专题一：开放性问题

专题一：开放性问题
（一）条件开放题
【简要分析】
条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求
【典型考题例析】
例1：已知反比例函数2k y x
-=其图象在第一、三象限内，则k 值可为 ．（写出满足条件的一个k 的值即可）（2005年江苏苏州市中考题目）
分析与解答：收反比例函数的图象在每一、三象限可知k-2>0，即
k>2．因此所取k 值只要满足k>2都可以，比如k 取3、4、5…都题意的．
例2：如图2-1-1，△ABC 内接于⊙O ，D 是AB 上一点，E 是BC 的延长线上一点，AE 交⊙O 于F ，为使△ADB ∽△ACE,应补充的一个条件
是 ．（2005年湖南株州市中考题目）
分析与解答:要使△ADB ∽△ACE ，只要找到这两个三角形有两个角对应相等或对应成比例有夹角相等或三边对应成比例即可．本题中，从角方面考虑，观察畋形可知∠ACE=∠CAE ，于是，只找另外一对对应角相等就行了，因此，要补充的条件可填∠DAB=∠CAE 或∠ABD=∠E ；同时，根据同圆中圆周角与弧之间的∠DAB=∠CAE 又可转化为弧BD CF =，因此补充的条件又可以填弧BD CF =；从边考虑，由于已有条件∠ADB=∠AC 成立，如果它们的夹角边对应成比例同样可以得出△ADB ∽△ACE ，于是补充的条件又可以填AD BD AD AC AD CE AC BD AC CE BD CE ==? 或或等． 例3：如图2-1-2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD=AB ，E 为CB 延长线BM 上一点，当E 点在BM 上运动到某一位置满足一定条件时，就在有CD BE DA AB ∙=∙成立，问该结论成立的条件是什么？请注明条件并给
予证明．（广西柳州市中考题）
分析与解答：我们通过逆向分析来探结论成立的条件，假设AB DA BE CD ? 成立，则有AB ：BE=CD ：DA ，又∠ABE=∠ADC （圆内接四边形的外角等于内对角），连结AC ，故有△ABE ∽△CDA ．因此只需探索△ABE ∽△CDA 的条件即可，当∠AEB=∠CAD 或∠EAB=∠ECA 或∠EAB=∠ACD 或EA 与⊙O 相切时，都有△ABE ∽△CDA ．下面以“EA 与⊙O 相切”为条件给出证明．
∵EA 与⊙O 相切，
∴∠EAB=∠ECA.
又∠ECA=∠DCA. ∴∠EAB=∠DCA.
又∠ABE=∠D. ∴△ABE ∽△CDA. ∴,.AB CD AB DA BE CD BE DA =? 即
【提高训练1】
图2-1-1
1． 如图2-1-3，AB 是⊙O 的直径．弦CD 与直径AB 相交于点E. 补充一个条件 使
CE=DF ．（只要求填写一个你认为合适的条件）（2005年四川内江市中考题）
2． 如图2-1-4在△ABC 是AD ⊥BC 于D ，再添加一个条件，就可以确定△ABD ≌△ACD ，
这条件可以是 ．（2004年黑龙江宁安市面上中考题）
3． 如图2-1-5欲使△ABC ∽△ACD ，应补充的一个条件是 ．（2004年山西省中考题目）.
4． 若整式241x Q ++是一个完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q ； ．
5． 如图2-1-6半圆O 这△ABC 的外接圆，AC 为直径， D 这弧BC 上的一动点，P 在CB
的延长线上，且有∠BAP=∠BDA ．（1）求证：AP 是半圆O 的切线．（2）当期限他条件不变时，问添加一个什么条件后有2
BD BE BC = 成立？（2005年湖北省荆州市中考题改编）.
6． 如图2-1-7，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，⊙O 的割线PDE 垂直AB 于点F ，
交BC 于点G ，连结PC ，∠BAC=∠BCP ，求解下列问题：（1）当点C 在劣弧AD 上运动时，应再具备什么条件可使结论2BG BF BO = 成立？（2005处湖南省常德市中考题改编）.
【提高训练1答案】 １．“AC AD =”或“BC BD =”或“AB CD ⊥” 2．“BD=CD ”或“∠BAD=∠CAD ”或“∠B=∠C ”或“AB=AC ” 3．“∠ACD=∠B ”或“∠ADC=∠ACB ”或“AD ：AC=AC ：AB ” 4．“4x -”或“4x ”或“1-”或“24x -” 5．（1）略 （2）“A B D B =”或“∠BAE=∠BDA ”或“AB=BD ” 6．（1）略 （2）“BG=CG ”或“OG ⊥BC ”或“OG ∥AC ”
（二）结论开放题
【简要分析】
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．
【典型考题例析】
例1：一条抛物线的对称轴是x=1逐步形成与x 轴有唯一的公共点，并且开口向下，则这条抛物线的解析式是 ．（任写一个）（2005年甘肃省兰州市中考题）
分析与解答：根据已知，我们可设这条抛物线的解析式这2
(1)y a x k =-+，图2-1-7
图2-1-6A 图2-1-5D C B A 图2-1-4D C B
A 图2-1-3
22y ax ax a k =-++即．
又由题意有20,(2)4()0a a a a k <--+=．解得0,0a k <=.于是年求抛物线的解析式2(1)y a x =-只要满期足0a <就行.答安不唯一,如2242y x x =-+-等.
