映射个数的公式解释

映射个数的公式解释
一、映射的概念（人教版相关知识铺垫）
1. 映射的定义。

- 设A、B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A →B为从集合A到集合B的一个映射。

- 例如：集合A = {1,2,3}，集合B={a,b}，我们可以定义映射f：当x = 1时，f(1)=a；当x = 2时，f(2)=b；当x = 3时，f(3)=a。

这就是一个从A到B的映射。

二、映射个数公式。

1. 当集合A有m个元素，集合B有n个元素时，从A到B的映射个数为n^m的解释。

- 对于集合A中的每一个元素，它在映射到集合B时都有n种选择。

- 假设集合A=a_1,a_2,·s,a_m。

对于元素a_1，它可以映射到集合B中的n个元素中的任意一个，有n种映射方式；对于元素a_2，同样也有n种映射方式，因为它的映射选择与a_1的映射选择是相互独立的。

以此类推，对于集合A中的每一个元素都有n种映射方式。

- 根据分步乘法计数原理，从A到B的映射的总个数就是n× n×·s× n（共m个n相乘），即n^m。

- 例如：集合A = {1,2}，集合B={a,b,c}。

对于元素1，它有3种映射结果（可以映射到a，或者b，或者c）；对于元素2，它同样有3种映射结果。

所以从A 到B的映射个数为3^2=9种。

这9种映射可以具体列举出来：
- f_1：f_1(1)=a,f_1(2)=a；
- f_2：f_2(1)=a,f_2(2)=b； - f_3：f_3(1)=a,f_3(2)=c； - f_4：f_4(1)=b,f_4(2)=a； - f_5：f_5(1)=b,f_5(2)=b； - f_6：f_6(1)=b,f_6(2)=c； - f_7：f_7(1)=c,f_7(2)=a； - f_8：f_8(1)=c,f_8(2)=b； - f_9：f_9(1)=c,f_9(2)=c。