甘肃省天水市第一中学2017-2018学年高二下学期第三阶段考试数学试题(含精品解析)

天水市一中2016级2017-2018学年度第二学期第三学段考试
数学试题
一、选择题：每小题5分,共60分.每小题只有一个正确选项.
1.1.设集合，则=（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：因为，又因为，所以
.
考点：解不等式求交集.
2.2.若，，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
取，则：
，选项A错误；
，选项C错误；
，选项D错误；
对于选项C：在为减函数，
又∴，选项B正确.
本题选择B选项.
3.3.设，集合，则（）。

A. 1
B.
C. 2
D.
【答案】C
【解析】
因为,所以.
4.4.下列说法错误的是( )
A. 命题“若，则”的逆否命题是：“若，则”
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 若且为假命题，则、为假命题
D. 命题“使得”，则“，均有”
【答案】C
【解析】
逆否命题是对条件结论都否定，然后原条件作结论，原结论作条件，则A是正确的；
x>1时，|x|>0成立，但|x|>0时，x>1不一定成立，故x>1是|x|>0的充分不必要条件，故B是正确的；p且q为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故C不正确；
特称命题的否定是全称命题，故D是正确的。

故选C.
5.5.若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为( )
【答案】B
【解析】
由函数f(x)＝a|x|满足0＜|f(x)|≤1，得0＜a＜1，
当x＞0时，y＝log a＝－log a x.
又因为y＝log a为偶函数，图象关于y轴对称，所以选B.
6.6.已知:命题：“是的充分必要条件”；
命题：“”．则下列命题正确的是（）
A. 命题“∧”是真命题
B. 命题“（┐）∧”是真命题
C. 命题“∧（┐）”是真命题
D. 命题“（┐）∧（┐）”是真命题【答案】B
【解析】
对于p:a=1时,若x>0,则x+1x⩾2，是充分条件，
若当x>0时,>2，推出a⩾1，不是必要条件，
故命题p是假命题，
对于q,∵在<−1或>2时>0才成立，
∴“存在∈R,>0”是真命题，
即命题q是真命题，
故命题是真命题，
故选：B.
7.7.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）
A. B.
C. （且）
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合所给函数的解析式逐一考查函数的性质即可.
【详解】逐一考查所给函数的性质：
A.是奇函数，在区间上单调递增，不合题意；
B.对于函数，，且，
据此可知函数为非奇非偶函数，不合题意；
C .当时， ，，，由可知函数不是
单调递减函数，不合题意；
D .，函数有意义，则
，解得
，函数的定义域关于坐标原点对称，
且，故函数为奇函数，
且，
函数在区间
上单调递减，函数
是定义域内的单调递增函数，由复合函数的单调性可
知函数
单调递减，符合题意.
本题选择D 选项.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.8.是定义在上的奇函数，对任意总有
，则
的值为（ ）
A. 0
B. 3
C.
D.
【答案】A 【解析】【分析】
首先确定函数的周期，然后结合函数的周期性和函数的奇偶性求解的值即可.【详解】函数是定义在上的奇函数，对任意
总有
，则函数的周期
，
据此可知：.本题选择A 选项.
【点睛】本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性，奇函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.9.已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：选项B是非奇非偶函数，选项C 是偶函数，选项D在上是增函数，故排除B、C、D，故选A.
考点：函数的图象与性质.
10.10.记函数在的值域，在的值域为，若，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意求得集合M,N，然后利用集合的包含关系求解实数的取值范围即可.
【详解】由题意可得：，
则当时，单调递减，
当时，单调递增，
函数的最小值为，据此可知：，
由二次函数的性质可知函数的最小值为，则，
结合可知实数的取值范围是.
本题选择C选项.
【点睛】本题的核心考点为函数值域的求解，求函数最值和值域的常用方法包括：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
11.11.已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
,在上是增函数，，，即，解得
，故选B.
12.12.若函数是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：当时,构造函数,,所以函数在上为减函数,由于
,所以函数为奇函数,所以函数在上为减函数.且
,所以不等式解集为.故选D.
考点：1.函数的单调性与导数的关系；2.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性的关系.
【方法点晴】本题考查函数的单调性、奇偶性及奇函数的性质,属于中档题. 本题构造函数很重要,这主要是从已知条件入手，可以构造新函数，再判断函数在单调性，借
助函数的奇偶性求出函数在定义域上的单调性，得到不等式解集.
二、填空题（每小题5分，满分20分）
13.13.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式
恒成立，则实数的取值范围是　．
【答案】
【解析】
试题分析：利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．
解：∵当x≥0时，f（x）=x2，
∴此时函数f（x）单调递增，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数f（x）在R上单调递增，
若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，
则x+a≥3x+1恒成立，
即a≥2x+1恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5，
即a≥2a+5，
解得a≤﹣5，
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]；
故答案为：（﹣∞，﹣5]；
考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．
14.14.函数有极大值又有极小值，则的取值范围是__________．【答案】或
【解析】
【分析】
将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解的取值范围即可.
【详解】由题意可得：，
若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程有两个不同的实数根，
即：，整理可得：整理可得：，
据此可知的取值范围是或.
【点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不
同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极
值．
15.15.已知，，若对，，，则实数的取值范围是.
【答案】
【解析】
试题分析：因为对，，，所以只需即可，因为，
，所以，，由故答案为.
考点：1、函数的最值；2、全称量词与存在量词的应用.
【方法点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理
解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）
只需；（2），只需
；（3），只需；（4），，
.
16.16.已知函数，给出下列命题：
①若，则；②若，则；③若，则；④若
，则.
其中正确命题的序号是__________．
【答案】①④
【解析】
【分析】
结合函数的解析式逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】结合函数的解析式逐一考查所给的说法：
①.函数单调递增，且，据此可知：若，则，题中是说法正确；
②.令，满足，则，而，不满足，题中说法错误；
③.令，满足，而，，不满足，题中的说法错误；
④.如图所示的幂函数图象上有点，满足，不妨设坐标为，坐标为，则中点的
坐标为，
则的值为点的纵坐标，的值为点的纵坐标，
很明显，即，题中的说法正确.
综上可得，正确命题的序号是①④.
【点睛】本题主要考查函数的单调性，幂函数图象的理解与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.）
17.17.设函数.
（1）若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
分析：（1）若f（x）＜0对任意x∈R恒成立，则m=0，或
，解得实数m的取值范围；（2）由题意得m（x-）2+m-6＜0，x∈[1，3]恒成立，
令g（x）=m（x-）2+m-6＜0，x∈[1，3]，利用函数的单调性质能求出m的取值范围．
详解：
（1）要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；
若m≠0，则⇒－4<m<0.
∴实数m的范围.
（2）当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＝＋ >0，
又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
∵函数y＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m<即可．
综上所述，m的取值范围是.
点睛：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想及函数性质的合理运用．
18.18.函数是定义在上的偶函数，，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）设x＜0，可得-x＞0，则f（-x）=，再由函数f（x）是偶函数求出x＜0时的解析式，则答案可求；
（2）由f（4）=＝−2，因为f（x）是偶函数，不等式f（x2-1）＞-2可化为f（|x2-1|）＞f（4）,利用函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，可得|x2-1|＜4，求解绝对值的不等式可得原不等式的解集．
试题解析：
(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log (－x).
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log (－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－<x<，
即不等式的解集为(－，).
点睛：本题考查利用奇偶性求函数的解析式，考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，是中档题．
19.19.已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间上函数
有4个零点，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意首先确定函数的性质，然后将原问题转化为函数与的图象在区间上有4个
不同的交点的问题，据此求解实数的取值范围即可.
【详解】由得，，则是周期为2的函数，
∵是偶函数，当时，，∴当时，，
易得当时，，当时，，
在区间上函数有4个零点，
即函数与的图象在区间上有4个不同的交点，
作出函数与的图象如图所示，
其中函数恒过定点，
临界条件如图所示，当一次函数经过点B时满足题意，
此时，则，
据此可知实数的取值范围是.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
20.20.已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）m＝2；（2）(1，3].
【解析】
试题分析：（1）设，则，所以，
又为奇函数，所以．于是时，，
所以．
（2）要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
故实数的取值范围是．
21.21.已知幂函数f（x）=（m∈N*），经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．
【答案】.
【解析】
【分析】
先根据幂函数的定义求出m的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可
【详解】∵幂函数f（x）经过点（2，），
∴=，
即=
∴m2+m=2．解得m=1或m=﹣2．
又∵m∈N*，∴m=1．
∴f（x）=，则函数的定义域为[0，+∞），并且在定义域上为增函数．
由f（2﹣a）＞f（a﹣1）得解得1≤a＜．
∴a的取值范围为[1，）．
【点睛】本题主要考查了幂函数的性质，以及不等式组的解法，属于基础题．
22.22.设
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题分析：（1）先求出函数的单调递增区间，依题意知所求单调区间与区间有交集，然后由集合
关系求解即可；（2）根据参数a的范围求出在区间上的最小值，令，求出a的值，然后再求函数的最大值即可．
试题解析：（1）．
若，即，则，从而在上是减函数，不合题意，
所以．
由，得，即，
所以的单调递增区间是．
因为在上存在单调递增区间，则，即，解得．
故的取值范围时．
（2）因为，则，．
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
因为，，
则当时，，即．
所以当时，．
由已知，，则．
故．
考点：①由单调性求参数范围；②含参数的函数求最值．
【方法点睛】含参数的函数存在单调区间，求参数范围的解法突破：（1）含参数的函数在区间上存在单调递增区间，则在区间上有解的最大值大于0在区间上成立．（2）含参数的函数在区间上存在单调递减区间，则在区间上有解的最小值小于0在区间上成立．另解，当可以直接求出函数的单调递增（或递减）区
间D时，含参数的函数在区间上存在单调递增（或递减）区间，则区间D与区间有交集，从而求出参数范围（本题解析使用该法）．。