第三章-排列、组合与二项式定理-高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册单元检测卷(A卷)含解析

第三章 排列、组合与二项式定理
——高二数学人教B 版(2019)选择性必修第二册单元检测卷（A 卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知32
2A 100A x x =，则x =( )
A.11
B.12
C.13
D.14
2.把3个不同的小球放入到4个不同的盒子中，所有可能的放法种数为( )A.24
B.4
C.3
4 D.4
33.在6(2)(1)m x y ++的展开式中，若3x y 的系数为800，则含4xy 项的系数为( )A.30
B.960
C.300
D.360
4.某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种颜色的花，且各个区域的花颜色各不相同，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为( )
5.某中学第24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，则此次篮球赛学校共举办的比赛场数为( )A.51
B.42
C.39
D.36
6.15
-的展开式中，常数项为( )
A.1365
B.3003
C.5005
D.6435
7.某校环保小组共有8人，该小组计划前往3个不同的景区开展活动，要求每个景区至少有2人，每个人都参与且只能去一个景区，则不同的分配方案有( )A.490种
B.980种
C.2940种
D.5880种
8.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的中国传统工艺品.灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相关.灯笼成了中国人喜庆的象征.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为( )
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列四个关系式中，一定成立的是( )
A.34
77
C C = B.2223
34100101
C C C C +++= C.11
(1)A A m m n n n +++= D.若,m n +∈N ，且2023m n <≤，则20232023
C C m n <10.若2022220220122022(1)x a a x a x a x -=++++ ，则( )A.展开式中所有项的二项式系数之和为20222B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项C.01
a =D.12320220
a a a a ++++= 11.第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小张为5名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有( )A.若5人每人可任选一项工作，则有45种不同的方案B.若每项工作至少安排1人，则有240种不同的方案
C.若礼仪工作必须安排2人，其余工作安排1人，则有60种不同的方案
D.已知5人身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的方案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_________种.
13.若6
b ax x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为160，则22a b +的最小值为__________.
14.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知1
67
7A 20A x x -=，x +∈N .（1）求x 的值；
（2）求2012017C C x x x --++的值.
16.中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”“武术”“书法”“剪纸”“京剧”“刺绣”六门体验课程.
（1）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
（2）计划安排A ，B ，C ，D ，E 五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，一门课程只由一名教师任教，每门课程都有教师任教，教师A 不任教“围棋”课程，教师B 只能任教一门课程，求所有课程安排的种数.
17.已知n
x ⎛ ⎝的展开式中只有第五项的二项式系数最大.
（1）求该展开式中有理项的项数；（2）求该展开式中系数最大的项.
18.在下面两个条件中任选一个，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37；条件②：第3项与第7项的二项式系数相等.
问题：在二项式(21)n x -的展开式中，已知__________.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）设121210(21)n n n n n x a x a x a x a x a ---=+++++ ，求123n a a a a ++++ 的值；
（3）求11(21)n x x ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
的展开式中2x 的系数.
19.用0，1，2，3，4，5，6这七个数字，完成下面的问题.（1）用以上七个数字能组成多少个三位偶数（允许有重复数字）？（2）用以上七个数字能组成多少个无重复数字的能被5整除的四位数？
2
21y b
+=，其中,{0,1,2,3,4,5,6}a b ∈，则满足焦距不小于8的不同椭圆方程有
多少个？
答案以及解析
1.答案：C
解析：根据题意得2x ≥.由32
2A 100A x x =得2(21)(22)100(1)x x x x x --=-，整理可得2125x -=，
解得13x =，经检验满足题意.2.答案：C
解析：第1个小球放入盒子中有4种放法；第2个小球放入盒子中也有4种放法；第3个小球放入盒子中也有4种放法.只要把这3个小球放完，就做完了这件事情，所以由分步乘法计数原理可得共有34种放法.3.答案：B
解析：由题意可知331
6C 2C 800m
⨯⨯=，即160800m =，解得5m =，所以含4xy 项的系数为154
65C 2C 960⨯⨯=.故选B.
