电势满足泊松方程

n j 令
唯一性定理：设区域V
内给定自由电荷分
布 ( x ) ，且在V的边界
1 2
（每个均匀区域Vi内） 2 21 2 2 0
在两均匀区域界面上
S上给定
S （1）
（2） n
S
i j
或
在整个区域V的边界上
i j n i n j
1. 在解决实际问题时有所依据； 2. 对许多实际问题往往需要根据给定
的条件作一定的分析，提出尝试解， 如果尝试解满足唯一性定理要求的全 部条件，即是唯一正确的解。
二、泊松方程和边界 条件
(x) 2 i i
假定所研究的区域为 V ，一般情况下 V 内可以有多种介质或导体，每一种 介质自身是均匀、线性、各向同性的。 假设V内的自由电荷分布 ( x ) 给定， 每一均匀区域的电容率为εi ，则有泊 松方程 在两区域Vi和Vj分界


rP
E dl


Q 4 0 r
rP
r dr 3
Q 4 0 rP
（积分路径可以是任意的，这里我们 选择沿径向积分最方便） 在多个点电荷电场中的电势为
( P)

i
Qi 4 0 rPi

i
Qi 4 0 rPi
电势叠加原理
若电荷连续分布于有限区域V内，电荷密度为ρ
总能量
1 W E DdV 2
E D D (D) D (D)
1 因此 W 2 1 dV (D)dV V 2 V


2. 若已知
,
总能量为
1 W dV 2 V
(x)
(x) 2 i i
边值关系
i j
i j n i n j
（1）电势
（2）电势的法线方向偏导数 n
S
或者
S
则V内的电场唯一的确定
二、泊松方程和边界 条件
唯一性定理：设区域V内给定自由电荷 分布 ( x )，并且在V的边界S上给定 （1）电势
因而静电场是保守力场，可引入势能
凡保守力都有与其相关的势能，静电 场是有势场。 设静电场中P1、P2点电势能分别为：
W P1
WP 2
WP1 WP 2 q0 E dl
P1
P 2
保守力做功等于势能增量的负值
A q0 E dl (WP2 WP1) WP1 WP2
2. 电偶极子产生的电势
解：电偶极子： 两个相距为 2l
z
系统，偶极矩 P 2Ql ez
P点电势：
的同量异号点电荷构成的
P
r
Q
Q 1 1 ( P) ( ) 40 r r
（无穷远为零点） 求近似值： r2
2l
x -Q
R
r
y
(l R)

2
ρ为自由电荷密度

2
给出边界条件就可以确定电势的解
2. 电势的边值关系
2
S 1
P2，其Βιβλιοθήκη Baidu势差为
P2
P1
en 2
1
在两介质分界面两侧相邻的两点P1和
2 1
1 2
P2
P1
E dl
1
2
0
由于场强有限，而P1P2→0，因此 在界面上，电势是连续的
P1 P2
WP1 q0
零势点

E dl
P1

势能具有相对性，令 WP 2 0 约定：一般选取无穷远处电势能为零
W 0
WP1 q0 E dl
P1
WP1 q0 E dl
P1

W P1 静电场与场中电荷qo共同拥有。
WP1 q0 取决于电场分布。和场中检验
1 2
电场法向的边值关系
D2n D1n 2 E2n 1E1n
沿法向 En
n
2 1 2 1 n n
2 1 因而 2 1 n n 有导体时，出现静电平衡现象，满足： 1.导体内部不带净电荷，电荷只能分 布于导体表面上； 2.导体内部电场为零； 3. 导体表面上电场必沿法线方向，导 体表面为等势面，导体为等势体。
能量密度总能量仅讨论均匀介质在静电情形下而面积所以面积分若已知总能量为总能量dv若已知总能量为左边公式积分只需遍及电荷分布区域v而且只有作为静电场总能量才有意义不能看作能量密度在非恒定情况下电场和磁场相互激发其形式就是独立于电荷分布之外的电磁波运动因而场的总能量不能完全通过电荷或者电流表示出来
第二章 静电场
若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：
PR 4 R 3
例．带电Q的导体球（半径为a）的静电场总能量。
解：（方法一）导体球的电荷分布于
球面上，整个导体为等势体，球面上 的电势为Q/4πε0a，因此，静电场总
Q a
P
能量为
1 1 Q2 W dV Q a 2 V 2 80 a 解：（方法二）球内电场为零，因此只需对球外积分，静
同理 r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos 2 2 2 r r r r R l cos R2 2Ql cos 2QlR cos pR ( P) 2 3 40 R 40 R 40 R 3
本章重点： 静电势及其满足的微分方程及边值关系、分离变量法、镜 象法 本章难点： 分离变量法（柱坐标）
本章主要内容
§2.1 静电场的标势及其微分方程 §2.2 唯一性定理
§2.3 拉普拉斯方程
§2.4 镜象法
分离变量法
§2.1 静电场的标势
静电场的基本特点：由相对观察者静
及其微分方程
止的电荷产生的场，不随时间变化
( x ) 泊松方程 2i i
证明:设有两组不同的φ1和φ2满足唯一性 定理的条件，则
( x) 21 1 (x) 2 2 2
边值关系
i j i j n i
x
R P
θ
y
E0
z
0
P 0 0
( P) 0
R E0 dl E0 dl E0 R
( P) 0 E0 R( 0 E0 Z 0 E0 R cos )
注意：零电势的选取问题
R 2 l 2 2Rl cos (R >> l)
Q 1 1 ( P) ( ) 40 r r
求近似值： r2
R 2 l 2 2Rl cos (R >> l)
1 2l cos r R 1 2l cos / R R(1 ) R l cos 2 R
(x)

V
(x' ) dV ' 4 0 r
dQ x'
r
x V
P
dE
通常，给定的电荷激发电
场，电场又引起导体上电 荷的重新分布（感应电 荷），最后在总电场下达
平衡。此时，感应电荷有确定的分布密度，而空间中的电
场也同时确定。因此，电荷和电场相互制约。求解此种电 场和电荷在数学上属于边值问题，即求微分方程的满足给 定边界条件的解。
常数
n
荷，即能唯一的 确定电场。
(x)
或者Q
三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1 能量密度 w E D 2
1 总能量 W E DdV 2
在静电情形下， E D 可得 E D D (D) D (D)

电场总能量为
0 1 W E DdV 2 V 2



a
Q 2 2 Q2 ( ) r drdΩ 2 80 a 40 r
§2.2 唯一性定理
一、引言
静电学的基本问题是：求出在所有边 界上满足边值关系或者给定边界条件 的泊松方程的解。 我们希望知道，需要给出哪些条件， 静电场的解才能唯一的确定呢？—唯 一性定理 唯一性定理的意义：
2. 电势的边值关系
设导体表面的自由电荷面密度σ，它 外面介质的电容率为ε，可得导体表 面的电势的边界条件
1 2
2 1 2 1 n n
下一节将证明：如果给定区域V内的
导体表面的电势的边 自由电荷分布，以及区域边界S上的 电势或者区域边界的导体所带的总电 界条件
d E dl
b a E dl
a
2. 电势
点电荷Q激发的电场强度为
E Q 4 0 r r 3
点电荷场中的电势：
Q ( P) 4 0 rP
在多个点电荷电场中 的电势满足电势叠加 原理
( P)
因此电场中某点P的电势为：
( P)
面上满足边值关系
边值关系
εi
(x)
i j
i j n i n j
i j
i j n i n j
二、泊松方程和边界 条件
泊松方程和边值关系是 电势必须满足的方程， 是电场的基本规律。 还必须给出V的边界 S上的什么条件，V 内的电势才能唯一的确定呢？ 唯一性定理：设区域V内给定自由电荷 分布 ( x )，并且在V的边界S上给定 εi
右边第二项

V
(D)dV D dS

S

1 面积分遍及无穷界面，由于 ~ ， r 1 1 D ~ 2 ，而面积 ~ 2 ，所以，面积分 r r 当r→∞时趋于零。
总能量
1 W E DdV 2
2. 若已知 总能量为
,
左边公式积分只需遍及电荷分布区域 V，而且只有作为静电场总能量才有
1 意义， 不能看作能量密度 2
1 W dV 2 V

在非恒定情况下，电场和磁场相互激
发，其形式就是独立于电荷分布之外
的电磁波运动，因而场的总能量不能 完全通过电荷或者电流表示出来。
例、 求均匀电场 E0 的电势
解：均匀电场可看作由两无限大
平行板组成的电容器产生的电场。 因为电荷分布在无穷区域，可选 空间任一点为参考点，为方便取 坐标原点电势
相距为 dl 的两点的电势差为 d E dl
dx dy dz dl 由于 d x y z
E
因此 E
电场强度等于电势的负梯度。 二、静电势的微分方 程和边值关系 由 E 、 D 和 D E 1. 泊松方程—静电势 可得在均匀介质中 的微分方程 D E 2
（2）电势的法线方向偏导数 n
S
(x) 2 i i
边值关系
或者
S
则V内的电场唯一的确定 唯一性定理的解释：在V内存在唯一 的解，它在每个均匀区域内满足泊松 方程，在两均匀区域分界面上满足边 值关系，并在V的边界S上满足给定 的φ或者∂φ/∂n。
i j
i j n i n j
左边两式为静电场的基本方程(与磁 场无关) 这两个方程连同介质的电磁性质方程 是解决静电问题的基础 电磁性质方程
E 0 无旋性
D 有源性
ρ是自由电荷
一、静电场的标势 1．静电（势）能
由于无旋性，满足 E dl 0
L
D E , B H 线性均匀介质 J E 导电物质中的欧姆定律
2. 电势
WP P E dl q0 P
电荷q0无关。可用以描述静电场自身 的特性，称为电势。因此电场中某点 P的电势表示为左式
标量, 单位：伏特（V）
φ具有相对意义，其值与零势点选取
有关， 但两点间的电势差与零势点选 取无关。
相距为 的两点间的 若电场对电荷作了正功，则电势下降 dl 电势差为 b