第3节 常用连续型分布 (3)

2
2[1 0 (2)] 0.0456
(3) P X 2 1 (2) 1 0 (0) 1/ 2.
3 准 则
设 X ~ N ( , 2 ), 则有 0.6826, k 1 P X k 2 0 ( k ) 1 0.9545, k 2 . 0.9974, k 3
X [ xi , xi 1 ] ( , 41.5) [41.5,43.5)
[53.5,55.5) [55.5,57.5) [57.5,59.5) [69.5,71.5) [71.5, )
频率 ni n
0.03285 0.01892 0.0946 0.1043 0.0993 0.02129 0.03995
FX ( x) P( X x) P(eY x)
P (Y ln x ), x 0 (ln x ), x 0 . 0 ,其他 0 ,其他
(ln x ) (ln x ) 1 2 2 , x 0 e , x0 2 x . 于是 , f ( x ) x 0 , 其他 0 , 其他
定理
设 X ~ N ( , 2 ),则 X * ( X ) ~ N (0, 1). 证明 设 X和 X 的分布函数分布为( x) 和 F ( x),则
*
F ( x) P{ X x} P{( X ) / x}
*
P{ X x } ( x )
0 , xa xa F x ,a xb ba 1 ,xb
a
b
实例 以X 记计算时的[四舍五入]误差, 则X ~ U[0.5,0.5].
第十一次作业(3.28 )
必做题: 练习2－4) 1. 5. 8. 选做题: 练习2－4) 7. 9. 第二次习题课通知：
1
e

x 2
2 2
, x
其中参数 可取任一实数, 可取任一正数.
问题 1. 验证 ( x )满足(1) ( x ) 0,(2) ( x )dx 1.

2. 绘制 ( x )图像的草图.
1 2



2. 正态分布的性质
所以 X *的概率密度 f ( x ) F ( x ) ( x ) 0 ( x ).
推广 设 X ~ N ( , 2 ), 则 aX b ~ N (a b, a 2 2 ), a 0.
例4 [ 2 (1)分布]设 X ~ N (0,1),求 Z X 2的概率密度.
x
x0 x0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5, 1, 2
0.5 1 1.5 2 2.5
无记忆性 设随机变量 X ~ Exp , 则对任意实数 s 0, t 0,
有 P { X s t X s } P { X t }.
2. 指数分布的应用 指数分布常用来描述等待时间或寿命的统计规律 例如, 在车站等待公交车的时间；某台新购电脑的使 用寿命, 等等.
解 按照常理, 在允许的时间内你会选择及时赶到火 车站的概率较大的路线. 以X 记行车时间, 则
(1) 有70分钟时,选择第一条路线及时赶到的概率为
50 P( X 70) 0 7010 0 2
选择第二条路线
60 P( X 70) 0 70 4 0 2.5 .
三、指数分布
1. 指数分布的定义 如果随机变量 X 的密度函数为
e f x 0
x
1 0.8 0.6
0.5, 1, 2
x0 x0
( >0)
0.4 0.2
则称 X 服从参数为 的指数分布，记作 X ~ Exp
1
0.5
1
1.5
2
2.5
1 e F x 0
2
第十二次作业(4.1 )
必做题: 练习2－4) 5. 8. 练习2－5) 6. 选做题: 练习2－4) 9. 练习2－5)2. 4.
§2.3 常用的连续型分布
简要回顾
一个函数 f ( x ) 被称为连续型随机变量X的概率密度 如果它满足(1) f ( x ) 0, (2)

f ( x )dx 1.
设连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为 f ( x ) 和F ( x ), 则它们之间具有如下关系: x F ( x ), x处可导 (1)F ( x ) f ( t )dt ; (2) f ( x ) . 0 ,其他 设连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为 f ( x ) 和F ( x ), 则利用它们求概率的公式为:
解 (1)P 1 X 5 P 1 X 5
2 1 2 ) ( (5) (1) 0 ( 5 0 3 3 )
0 (1) 0 (1) 20 (1) 1 0.6826
(2) P X 2 6 Baidu Nhomakorabea P
X 2 3
概率