4.答案：D
解析：每个区域种不同颜色的花，有99A 种方法.这9个区域中相邻的区域有9个（13，23，34，
26，48，56，67，78，89），所以红色、白色种在相邻区域有27279A A ⨯⨯种方法，所以红色、白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为27
2
7
99
9A A 1A ⨯⨯-=
5.答案：D
解析：先进行单循环赛，有245C 30=场，
胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘
汰赛，6支球队打3场，决出最后胜出的三个班，最后3个班再进行单循环赛，有2
3C 3=场，
所以共打了303336++=
场.故选
D.6.答案：C
解析：二项式15
展开式的通项5
5156
11515C (1)C r
r r r r r r T x
--+⎛==- ⎝
⋅，r ∈N ，.
由得6r =，此时66
715(1)C 5005T =-=，
15r ≤5506
r -=
所以所求常数项为5005.故选C.7.答案：C
210=种分配方案
；
280=种分配方案.第二步：将3组成员分配到3个不同的景区开展环保活动，共有33A 6=种分配方案.故符合要求的分配方案共有(210280)62940+⨯=种，故选C.8.答案：A
解析：设红木宫灯、檀木宫灯分别为1a ，2a ，楠木纱灯、花梨木纱灯分别为1b ，，恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯分别为，.先求仅，相邻的种数，把12a a 看作一个元素，
当排在首或尾时，不同的排法有种；
当排在五个位置中第二或第四位时，不同的排法有种；当排在第三个位置时，不同的排法有种，
故仅相邻共有12396N N N ++=种排法.
同理得仅12b b 相邻，仅12c c 相邻的2种情况，也都有96种排法.所以有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率66
9632
A 5P ⨯==.故选A.9.答案：AC
解析：由组合数性质知3477C C =一定成立，A 正确；
222322232233410033410044100101C C C C C C C 1C C C 1C 1+++=++++-=+++-==- ，B 错误；11(1)A (1)(1)(1)(1)(1)[(1(1)1])A m m n n n n n n n m n n n n m +++=+--+=+-+-++= ，C 正确；
由组合数性质知n +∈N 且2023n ≤，当11011n ≤≤时，2023C n 单调递增，当10122023n ≤≤时，
2023C n 单调递减，因此D 错误.故选AC.10.答案：ABC
2b 1c 2c 1a 2a 12a a ()2111242A C C 232N =⨯⨯⨯=12a a ()1122422C C A 232N =⨯⨯⨯=12a a 11222322222C C A A A 32N =⨯⨯=12a a
解析：展开式中所有项的二项式系数和为0120222022
202220222022C C C 2
+++= ，故A 正确；展开式中第1012项的二项式系数为10112022C ，是所有项的二项式系数中的最大值，故B 正确；令0x =可得01a =，故C 正确；
令1x =可得0120220a a a +++= ，12320221a a a a ∴++++=- ，故D 错误.故选ABC.11.答案：BCD
解析：对于A ，若5人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有54种选法，因此A 错误；
对于B ，分两步分析，先将5人分为4组，再将分好的4组安排四项不同的工作，有2454C A 240
=（种）分配方法，因此B 正确；
对于C ，分两步分析，在5人中任选2人，安排礼仪工作，有25C 10=（种）选法，再将其余3
人安排余下的三项工作，有33A 6=（种）方法，则由分步乘法计数原理可得共有10660⨯=（种）不同的方案，因此C 正确；
对于D ，分两步分析，在5人中任选2人，安排在第一排有25A 20=（种）排法，其余3人安
排在第二排，要求身高最高的站中间，剩下两人有2种排法，则有20240⨯=（种）不同的方案，因此D 正确.故选BCD.12.答案：36
解析：此题分两步完成：第一步，将4名同学分成3组，有种分法；第二步，将所分3组
进行排列，有种排法.所以不同的安排方法共有（种）.
13.答案：4
解析：二项式展开式的通项为6662166C ()C k
k k k k k k
k b T ax a b x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭
⋅，令620k -=，则
3k =，所以63336C 160a b -=，即333
6C 160a b =，所以2ab =.因为2224a b
ab +≥=，当且仅当
a b ==的最小值为4.14.答案：336
解析：由题意可分两种情形：
24C 33A 2343C A 36=6
b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭22b +
①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，
其中一种取两个，另一种选一个，有1122
223222C C C C A 24=种排法；
其次，后排有22A 2=种排法，故共有24248⨯=种不同的排法；
②前排含有三种不同名称的吉祥物，有11132223C C C A 48=种排法；
后排有33A 6=种排法，此时共有486288⨯=种排法；因此，共有48288336+=种排法，故答案为：336.15.答案：（1）3x =（2）1330
解析：（1）由已知得6!7!