例2：如图2-1-8,AB 是⊙O 的直径, ⊙O 交BC 于D,过D 作⊙O 的切线DE 交AC 于E,且DE ⊥AC,由上述条件,你能推出的正确结论有: .(2005处甘肃省兰州市中考题).
分析与解答：本题所给的图形中，有直径，有切线，我们可联通想到直径所对的圆周角是直角，切线的性质，从以下几方面寻找答案，（１）由ＡＢ是⊙O 的直径，可得＂∠ＡＤＢ＝９００＂，同时，根据勾股定理有＂222AD BD AB +=＂．（２）连结Ｏ
Ｄ．∵ＤＥ是⊙O 的切线，∴ＯＤ⊥ＤＥ，又ＤＥ⊥ＡＣ，∴Ｏ
Ｄ∥ＡＣ，又∵Ｏ是ＡＢ的中点，∴有＂Ｄ是ＢＣ的中点＂成
立．（３）在Rt △ＡＤＣ中，ＤＥ⊥ＡＣ，∴有＂△ADC ∽△AED ∽△DEC ”、“2A D A EA C = ”、“2DC CE CA = ”、“2
DE E CE = ”等结论成立．（４）∵ＤＥ是⊙O 的切线，由弦切角定理有“∠ＡＤＥ＝∠Ｂ”成立．
例3：如图2-1-9，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，P 为梯形ABCD 外一点，PA 、PD 分别交线段BC 于点E 、F ．且PA=PD ．（1）写出图三对你认为全等的三角形（不再添加畏助线），（2）选择你在（1）中写出的全等三角形国的任意一对进行证明．（2005年河南省中考题目）. 分析与解答：由已知条件可知,本题所给的基本图是等腰梯形，
联想到等到腰梯形的性质有：①上下两认底平行（可得内错角相
等、同位角相等）；②同一底上的两个角相等（角相等）；③两腰相等（边相等）．另外，已知条件中还有PA=PD （边相等）．根据这
些角、边之间的关系，我们不难得到答案．
⑴图中的全等三角形有：△ABP ≌△DCP ；△ABE ≌△DCF ，△
BEP ≌△CFP ；△BFP ≌△CEP 等．
⑵下面就△ABP ≌△DCP 给出证明．
∵AD ∥BC ，AB=DC ，∴梯形ABCD 这等腰梯形．∴∠BAD=∠CDA ，又∵PA=PD ，
∴∠PAD=∠PDA ．∴∠BAP=∠CDP ．在△ABP 和△DCP 中，∵PA=PD ，∠BAP=∠CDP ，AB=DC ， ∴△ABP ≌△DCP ．
【提高训练2】
１．请你写出一个能分解的二次四项式并把它分解因式： ．（2005年湖北武汉市中考题）
２．请选择一组你喜欢的a 、b 、c 的值，使二次函数2
(0)y ax bx c a =++ 的畋象同时满足下全条件：①开口向下，②当x<2时，y 随x 的增大而增大；当x>2时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是 ．（2005年江苏省扬州市中考题）． ３．已知抛物线2()1y x m =--+与x 轴的交点为A 、B （B 在A
图2-1-9P F
E D C B A
的右边—），与y 轴的交点为C ，写出当m=1时与抛物线有关的三个正确结论．（2005年江本省中考题）．
４．已知：如图2-1-10，⊙O 内切于四边形ABCD ，AB=AD ，连结AC 、BD ．由这些条件能推出哪些结论？（至少写出3条） ５．如图2-1-11，△ABC 中，AB=AC ，过点A 作GE ∥BC ，角平
分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试
在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．（2005年浙江省宁波市中考题） 【提高训练2答案】
1．答案不唯一，如“2229(3)(3)x xy y x y x y -+-=-+--”等
2．确定的解析式为2(2)y a x k =-+，且0a <即可，例如选取23(2)4y x =--+，即23128y x x =-+-就是符合要求的答案
3．正确正确有：①抛物线的解析式为：22y x x =-+；②开口向下；③顶点坐标为（1，1）；④抛物线经过原点；⑤与x 轴的的另一个交点坐标为（2，0）；⑥对称轴为直线1x =
4．正确正确有：①∠ABD=∠ADB ；②AB+CD=AD+BC ；③CD=BC ；④∠CBD=∠CDB ；⑤△ABC ≌△ADC ；⑥∠ABC=∠ADC ；⑦∠BAC=∠DAC ；⑧∠ACB=∠ACD
5．答案不唯一，如△BCF ≌△CBD ，△BHF ≌△CHD ，△BDA ≌△CFA ，△BAE ≌△CAG ，△AGF ≌△AED 等；证明略
（三）组合开放题
【简要分析】
组合开放型试题的的条件和结论都不确定，需要考生认定条件和结论然后组成一个新命题，并加以证明或判断．这种新颖的组合型开放题，已使几何听论证转向发现、猜想与探究．成为中考命题的热点．
