人教版八年级数学上册同步教案11.3.1多边形

11.3 多边形及其内角和(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
多边形及其有关概念，多边形内角和公式．
2．内容解析
多边形及其有关概念包括多边形的定义，多边形的边、内角、外角、对角线，凸多边形，正多边形等．多边形以三角形为基础，多边形的边、内角、外角、内角和等有关概念都可与三角形类比．多边形的对角线能把多边形分成几个三角形，因此，多边形的问题通常可以转化为三角形的问题来解决．
多边形内角和公式反映了多边形的“角”之间的数量关系，是多边形的基本性质．多边形内角和公式是三角形内角和定理的应用、推广和深化，它源于三角形内角和定理又包含三角形内角和定理．多边形内角和公式为多边形外角和公式、四边形及正多边形的有关角的学习提供基础知识和根据．
多边形内角和公式的探索是从具体的正方形、长方形(此时尚未引进矩形概念)的内角和研究出发，逐步深入地提出一般的问题，如，①任意一个四边形的内角和是否也等于360°？
②你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？③你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？进而获得一般结论，并加以推理论证，这个过程体现了从具体到抽象的研究问题的方法．多边形内角和公式的探索与证明都涉及将多边形分割成若干个三角形的化归过程，即将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和公式得出多边形内角和公式，这个过程体现了将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：多边形内角和公式的探索与证明过程．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)了解多边形的有关概念，感悟类比方法的价值．
(2)探索并证明多边形内角和公式，体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法．
(3)运用多边形内角和公式解决简单问题．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生能类比三角形的有关概念，了解多边形及多边形的边、内角、外角、对角线、凸多边形、正多边形等的有关特征，并能从具体情境中识别它们，感悟类比
的方法在学习多边形有关概念中的重要价值．
达成目标(2)的标志：学生能在教师的启发引导下，从具体的、特殊的四边形内角和研究出发，利用三角形内角和公式，逐步探索四边形、五边形、六边形……n边形内角和，并利用推理证明n边形内角和公式，体会从具体到抽象的研究问题方法．在四边形、五边形、六边形……n边形分割成若干个三角形的过程中，感悟化归思想．
达成目标(3)的标志：学生能将公式运用于简单的多边形内角和计算，能在多边形问题情境(如计算正多边形的每个内角的大小)中，自觉地联想用该公式解决问题．
三、教学问题诊断分析
由具体的、特殊的多边形内角和到n边形内角和公式的获得，是一个多层次的探索过程，本质上是由具体到抽象以及逻辑推理的过程．如何获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，如何确定分割后三角形的个数，这个过程不但结论具有多样性和变化性，而且需要关注的因素也较多——边数、从一个顶点出发的对角线数、分割的三角形数、内角和等，学生把握这一过程会有一定难度．教学的关键是①引导学生弄清解决问题(推导)的层次；②引导学生注意相关的因素(边数、从一个顶点出发的对角线数、三角形数)；③引导学生观察相关因素之间的变化关系(即边数的变化引起从一个顶点出发的对角线数的变化、对角线数的变化又引起三角形个数的变化)，并使上述的①②③直观化．
本节课的教学难点：获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，确定分割后的三角形的个数．
四、教学过程设计
1．了解多边形的有关概念
教师引入本节课内容：前面我们已经研究了三角形的有关概念和性质，那么由条数大于三的线段首尾相接组成的封闭图形的概念和性质是什么呢？它们和三角形中的有关概念和性质是否有相似之处呢？让我们一起来探究吧．
问题1 (1)你能从图1中想象出几个由一些线段围成的图形吗？
(2)类比三角形的定义，你能给多边形下定义吗？
图1
师生活动：学生边看、边议．教师引导学生回忆三角形的定义，并仿照三角形的定义给多边形下定义．教师举例说明多边形定义中的“在平面内”的意义．
设计意图：让学生类比三角形的定义给多边形下定义，感悟类比方法的重要作用．追问1：多边形按组成它的线段的条数可以分成三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形．你能说出图2是几边形吗？
师生活动：教师介绍多边形的分类，学生回答图2是五边形．
追问2：在三角形中，我们专门研究了它的内角、外角．类似地，你能结合图2和图3指出这个五边形的内角、外角吗？
图2 图3 图4
师生活动：学生回答图2中的∠A，∠B，∠C，∠D，∠E是五边形ABCDE的5个内角，图3中的∠l是五边形ABCDE的一个外角．教师进而指出，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．设计意图：让学生了解多边形的概念，并通过类比的方法，了解多边形的内角、外角．追问3：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图4，从五边形ABCDE的一个顶点出发可以得到几条对角线？过六边形ABCDEF的顶点C画出所有的对角线，此时共有几条对角线？
师生活动：教师介绍对角线的概念，学生通过画图回答问题．
设计意图：让学生了解对角线的概念，通过画出从一个顶点出发的六边形的对角线，为研究n边形的内角和做铺垫．