xi



xi 1


0.03005 0.02150 0.0929 0.0990 0.0954 0.02547 0.03754
例2 从某地到火车站有两条路线 : 其一穿过市区, 路 程较短 , 但意外拥堵较多, 所需时间(单位为分 )服从正态 分布N (50,100);其二沿环城公路 , 路程较长 , 但意外拥堵 较少, 所需时间服从正态分布N (60,16). (1)假若有70分钟可用, 你会选走哪条路线 ? (2)假若只有65分钟可用, 你又会选走哪条路线 ?
P z X z , 0 z 解 FZ ( z ) P( Z z ) 0 , 其他 20 z


z 1, 0 z
0 , 其他
1 e 2, 0 z 于是 , f Z ( z ) 2 z . 0 ,其他 如果随机变量X以上述函数为概率密度, 则称X 服从
P ( X a ) P ( X a ) F (a )
a
f ( x )dx .
一、均匀分布
如果连续型随机变量 X 的密度函数为
1 xb xb c a a f x b a 0 其它 其它 0
a
b
则称 X 服从区间[a, b]上的均匀分布，记作 X ~ U [a , b]
(3) 定理: 设 X ~ N ( , 2 ), 则( X ) ~ N (0, 1).
(4) 设( x)为 X ~ N ( , 2 ) 的分布函数, 则
( x) 0 ( x ).
例1 设随机变量 X ~ N (2, 9), 求如下事件的概率: (1) P 1 X 5 ; (2) P X 2 6 ; (3) P X 2．
68%

1
95%
2
99.7%
3
3. 正态分布的应用 通常认为如下类型的随机变量 X 服从正态分布：
各种测量的误差； 工厂产品的尺寸； 普通人的年收入； 人的身高或体重； 农作物的收获量； 学生的考试成绩；……
共同特征： 两边小，中间大，左右对称
实例 某手表厂对其生产的某个零件的重量X , 收集 了大量的数据. 现根据数据算出的X的频率分布, 并将其 与正态分布N (56.94,8.22 )作对照:
时间： 2 班 周日（3.30）晚上6：00-7：30 10班 周日（3.30）晚上8：00-9：30 地点： 1304
二、正态分布
1. 正态分布的定义 如果连续型随机变量 X 的密度函数为
2 则称X 服从参数为和 2的正态分布, 记作X ~ N ( , 2 )
( x)
自由度为1的 2分布, 记作X ~ 2 (1).
例5[对数正态分布] 如果随机变量X 的对数Y ln X 服从正态分布N ( , 2 ), 则称X 服从参数为和 2的对数 正态分布. 试求对数正态分布的密度函数.
解 已知Y ln X ~ N ( , 2 ), 则 X eY 且分布函数为
示例 某人在常年乘坐某线路公交车时, 发现他的等 车时间大致服从参数为0.2的指数分布. 有一天他等了5 分钟也没见车来,求他再等5分钟还没车来的概率.
例3 某类型元件的寿命X 服从参数 0.001的指数 分布(单位 : 小时), 现有3个这样的元件使用了 1000小时, 求恰好有一个损坏的概率. 解 记 A 元件损坏, Y 3个元件使用了 1000小时后 损坏的个数, 则Y ~ B(3, p), 其中
(1) 当 0, 1 时,即X ~ N (0,1), 称X 服从标准 正态分布, 其概率密度记作0 ( x ),即
2
0 ( x )
1 2
e
x2 2
, x
O
x (2) 设 X ~ N (0,1), 记 X 的分布函数为0 ( x), 则 0 ( x) 1 0 ( x)
1 F (1000) 1 e . p P( A) P ( X 1000)
而所求概率为
1 2 P(Y 1) C3 p(1 p) 3(e 2 e 3 ) 0.197
综上, 1000小时后3个元件中恰好有一个损坏概率约 为19.7%.
四、常用变量的函数的分布