720(6)!(8)!
x x ⨯
=⨯
--，化简得215360x x -+=，解得3x =或12x =.
又因为6,
17,
x x ≤⎧⎨-≤⎩所以3x =.
（2）将3x =代入得172323
2020202021C C C C C 1330+=+==.
16.答案：（1）360种（2）1140种
解析：（1）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有26A 种排法；
第二步，将甲和乙的相同课程排好，有14C 种排法；
第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法有23C 种.因此，所有选课的种数为212643A C C 360⨯⨯=.
（2）①当A 只任教1门时，先排A 任教课程，有15C 种，再从剩下的5门中排B 的任教课程，
有15C 种，接下来剩余4门中必有2门为同一名老师任教，分三组全排列，共有2343C A 种.所以当A 只任教1门时，共有1123554343
C C C A 5532190021
⨯=⨯⨯
⨯⨯⨯=⨯种；②当A 任教2门时，先选A 任教的2门有2
5C 种，剩下4位教师任教四门课程，这样共有
245454
C A 432124021
⨯=
⨯⨯⨯⨯=⨯种.所以，符合题意的课程安排共有9002401140+=种.
综上，教师A 不任教“围棋”，教师B 只能任教一门课程的课程安排方案共有1140种.17.答案：（1）
5项（2）1792
1
x -15=，解得
8n =，
则8
x ⎛+ ⎝
的展开式的通项为
882188C 2C 2k k k k k k k T x x x
--+=⨯⨯=⨯⨯8k ≤≤，k ∈N .求展开式中的有理项，需令382
k
-
∈Z ，所以0,2,4,6,8k =，所以有理项共有5项.（2）设第1k +项的系数最大，则118811
88C 2C 2,
C 2C 2,
k k k k k k
k k --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩即21,912,81k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩
解得56k ≤≤，因为k ∈N ，所以5k
=或6k =.当5k =时，155
2
68
C 21792T x =⨯⨯=
当6k =时，661178C 21792T x x --=⨯⨯=，
所以展开式中系数最大的项为17921x -.18.答案：（1）41120x （2）0（3）560
解析：选择①，由012C C C 37n n n ++=，解得8n =.选择②，由26C C n n =，解得8n =.
（1）展开式中二项式系数最大的项为444458C (2)(1)1120T x x =⨯⨯-=.
（2）令1x =，则80128(21)1a a a a ++++=-= ，
令0x =，则80(01)1a =-=，所以12380a a a a ++++= .
（3）因为888111(21)(21)(21)x x x x x ⎛⎫
--=--- ⎪⎝⎭
，
所以811(21)x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 的项为6
2653528811C (2)(1)C (2)(1)560x x x x ⎛⎫⨯-+-⨯-= ⎪⎝⎭
，
所以展开式中2x 的系数为560.19.答案：（1）168个（2）220个（3）14个
解析：（1）七个数字0，1，2，3，4，5，6中，是偶数的为0，2，4，6，是奇数的为1，3，5，
组成的三位偶数允许有重复数字，则百位数字是0的情况有4728⨯=种，所以允许有重复数字的三位偶数有2474719628168⨯-⨯=-=个.（2）组成无重复数字的能被5整除的四位数，末尾数字只能为0或5.当末尾数字为0时，有36A 654120=⨯⨯=个；
当末尾数字为5时，有2
55A 554100=⨯⨯=个.
所以组成无重复数字的能被5整除的四位数有120100220+=个.
2
21y b
+=，其中,{0,1,2,3,4,5,6}a b ∈，知a b ≠且0ab ≠.
当a b >时，由28c ≥，得8≥整理得2216b a ≤-，所以5a =或6，若5a =，则1,2,3b =，此时满足条件的椭圆有3个；若6a =，则1,2,3,4b =，此时满足条件的椭圆有4个.所以满足条件的椭圆有347+=个，同理，当a b <时，满足条件的椭圆也有7个.综上，焦距不小于8的不同椭圆方程有7714+=个.。