2017-2018学年数学人教A版必修五优化练习：第一章 1.2 第3课时 几何计算问题 Word版含解析

[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a
sin A 等于( )
A.2393
B.2293
C.2633
D ．3 3
解析：由S △ABC ＝1
2bc sin A ＝3可知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－8cos
60°＝13，所以a ＝13.所以a sin A ＝13sin 60°＝2393
. 答案：A
2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( ) A.6
2 B ．1 C.32
D.22
解析：由正弦定理得6sin 120°＝2
sin C ，
∴sin C ＝1
2
，
∴C ＝30°或150°(舍去)． ∵B ＝120°，∴A ＝30°，
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×6×2×sin 30°＝32.
答案：C
3．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝1
4(b 2＋c 2－a 2)，则角
A 的大小为( ) A.π6 B.π
4 C.3π4
D.5π6
解析：∵S ＝12bc sin A ＝1
4
(b 2＋c 2－a 2)，
∴sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π
4.
答案：B
4．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，3a ＝2c sin A ，c ＝7，且a ＋b ＝5，则△ABC 的面积为( ) A.33
2
B.92
C.532
D.72
解析：由3a ＝2c sin A 及正弦定理得a c ＝2sin A 3＝sin A
sin C ，
∵sin A ≠0，∴sin C ＝
32，故在锐角△ABC 中，C ＝π
3
. 再由a ＋b ＝5及余弦定理可得7＝a 2＋b 2－2ab cos π
3＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝25－3ab ，
解得ab ＝6，
故△ABC 的面积为12ab ·sin C ＝33
2.
答案：A
5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，若△ABC 的面积S ＝10，b ＝4，则a 的值为( ) A.23
3 B.253 C.263
D.283
解析：由3a cos C ＝4c sin A ，得a sin A ＝4c 3cos C .又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c sin C ＝4c
3cos C ，∴
tan C ＝34，∴sin C ＝35.又S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，∴c sin A ＝5.根据正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝
5
3
5＝25
3，故选B. 答案：B
6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝2，△ABC 的面积为2，则sin A ＝________.
解析：∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴sin A ＝2S △ABC bc ＝223×2＝2
3
.
答案：
23
7．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．
解析：在△ABC 中，由面积公式，得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝32AC ＝3，∴AC ＝2，∴△ABC 为等
边三角形，∴AB ＝2. 答案：2
8．锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则AB ＝________. 解析：由三角形面积公式得12×3×4·sin C ＝33，sin C ＝3
2.
又∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°.
根据余弦定理AB 2＝16＋9－2×4×3×1
2＝13.AB ＝13.
答案：13
9．已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． 解析：由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝23sin 30°2＝32.
∵AB >AC ，
∴C ＝60°或C ＝120°.
当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝1
2AB ·AC ＝23；
当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝1
2AB ·AC sin A ＝ 3.
故△ABC 的面积为23或 3.
10．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，求边BC 上的中线AD 的长． 解析：∵2B ＝A ＋C ，
∴A ＋B ＋C ＝3B ＝180°，
∴B ＝60°，∵BC ＝4，D 为BC 中点，∴BD ＝2， 在△ABD 中，由余弦定理知： AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝12＋22－2×1×2·cos 60°
＝3， ∴AD ＝ 3.
[B 组 能力提升]
1．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )
A. 3 B ．5 3 C ．6 3
D ．7 3
解析：连接BD (图略)，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC ＝180°－120°2＝30°，∴∠ABD ＝90°.
在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，知BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD ＝23，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23＋1
2×2×2×sin 120°＝5 3.
答案：B
2．已知△ABC 中，a 比b 大2，b 比c 大2，且最大角的正弦值为32
，则△ABC 的面积为( ) A.153
4
B.154
C.2134
D.932
解析：由题目条件，知a ＝c ＋4，b ＝c ＋2，故角A 为△ABC 中的最大角，即sin A ＝
32
，解得A ＝60°(舍去)或A ＝120°.由余弦定理，得cos A ＝cos 120°＝c 2＋(c ＋2)2－(c ＋4)22c (c ＋2)＝－1
2，解
得c ＝3，所以b ＝5，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝153
4.
答案：A
3．(2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－1
4，则a 的值为________．
解析：因为0<A <π，所以sin A ＝
1－cos 2A ＝
154
，
又S △ABC ＝12bc sin A ＝15
8
bc ＝315，∴bc ＝24，解方程组{
b －
c ＝
bc ＝24得b ＝6，c ＝4，
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝⎛⎭⎫－1
4＝64，所以a ＝8. 答案：8
4．在△ABC 中，若a ＝2，B ＝60°，b ＝7，则BC 边上的高等于________． 解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 即7＝4＋c 2－2×2c ×1
2，整理得c 2－2c －3＝0，
解得c ＝3.
所以BC 边上的高为c sin B ＝3×sin 60°＝33
2
. 答案：332
5．(2016·高考全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；
(2)若c ＝7，△ABC 的面积为
33
2
，求△ABC 的周长． 解析：(1)由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，
即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ．故2sin C cos C ＝sin C ， 可得cos C ＝12，所以C ＝π
3
.
(2)由已知得，12ab sin C ＝332.又C ＝π
3，所以ab ＝6.
由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，所以a ＋b ＝5. 所以△ABC 的周长为5＋7.
6．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．
解析：如图，连接BD ，则四边形ABCD 的面积 S ＝S △ABD ＋S △BCD
＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .
∵A ＋C ＝180°， ∴sin A ＝sin C .
∴S ＝1
2(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A
＝1
2(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 在△ABD 中，由余弦定理， BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A . 在△BCD 中，由余弦定理， BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝62＋42－2×6×4cos C ＝52－48cos C . ∴20－16cos A ＝52－48cos C . ∵A ＋C ＝180°， ∴cos A ＝－cos C ， ∴64cos A ＝－32， ∴cos A ＝－12，
∴A ＝120°.
∴S ＝16sin 120°＝8 3.。