动态规划资源分配问题

S1
7
X1
12
3
4
P1(x1)
44
5
8
F2+ p1 21 19
17 18
f1(s1)
21
X1*
1
• 当k=2时;
f2(s2) = max [p2(x2)+ f3(s3) ]
1< x2 < s2 3< s2< 6 计算结果:
S2 X2 p2(x2) F3+ p2 f2(s2) X2*
34 1 12 3 35 10 12 12 10 12 1 1或2
f（k* sk ) max{ fk (sk , xk )}
xk 1,2,3...,sk
4
xi sk
ik
xi大于等于1且为整数
将递推关系写出即是
f
* k
(
sk
)
xk
max
1, 2 ,..., sk
{Pk
(
xk
)
f
* k 1
(
sk
xk )}
f（5* s5）＝0
k 1,2,3
当k=4时;
f4(s4) = max [p4(x4)]
S3 X3 p3(x3) F3+ p3 f3(s3) X3*
23 1 12 5 56 7 98 79 11
4 123 568 12 10 10 12 1
5 1 2 34 5 6 88 13 13 12 10 13 1或2
• 当k=1时;
f1(s1) = max [p1(x1)+ f2(s2) ]
1< x1< s1 s1=7 计算结果:
5 123 35 6 15 14 13 15 1
6 1 2 34 3 5 67 16 17 15 14 17 1
综上计算，可知此人可得到的最高学分为f（1 s1）＝21，再逆推 回去得：
u*2＝2，u*3＝1，u*4＝3，故最合理得时间安排为： 第一科目复习1天；第二科目复习2天；第三科目复习1天；第四 科目复习3天。
资源分配问题：只有一种资源有待于分配到 若干个活动，其目标是如何最有效地在各 个活动中分配这种资源。在建立任何效益 分配问题的DP(Dynamic Programming )模型 时，阶段对应于活动，每个阶段的决策对 应于分配到该活动的资源数量；任何状态 的当前状态总是等于留待当前阶段和以后 阶段分配的资源数量，即总资源量减去前 面各阶段已分配的资源量。
令P（i xi）表示分配x天给考试科目i的效果量，我们的目标
是挑选x1，x
2，x
3，x
，使
4
max[P1(x1) P2 (x2 ) P3 (x3 ) P4 (x4 )]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s.t x1 x2 x3 x4 7
x1，x2，x3，x4 1且为整数
目标可改写成
4
f（k sk，xk）＝P（k xk）＋max{ Pi (xi )} ik 1
课程 1 学分 复习天数
1
4
2
4
3
5
4
8
234
35 2 56 4 68 7 7 88
解：这个问题要求作出4个相应关联的决策，即应分配多 少天给每门考试科目。因此，即使这里没有固定的次序， 这四门考试科目可以看成动态规划模型中的四个阶段。 阶段：k＝1，2，3，4。考试科目 决策变量：x（k k＝1，2，3，4）是分配到阶段（考试科目） k的天数； 状态变量：sk是仍待分配的天数（即前面阶段未分配完的天数）
题目：一名大学生还有7天就要进入有四门考试科目的期末考试。 他想尽可能有效地分配这7天复习时间，每门学科至少需要 1天复习时间。他喜欢每天只复习一门课，所以他可能分配 给每门功课的时间是1，2，3或4天，由于最近学习了运筹学 他希望用DP方法安排时间以使能从这四门课中得到最高的总学 分，他估计每门课的时间分配可能产生的学分如下表。用DP 方法求解这个问题。
1< xk < sk 1< sk< 4
s4 x4 p4(x4) f4(s4) X4*
12 1 12 2 24 24 12
3 123 24 7
7 3
4 12 3 4 24 78
8 4
• 当k=3时;
f3(s3) = max [p3(x3)+ f4(s4) ]
1< x3 < s3 2< sk< 5 计算结果: