2021-2022学年福建省宁德市八年级(上)期末数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年福建省宁德市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 在实数0，17，2，√5中，是无理数的是( ) A. 0 B. 17 C. 2 D. √5
2. 如图，AB//CD ，∠D =37°，下列各角中一定等于37°的
是( )
A. ∠A
B. ∠B
C. ∠C
D. ∠AOC
3. 下列选项中的各组数，是方程x −2y =8的解的是( )
A. {x =1y =−3
B. {x =2y =−3
C. {x =4y =−1
D. {x =6
y =1 4. 一次函数y =−x +3的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5. 下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. √1
2 B. √6 C. √8 D. √9
6. 现有四块正方形纸片，面积分别是4，6，8，10，从中选取三
块按如图的方式组成图案，若要使所围成的三角形是直角三角
形，则要选取的三块纸片的面积分别是( )
A. 4，6，8
B. 4，6，10
C. 4，8，10
D. 6，8，10
7. 已知√7−1的值介于连续整数a 与b 之间，则a ，b 的值分别是( )
A. 1，2
B. 2，3
C. 3，4
D. 5，6
8. 某班有36人参加义务植树劳动，他们分为植树和挑水两组，要求挑水人数是植树人
数的2倍，设有x 人挑水，y 人植树，则下列方程组中正确的是( )
A. {2x +y =6x =2y
B. {x +2y =36y =2x
C. {x +y =36x =2y
D. {x +y =36y =2x
9. 在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：s 2=15[(8−x −)2+
(6−x −)2+(9−x −)2+(6−x −)2+(11−x −
)2]，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是( ) A. 平均数是8 B. 众数是6 C. 中位数是9 D. 方差是3.6
10. 已知一次函数y =kx +4，其中y 的值随x 值的增大而减小，若点A 在该函数图象上，
则点A 的坐标可能是( )
A. (1,6)
B. (3,4)
C. (−1,−2)
D. (−2,5)
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
11. 若(1,2)表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第2列第3排的位置表示为______． 12. √−83=______．
13. 在初三毕业体育测试中，5位同学参加了跳绳项目测试，成绩分别是(单位：个/分
钟)：176，184，172，170，180，则该组数据的中位数是______．
14. 在平面直角坐标系中，点M 的坐标是(12,−5)，则点M 到x 轴的距离是______．
15. 如图，已知直线y =x +1与y =kx +b 相交于点P(1,m)，则关于x ，y 的二元一次
方程组{y =x +1y =kx +b
的解是______．
16. 已知直线l ：y =k(x −1)+3，点A 与原点O 关于直线l 对称，则线段OA 的最大值是
______．
三、解答题（本大题共8小题，共58.0分）
17. 计算：
(1)2×(1−√2)+√8；
(2)
√27−√6√3+2√2．
18. 解方程组：{x +2y =−83x −y =11
．
19. 如图，△ABE≌△DCE ，点E 在线段AD 上，点F 在CD 延长线上，∠F =∠A ，求证：
AD//BF ．
20.如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，其中点B的坐标为
(−3,0)，点C的坐标为(−1,1)．
(1)在网格中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
(2)求线段A1B1的长．
21.为铭记历史，致敬英雄，某校开展抗美援朝专题知识竞赛活动，现抽取20名同学的
竞赛成绩(满分100分，得分都取整数)进行整理，得到如图所示的频数分布直方图．(图中的75～80表示75≤x<80，其余类推)
根据以上信息回答下列问题：
(1)下列推断合理的有______；(填写序号)
①竞赛成绩的众数一定在90～95这一组上；
②竞赛成绩的众数一定不在75～80这一组上；
③竞赛成绩的众数可能在95～100这一组上．
(2)求竞赛成绩的平均分．(每组中各个数据用该组的中间值代替，如75～80的中间
值为77)
22.某校计划为在校运会上表现突出的12名志愿者每人颁发一件纪念品，李老师前往购
买钢笔和笔记本作为纪念品，如果买10支钢笔和2本笔记本，需230元；如果买8支钢笔和4本笔记本，需220元．
(1)求钢笔和笔记本的单价；
(2)售货员提示：当购买的钢笔超过6支时，所有的钢笔打9折．设购买纪念品的总
费用为w元，其中钢笔的支数为a．
①当a>6时，求w与a之间的函数关系式；
②李老师购买纪念品一共花了210元钱，他可能购买了多少支钢笔？
23.如图，已知△ABC，点D，E分别在AB，AC上，EF平分∠DEC交BC于点F．
(1)如图1，当DE//BC，且∠AED=58°时，求∠EFC；
(2)如图2，连接BE，当DE=DB时，完成以下问题：
①若∠AED=64°，且∠A=62°，求∠BEF；
②判断∠BEF与∠A的数量关系，并说明理由．
24.如图，已知直线y=3
4x+15
2
经过点A(−2,a)，与x轴交于点B，点C在x轴上，且AC=
AB，直线AC与y轴交于点D．(1)求点A，B的坐标；
(2)求直线AC的表达式；
(3)若点P是线段AD上的一点，求△PBO与△PCO面积之差的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、1
是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
7
C、2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、√5是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.【答案】A
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠A=∠D=37°，∠B=∠C，
∴一定等于37°的角是∠A．
故选：A．
根据平行线的性质可求解．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、1−2×(−3)≠8，因此不是方程x−2y=8的解，故此选项不符合；
B、2−2×(−3)=8，因此是方程x−2y=8的解，故此选项符合；
C、4−2×(−1)≠8，因此不是方程x−2y=8的解，故此选项不符合；
D、6−2×1≠8，因此不是方程x−2y=8的解，故此选项不符合；
故选：B．
根据使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解进行分析即可．
此题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程解的定义是本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=−x+3中，k=−1<0，b=3>0，
∴此函数的图象经过第一、二、四象限，
∴此函数的图象不经过第三象限．
故选：C．
先根据一次函数y=−x+3判断出k、b的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，k<0时函数图象经过第二、四象限，b>0时函数图象与y轴相交于正半轴．
5.【答案】B
的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合【解析】解：A．√1
2
题意；
B.√6是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.√8的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.√9的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
6.【答案】B
【解析】解：∵四块正方形纸片，面积分别是4，6，8，10，，
∴四块正方形纸片的边长分别是2，√6，2√2，√10，
由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
当选取的三块纸片的面积分别是4，6，8，4+6≠8，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是4，6，10时，4+6=10，围成的三角形是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是4，8，10时，4+8≠10，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是6，8，10时，6+8≠10，围成的三角形不是直角三角形；
故选：B．
根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，围成的三角形是直角三角形，即可解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
7.【答案】A
【解析】解：∵4<7<9，
∴2<√7<3，
∴1<√7−1<2，
∴a=1，b=2，
故选：A．
用夹逼法估算无理数即可得出答案．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设有x人挑水，y人植树，可得：{x+y=36 x=2y，
故选：C．
根据此题的等量关系：①共36人；②挑水人数是植树人数的2倍列出方程解答即可．此题考查方程组的应用问题，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
9.【答案】C
【解析】解：由方差的计算公式知，这组数据为6、6、8、9、11，
=8，众数为6，中位数为8，
所以这组数据的平均数为6+6+8+9+11
5
[(8−8)2+(6−8)2+(9−8)2+(6−8)2+(11−8)2]=3.6，
方差为s2=1
5
故选：C．
根据方差的计算公式得出这组数据为6、6、8、9、11，再利用平均数、众数和中位数及方差的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是根据方差的计算公式得出这组数据，并掌握平均数、众数和中位数及方差的定义．
10.【答案】D
【解析】解：A、当点A的坐标为(1,6)时，k+4=6，
解得k=2>0，
∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意；
B、当点A的坐标为(3,4)时，3k+4=4，
解得k=0，选项B不符合题意；
C、当点A的坐标为(−1,−2)时，−k+4=−2，
解得k=6>0，
∴y随x的增大而增大，选项C不符合题意；
D、当点A的坐标为(−2,5)时，−2k+4=5
