3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离

l2 : 4x 2 y 1.
l2
:
y
2 3
x
2. 3
l2 : x ( 2 1) y 2.
答案：(1) 相交，(2) 相交，(3) 平行.
4.求下列两点间的距离：
(1)A(6,0),B(-2,0). (2)C(0,-4),D(0,-1). (3)P(6,0),Q(0,-2). (4)M(2,1),N(5,-1).
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2 . 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和.
1.若直线l1:y=kx+k+2与l2:y=-2x+4的交点在第
一象限，则实数k的取值范围是 ( C )
A.k＞ 2
3
C. 2＜k＜2
3
B.k＜2 D.k＜ 2 或k＞2
AB = xA - xB ,CD = yC - yD
(2)已知 P1(x1, y1), P2(x2, y2) ，试求两点间的距离.
若 x1 x2
y
y2
P2 (x2, y2 )
O
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y1
P1(x1, y1)
P1P2 y2 y1
若 x1 x2, y1 y2
在平面直角坐标系中，从点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 分别向y轴和x轴作垂线 P1N1与P2M2 ，垂足分别为
P1
于是有 P1Q M1M 2 x2 x1 ,
QP2 N1N2 y2 y1 ，
所以P1P2 2 x2 x1 2 y2 y1 2 ，
所以两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 间的距离为 P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距
作出相应的直线
y
l1
l2
l3
0
x
所以当λ变化时，方程表示直线，所有的直线都过 点（-2,2）.
讨论下列二元一次方程组解的情况:
x y 1 0,
（1）
x
y
1
0
一组解
x0 y 1
相交
x y 1 0,
（2）
x
y
1
0
无数组解
重合
x y 1 0，
（3）
x
y
1
0
无解
平行
（2） 解方程组
2 △ABC
当
A1 B1 C1 A2 B2 C2
时，两条直线平行；
当
A1 B1 C1 A2 B2 C2
时，两条直线重合.
2.两点间的距离为 P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
不为失败找理由，要为成功找方法。
AC = (3 - 1)2 +[0 -(-1)]2 = 5，
BC = [3 -(-1)]2 +(0 -3)2 = 25 = 5， 所以 AB 2 + AC 2 = BC 2 ，
即 △ABC是以A为顶点的直角三角形. （2）由于 △ABC 是以A为顶点的直角三角形， 所以 S = 1 AB AC = 5.
3x y 4 0, 6x 2 y 1 0,
① ②
方法一： ① 2 ② 得 9 0, 矛盾，
方程组无解，所以两直线无公共点，故 l1,l2 平行. 方法二：
由于 3 1 4 ，
6 2 1
故 l1, l2 平行.
（3） 解方程组
3x 4 y 5 0, 6x 8y 10 0,
N1 0，y1 ，M2 x2，0.直线 P1N1与P2M2 相交于点Q.
如图Rt△P1P2Q中，|P1P2|2= |P1Q|2+|QP2|2，为了计 算|P1Q|和|QP2|长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为 M1（x1,0），过点P2向y轴作垂线，垂足为N2（0，y2），
y
P2
N2
M1
M2
O
x
Q N1
离 OP x2 y2 .
例3 已知点 A(1,2), B(2, 7),在 x 轴上求一点 P ，
使 | PA|| PB | ，并求 | PA | 的值. 解：设所求点为P（x,0），于是
由 PA PB 得 x 12 0 22 x 22 0 7 2，
即 x2 2x 5 x2 4x 11， 解得x=1.所以，所求点为P（1，0），且
如果两条直线 A1x B1y C1 0 和 A2x B2 y C2 0 相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一
定是它们的方程组成的方程组
A1x A2 x
B1 y C1 0, B2 y C2 0
的解.
交点坐标即是 方程组的解
如果方程组
A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离
想一想：我们上体育课时，用的体育器材中， 有哪些涉及两条直线的位置关系呢？
1.理解两直线的交点与方程组的解之间的关系，会 求两条相交直线的交点坐标.(重点)
2.能够根据方程组解的个数来判断两直线的位置 关系.(难点)
A (0,0)
B (a,0) x
因为
AB 2 a2 CD 2 , AD 2 b2 c2 BC 2 ，
AC 2 (a b)2 c2, BD 2 (b a)2 c2，
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 2(a2 b2 c2 )，
AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )，
3.能够推导两点间距离公式.(重点) 4.会应用两点间距离公式证明几何问题.(难点)
1. 两条直线的交点
已知两条直线 l1 :A1x + B1y + C1 = 0 l2 : A2x + B2y + C2 = 0
相交,如何求这两条直线交点的坐标?
两条直线的交点
几何元素及关系
代数表示
点M
M(a,b)
答案：(1)8
(3)2 10
(2)3
(4) 13
5.已知 △ABC 的三个顶点坐标是
A(1,-1)，B(-1,3)，C(3,0).
（1）判断△ABC 的形状. （2）求 △ABC 的面积. 解：（1）如图， △ABC 为直角三角形，以下 来进行验证，
因为 AB = (-1- 1)2 +[3 -(-1)]2 = 20 = 2 5，
PA (11)2 (0 2)2 2 2.
例4 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和.
证明：如图所示，以顶点A为坐
标原点，AB边所在的直线为ｘ y
轴，建立直角坐标系.
D (ｂ,ｃ)
C (a+ｂ,ｃ)
则A(0，0).设B(ａ，0)， D(ｂ，ｃ)，由平行四边形的性 质得点C的坐标为(ａ+ｂ，ｃ).
有解，
那么以这个解为坐标的点就是直线 A1x B1y C1 0
和 A2x B2 y C2 0 的交点.
探究2：当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0 表示何图形?图形有何特点？
解：先以特殊值引路： λ=0时，方程为l1：3x+4y-2=0 λ=1时，方程为l2：5x+5y=0 λ=-1时，方程为l3：x+3y-4=0
3
2.求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：
(1)l1 :2x + 3y = 12, (2)l1 :x = 2,
答案：(1)(36 ,4) 77
l2 :x - 2y = 4. l2 :3x + 2y -12 = 0.
(2)(2,3)
3.判断下列各对直线的位置关系.
(1)l1 : 2x 3y 12, (2)l1 : 2x 6 y 4 0, (3)l1 : ( 2 1)x y 3,
直线l 点M在直线l上
l: Ax + By + C = 0
M的坐标满足方程
l: Aa + Bb + C = 0
直线l1与l2的交点是M
M的坐标是方程组的解
A1a + B1b + C1 = 0,
A
2a
+
B2b +
C2
=
0
探究1：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交 点坐标与二元一次方程组有什么关系？
③ ④
方法一： ③ 2 得 6x 8y 10 0,
因此， ③,④ 可以化成同一个方程，表示同一直线， l1, l2 重合.
方法二： 由于 3 4 5 ，
6 8 10
所以 l1,l2 重合.
3.两点间的距离公式 探究4：
（1）如果A，B是x 轴上两点，C，D是 y 轴上两点，
它们的坐标分别是（xA，0），（xB，0）（，0，yC）（，0，yD）， 那么|AB|，|CD|怎样求？