【典型考题例析】
例1：已知：如图2-1-12，AB 为半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，E 是AB 上除O 外的一点，AC 与DE 交于点F ．①AD DC =；②DE ⊥AB ；③AF=DF ．
写出以①、②、③中的任意两个这条件，推出第三个（结论）
的一个正确命题．并加以证明．（2003年四川省绵旭市中考题）
分析与解答：对于这一类条件与结论都开放的组合型开放题，
我们先要将它的已知条件进行配对，逐一探索哪能组条件与结论能
组成正确的命题，然后选择一组进行证明．
能够推出的正确命题有“若①、②，则③；①若②、③则①；
若②、③则①．下面以若①、②则③这命题证明如下： 连结AD 、BD ．∵A D D C =，∴∠DAC=∠B ，又AB 为，DE ⊥AB ，∴∠ADB=∠AED=900
．∴∠ADE=∠B ．∴ADE=DAC ．∴AF=DF ．
说明：本题立足于常见的基本图形，把传统的几何证明题改告造成一个要求学生发现、猜想、证明的组合型开放题，符合数学事实的发现过程． 图2-1-11
G H F E D C B A 图2-1-12
B A D A
例2：如图2-1-13， 四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，连结AE 、△，给出下列五个等式：①AD ∥BC ；②DE=CE ；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB ．将其中三个关系式作为题设，国外两个作为结论，构成一个命题．（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果…… 那么……），并给出证明，（2）用序号再现实性出三个真命题（不要求证明）．（3）加分题：其命题不止以上四个，想一想，就能够多写出几个真命题，每多写一个真命题就给我多加1分，最多2 分．（2004年黑龙江省宁安市面上中考题）
分析与解答：（1）众条件①②③④⑤中选取在个作题设，另外两个作结
论，构杨一个真命题，以尝试、探索可得：如果①②③，那么④⑤． 如图2-1-14，延长AE 交BC 于的延长线于点F ，∵AD ∥BC ，∴∠1=∠F ，又∵∠AED=∠FEC ，DE=CE ．∴△ADE ≌△FCE ．∴AD=CF ．AE=FE ．又∵∠1=∠F ，∠1=∠2，∴∠2=∠F ，∴AB=BF ，∴AB=BC+CF=BC+AD ．即⑤成立，又∵AE=FE ，∠2=∠F ，AB=BF ．∴△ABE ≌△FBE ．∴∠3=∠4．即④成立．
（2）如果①②④，那么③⑤；如果①③④，那么②⑤；如果①③⑤，
那么②④．
（3）不唯一，如果①②⑤，那么③④；如果②④⑤，那么①③等．
【提高训练3】
1．已知：如图2-1-15，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三
角形，并给予证明．所添加的条件为 ．你得
到的一对全等三角形是△ ≌△ ．
（2005年福建省神州市中考题） 2．如图2-1-16，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一条直线上，下面有四个条伯，请你从其中
选三个作为题目设，余下的一检点作为结论，写
一个真命题，并驾证明书．①AB=DE ；②AC=DF ；③∠ABC=DEF ；④BE=CF ．（2005年江苏省扬州市中考题） 3．如畋2-1-17，在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，
有下面四个结断：①AD=CB ；②AE=CF ；③∠B=∠D ；④AD ∥BC ．请用其
中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并写出解答过程．（2004年广西桂林市中考题）
【提高训练3答案】
1．所添加的条件为：∠A=∠B （或PA=PB 或AC=BD 或AD=BC 或∠APC=∠BPD 或∠APD=∠BPC 等） 全等三角形为△PAC ≌△PBD （或△APD ≌△BPC ），证明略．
2．答案不唯一，如“已知AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ，求证：∠ABC=∠DEF ”等，证明略．
3．答案不唯一，如“已知AE=CF ，∠B=∠D ，AD ∥BC ，求证：AD=BC ” 等，证明略
F
图2-1-144321E
D C B A 图2-1-15
图2-1-16F E D C B A 图2-1-17E F D C B
A。