<0，
解得k=−1
2
∴y随x的增大而减小，选项D符合题意，
故选：D．
由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k的值，结合y随x的增大而减小即可求解．
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．
11.【答案】(2,3)
【解析】解：(1,2)表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第2列第3排的位置表示为(2,3)．
故答案为：(2,3)．
理清有序实数对与教室座位的对应关系，据此说明其它实数对表示的意义．
本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解两个数的实际意义是解题的关键．12.【答案】−2
【解析】
【分析】
此题考查了立方根的概念，解题关键是掌握立方根的定义：如果一个数的立方等于a，
3
那么这个数就是a的立方根．注意负数的立方根是负数．因为−2的立方是−8，所以√−8的值为−2．
【解答】
3=−2．
解：√−8
故答案为−2．
13.【答案】176
【解析】解：将这组数据重新排列为170，172，176，180，184，
所以这组数据的中位数为176，
故答案为：176．
将数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14.【答案】5
【解析】解：在平面直角坐标系中，点M的坐标是(12,−5)，则点M到x轴的距离是|−5|= 5，
故答案为：5．
根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
本题考查了点的坐标，熟记点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
15.【答案】{x =1
y =2
【解析】解：∵直线y =x +1与y =kx +b 相交于点P(1,m)， ∴m =1+1=2， ∴P(1,2)，
故关于x ，y 的二元一次方程组{y =x +1y =kx +b 的解是{x =1y =2，
故答案为：{x =1
y =2
．
根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
16.【答案】2√10
【解析】解：如图，对于一次函数y =k(x −1)+3，过定点B(1,3)．
∵O ，A 关于直线y =k(x −1)+3对称， ∴OB =AB =√12+32=√10， ∵OA ≤OB +AB =2√10， ∴OA 的最大值为2√10． 故答案为：2√10．
如图，对于一次函数y =k(x −1)+3，过定点B(1,3).O ，A 关于直线y =k(x −1)+3对称，可得OB =AB =√12+32=√10，再根据OA ≤OB +AB =2√10，可得结论． 本题考查轴对称的性质，一次函数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是发现直线过
定点B(1,3)，推出AB =OB =√10解决问题．
17.【答案】解：(1)原式=2−2√2+2√2
=2；
(2)原式=√9−√2+2√2 =3−√2+2√2 =3+√2．
【解析】(1)先计算乘法、化简二次根式，再计算加减即可； (2)先计算二次根式的除法，再计算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】解：{
x +2y =−8①
3x −y =11②
，
①×3得：3x +6y =−24③， ③−②得：7y =−35， 解得：y =−5，
把y =−5代入①中得：x −10=−8， 解得：x =2，
∴原方程组的解为：{x =2
y =−5．
【解析】利用加减消元法进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组的，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
19.【答案】证明：∵△ABE≌△DCE ，
∴∠A =∠ADC ， ∵∠F =∠A ， ∴∠F =∠EDC ， ∴AD//BF ．
【解析】根据△ABE≌△DCE得到∠A=∠ADC，然后利用∠F=∠A得到∠F=∠EDC，利用同位角相等，两直线平行证得结论．
考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等，难度不大．20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1，即为所求；A1(2,3)；
(2)A1B1=√12+32=√10．
【解析】(1)根据轴对称的性质即可在网格中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，进而写出点A1的坐标；
(2)根据勾股定理即可求线段A1B1的长．
本题考查的是作图−−轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
21.【答案】A
【解析】解：(1)∵在90～95这一组出现的人数最多，
所以竞赛成绩的众数一定在90～95这一组上，
故选：A；
×(77+83×3+87×6+93×7+100×3)=89.95(分)．(2)竞赛成绩的平均分为：1
20
(1)根据众数的定义判断即可，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；
(2)根据算术平均数的公式计算即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、众数、加权平均数，解答本题的关键是明
