1485m ．上升到1575m ． 2.65≈）（ ）
A ．931.010m ⨯
B ．931.210m ⨯
C ．931.410m ⨯
D ．931.610m ⨯
3．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为则该球的表面积为（ ） A ．100π
B ．128π
C ．144π
D ．192π
4．如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA -=，E ，F 分别是棱11,BC A C 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，
二面角F BC A --的平面角为γ，则（ ）
A ．αβγ≤≤
B ．βαγ≤≤
C ．βγα≤≤
D ．αγβ≤≤
5．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120︒，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A ．23
B ．24
C ．26
D ．27
一、单选题
1．已知正三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．π
B ．3π
C ．6π
D ．9π
2．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下面说法正确的是（ ） A ．若αβ⊥，αγ⊥，则//βγ B ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥ C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥ D ．若//m n ，n ⊂α，则//m α
3．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点,,,P A B C ，满足1,PA PA =⊥面ABC ，AC BC ⊥，若2
3
P ABC V -=，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
A ．
256
π B ．9π
C ．92π
D ．98
π
4．在三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ､11
B C 的中点，若12AA AC ==，DE =，则DE 与1CC 所成角的余弦值为（ ）
A B C D 5．已知在菱形ABCD 中，2,60AB A =∠=︒，把ABD △沿BD 折起到'A BD 位置，若二面角A BD C '--大小为120︒，则四面体A BCD '的外接球体积是（ ）
A ．73
π
B ．
283
π C D 6．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC ⊥面11ACC A ，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）
A ．
5
B C D ．35
7．四面体P ABC -中，45,30APB APC BPC ∠=︒∠=∠=︒，则二面角A PC B --的平面角的余弦值为（ ）
A 1
B ．
34
C ．3
D ．
3
8．如图，三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，1AC BC ==，PA BA ==2PB =．三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）
A B C D
二、多选题
9．已知α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是(
)
A ．若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥
B ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥
C ．若//αβ，m α⊂，则//m β
D ．若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等
10．在正四面体A －BCD 中，3AB =，点O 为ACD △的重心，过点O 的截面平行于AB 和CD ，分别交BC ，BD ，AD ，AC 于E ，F ，G ，H ，则 （ ）
A ．四边形EFGH 的周长为8
B ．四边形EFGH 的面积为2
C ．直线AB 和平面EFGH
D ．直线AC 与平面EFGH 所成的角为
4
π
三、解答题
11．如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，90ACB ∠=︒，112BC AC CC ===，.
(1)证明:11AC A B ⊥；
(2)若1
2AC =，求二面角1A AB C －－的余弦值.
12．如图，在以P ，A ，B ，C ，D 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ⊥CD ，1
2
AD CD AB ==
，平面PAD ⊥平面PAB ，PA PB ⊥．
(1)求证：平面PAD ⊥平面PBC ；
(2)若二面角P AB D --PD 与平面PBC 所成角的正弦值．。