湘教版数学选修2-2分层训练4-1-3导数的概念和几何意义含解析

4．1.3 导数的概念和几何意义

一、基础达标

1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线

() A．不存在B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直D．与x轴斜交

答案 B

2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是

()

A．f′(x A)>f′(x B) B．f′(x A)<f′(x B)

C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定

答案 B

解析分别作出A、B两点的切线，由题图可知k B>k A，即f′(x B)>f′(x A)．3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为

() A．4 B．16 C．8 D．2

解析在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数，由导数定义可求y′＝4x，∴f′(2)＝8.

答案 C

4．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为

() A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)

B．f(x)＝2(x－1)

C．f(x)＝2(x－1)2

D．f(x)＝x－1

答案 A

解析分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；

f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.

5．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为____________．

答案33x－y＋1＝0

解析Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x

＝1＝lim

d→0

Δy

d

＝lim

d→0

(3＋d)＝3.

∴切线的方程为y－4＝3(x－1)，

即3x－y＋1＝0.

6．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为____________．

答案4x－y－5＝0

解析∵f′(x)＝f(x＋d)－f(x)

d＝

(x＋d)2－1－(x2－1)

d

＝2xd＋d2

d＝(2x＋d)＝2x.

设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为

y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.

7．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．

解∵f′(3)＝f(3＋d)－f(3)

d

＝(3＋d)3－33

d＝(d

2＋9d＋27)＝27，

∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，即27x－y－54＝0.

此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．

∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝1

2×2×54＝54.

二、能力提升

8．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为

() A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5

C．y＝3x＋5 D．y＝2x

答案 A

解析－(Δx＋1)3＋3(Δx＋1)2－(－13＋3×12)

Δx

＝－Δx2＋3.

Δx→0时，－Δx2＋3→3.

∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3. 所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.

9．函数y＝f(x)图象在M(1，f(1))处的切线方程为y＝1

2x＋2，则f(1)＋f′(1)＝

________.

答案 3

解析由已知切点在切线上．

∴f(1)＝1

2×1＋2＝

5

2.

切线的斜率f′(1)＝1

2.∴f(1)＋f′(1)＝

3.

10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的值分别为________，________.

答案1 1

解析∵点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，

∴－b＋1＝0，b＝1.

又f(0＋Δx)－f(0)

Δx＝

Δx2＋aΔx＋b－b

Δx＝a＋Δx，

∴f′(0)＝a＝1.

11．已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．

解 设切点为A (x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋1.

(x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx ＝Δx 3＋3x 20Δx ＋3x 0Δx

2Δx ＝

Δx 2＋3x 0Δx ＋3x 2

0.

∴f ′(x 0)＝3x 20，切线的斜率为k ＝3x 20.

点(1,2)在切线上，∴2－(x 30＋1)＝3x 20(1－x 0)．∴x 0＝1或x 0

＝－12. 当x 0＝1时，切线方程为3x －y －1＝0， 当x 0＝－1

2时，切线方程为3x －4y ＋5＝0.

所以，所求切线方程为3x －y －1＝0或3x －4y ＋5＝0. 12．求抛物线y ＝x 2的过点P (5

2，6)的切线方程． 解 由已知得，Δy

d ＝2x ＋d ， ∴当d →0时，2x ＋d →2x ， 即y ′＝2x ，

设此切线过抛物线上的点(x 0，x 20)， 又因为此切线过点(5

2，6)和点(x 0，x 20)， 其斜率应满足

x 20－6x 0－52

＝2x 0， 由此x 0应满足x 2

0－5x 0＋6＝0.

解得x 0＝2或3.

即切线过抛物线y ＝x 2上的点(2,4)，(3,9)．

所以切线方程分别为y －4＝4(x －2)，y －9＝6(x －3)． 化简得4x －y －4＝0,6x －y －9＝0， 此即是所求的切线方程． 三、探究与创新

13．求垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程． 解 设切点为P (a ，b )，函数y ＝x 3＋3x 2－5的导数为y ′＝3x 2＋6x .故切线的斜率