确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：(1)设钢笔和笔记本的单价分别为x ，y 元，根据题意得：
{10x +2y =2308x +4y =220， 解得：{x =20
y =15
，
答：钢笔和笔记本的单价分别为20元，15元；
(2)①当a >6时，w =20×0.9a +15(12−a)=3a +180； ②由题意，得3a +180=210， 解得a =10，
答：他可能购买了10支钢笔．
【解析】(1)设钢笔和笔记本的单价分别为x ，y 元，根据“买10支钢笔和2本笔记本，需230元；如果买8支钢笔和4本笔记本，需220元”列方程组求解；
(2)①若买a(a >6)支钢笔，则买(12−a)支钢笔，根据单价可写出w 与a 之间的函数关系式；
②根据①的结论列方程解答即可．
本题主要考查一次函数的应用以及二元一次方程组的应用．理清题意，正确列出表达式是解答关键．
23.【答案】解：(1)∵∠AED =58°，
∴∠DEC =180°−∠AED =122°， ∵EF 平分∠DEC ， ∴∠CEF =1
2∠DEC =61°，
∵DE//BC ，
∴∠C =∠AED =58°，
∴∠EFC =180°−∠C −∠CEF =61°； (2)①∵∠AED =64°，∠A =62°， ∴∠ADE =180°−∠A −∠AED =52°， ∵BD =DE ， ∴∠DBE =∠DEB ， ∵∠ADE =∠DBE +∠DEB ，
∴∠DEB=1
2
∠ADE=26°，
∵∠DEC=180°−∠AED=180°−64°=116°，∵EF平分∠DEC，
∴∠DEF=1
2∠DEC=1
2
×116°=58°，
∴∠BEF=∠DEF−∠DEB=58°−26°=32°；
②∠BEF=1
2
∠A，
理由：设∠AED=α，∠A=β，
∴∠ADE=180°−∠A−∠AED=180°−α−β，∵BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∵∠ADE=∠DBE+∠DEB，
∴∠DEB=1
2∠ADE=90°−1
2
(α+β)，
∵∠DEC=180°−∠AED=180°−α，∵EF平分∠DEC，
∴∠DEF=1
2∠DEC=1
2
×(180°−α)=90°−1
2
α，
∴∠BEF=∠DEF−∠DEB=90°−1
2α−[90°−1
2
(α+β)]=1
2
β，
即∠BEF=1
2
∠A．
【解析】(1)根据角平分线的定义得到∠CEF=1
2
∠DEC=61°，根据平行线的性质得到
∠C=∠AED=58°，于是得到∠EFC=180°−∠C−∠CEF=61°；
(2)①根据三角形的内角和定理得到∠ADE=180°−∠A−∠AED=52°，根据等腰三角
形的性质得到∠DBE=∠DEB，根据三角形外角的性质得到∠DEB=1
2
∠ADE=26°，根据角平分线的定义即可得到结论；
②设∠AED=α，∠A=β，根据三角形内角和定理得到∠ADE=180°−∠A−∠AED=
180°−α−β，根据三角形外角的性质得到∠DEB=1
2∠ADE=90°−1
2
(α+β)，根据角
平分线的定义得到∠DEF=1
2∠DEC=1
2
×(180°−α)=90°−1
2
α，于是得到结论．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的没结婚的了，熟练掌握平行线的
性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵直线y =34x +15
2经过A(−2,a)，
∴a =3
4×(−2)+
152
=6，
∴A(−2,6)， 在y =3
4x +
15
2
中，令y =0得34x +152
=0，
解得x =−10， ∴B(−10,0)，
答：点A 的坐标为(−2,6)，点B 的坐标为(−10,0)； (2)设C(m,0)， ∵A(−2,6)，B(−10,0)，
∴AB 2=(−2+10)2+(6−0)2=100， ∵AB =AC ，
∴AB 2=AC 2，即100=(m +2)2+(0−6)2， 解得m =−10(舍去)或m =6， ∴C(6,0)，
设直线AC 为y =kx +b ， ∴{
−2k +b =66k +b =0
，
解得{k =−3
4
b =92
，
∴直线AC 的表达式为y =−3
4x +9
2； (3)如图：
设P(t,−34t +9
2)，其中−2≤t ≤0， ∴S △PBO =1
2×10×(−3
4t +9
2)=−154t +
45
2
，S △PCO =12×6×(−34t +92)=−94t +272
，
∴S △PBO −S △PCO =−
154
t +
452
−(−9
4t +
27
2
)=−3
2t +9，
∵−3
2
<0，
∴S△PBO−S△PCO随t的增大而减小，∵−2≤t≤0，
∴t=−2时，S△PBO−S△PCO最大，最大值为−3
2×(−2)+9
2
=15
2
，
答：△PBO与△PCO面积之差的最大值是15
2
．
【解析】(1)由直线y=3
4x+15
2
经过A(−2,a)，得a=6，即得A(−2,6)，在y=3
4
x+15
2
中，
令y=0得x=−10，即得B(−10,0)；
(2)设C(m,0)，由AB=AC得100=(m+2)2+(0−6)2，即可解得C(6,0)，用待定系数
法可求得直线AC的表达式为y=−3
4x+9
2
；
(3)设P(t,−3
4t+9
2
)，其中−2≤t≤0，可得S△PBO−S△PCO=−3
2
t+9，由一次函数性质
即可得△PBO与△PCO面积之差的最大值是15
2
．
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理等知识，解题的关键是掌握函数图象上点坐标特征及一次函数的性质．。