追问4：你能说出图5中两个四边形的异同点吗？
(1) (2)
图5
A
B
C D
E
图
7 D
A B
C
师生活动：教师引导学生分析得出，在图(1)中，画出四边形ABCD 的任何一条边(例如CD )所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧；在图(2)中，画出边CD 所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．教师介绍：像图(1)这样的多边形称为凸多边形，本节只讨论凸多边形．
设计意图：让学生了解凸多边形的概念．
追问5：正方形的边、角有什么特点？你能给正多边形下定义吗？图6中的各个图形分别读作什么？
师生活动：(1)学生回答，并给正多边形下定义；(2)教师与学生共同分析正多边形的两个条件，并通过反例(如一般的长方形各个内角都相等，但它不是正方形；一般的菱形各 边都相等，它也不是正方形)，说明“各个角都相等、各条边都相等”两个条件缺一不可；
(3)学生指出图6中的图形分别是正三角形、正方形、正五边形、正六边形．
图6
设计意图：让学生类比正方形学习正多边形，提高学生的学习能力．
2．探索四边形、五边形、六边形的内角和
问题2 我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°．那么，任意一个四边形的内角和是否等于360°呢？能证明你的结论吗？
师生活动：教师引导学生分析问题解决的思路——如何利
用三角形的内角和求出四边形的内角和，进而发现：只需连接
一条对角线，即可将一个四边形分割为两个三角形(图7)．学生
说出证明过程，教师板书．
设计意图：(1)从学生熟悉的、已知的特例出发，建立起四边形和三角形之间的联系，为提出一般问题做铺垫；(2)通过连接四边形的对角线，将四边形分割成两个三角形，得出四边形内角和等于两个三角形内角和之和，这个环节渗透了将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想．
追问1：这里连接对角线起到什么作用？
师生活动：学生回答：将四边形分割成两个三角形，进而将四边形的内角和问题转化为
两个三角形内角和问题．
设计意图：让学生进一步感受对角线在探索四边形内角和中的作用，体会化归思想． 追问2：类比前面的过程，你能推导出五边形的内角和吗？
师生活动：学生先独立思考，再分组讨论，然后代表汇报．学生类比四边形内角和的研究过程，得出从五边形的一个顶点出发可以作2条对角线，将五边形分割成3个三角形(如图8)．进而得出五边形内角和为(5－2)×180°＝540°．教师进一步启发学生从顶点或边两个角度解释(从顶点的角度：所取顶点与相邻的两个顶点无法连成对角线，所以少了两个三角形；从边的角度：所取顶点与它所在的两条边不能构成三角形，所以少了两个三角形)，进而可以得出五边形内角和为(5－2)×180°＝540°．
设计意图：将研究方法进行迁移，明确边数、从一个顶点作出的对角线条数、分割的三角形数、五边形内角和之间的关系，为进一步探究六边形内角和奠定基础．
图8 图9 追问3：如图9，从六边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将六边形分为______个三角形，六边形的内角和等于180° ×______．
师生活动：学生类比四边形、五边形内角和的研究过程回答追问3．
设计意图：让学生进一步体会将六边形分割成几个三角形的化归过程，明确相关因素(边数、对角线条数、三角形数)对六边形内角和的影响，为从具体的多边形抽象到一般的n 边形的内角和的研究奠定基础．
3．探索并证明n 边形的内角和公式
问题3 你能从四边形、五边形、六边形的内角和的研究过
程获得启发，发现多边形的内角和与边数的关系吗？能证明你
发现的结论吗？
师生活动：学生独立思考后，回答出 n 边形的内角和等于
(n －2)×180°，然后师生共同分析证明思路．证明过程如下： 从n 边形的一个顶点出发，可以作(n －3)条对角线，它们将n 边形分为(n －2)个三角形，这(n －2)个三角形的内角和就是∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A n 的和，所以n 边形的内角和等于 A 5 A n A 1 A 2 A 3 A 4
A 6 图10
(n －2)×180°．
设计意图：让学生体会从具体到抽象的研究问题方法，感悟化归思想的作用．
追问1：通过前面的探究，填写下面表格：
师生活动：师生共同填写表格，得出规律：多边形的边数增加1，内角和就增加180°． 设计意图：通过填写表格，回顾n 边形内角和的探索思路．
追问2：前面我们通过从一个顶点出发作对角线，将多边形分割成几个三角形，进而探究出n 边形的内角和，那么，是否还有其它分割多边形的方法呢？
师生活动：学生自主探究，小组讨论交流，并让小组代表板演并讲解思路．学生可能有以下几种解法：
解法1：如图11，在n 边形内任取一点O ，连结OA 1，OA 2，OA 3，…，OA n ，则n 边形被分成了n 个三角形，这n 个三角形的内角和为n ×180°，以O 为公共顶点的n 个角的和是360°，所以n 边形的内角和是n ×180°－360°，即(n －2)×180°．
解法2：如图12，在A 1A 2上任取一点P ，连结P A 3，P A 4，P A 5，…，PA n ，则 n 边形被分成了(n －1)个三角形，这(n －1)个三角形的内角和为(n －1)×180°，以P 为公共顶点的(n －1)个角的和是180°，所以n 边形的内角和是(n －1)×180°－180°，即(n －2)×180°．
图11 图12 设计意图：让学生尝试用不同的方法分割多边形，把n 边形问题转化为熟悉的三角形问题，再次体会化归思想的作用，进一步加深对n 边形内角和公式推理过程的理解．
4．巩固多边形内角和公式
A 5 A n A 1 A 2 A 3 A 4
A 6 P A 5 A n A 1
A 2 A 3 A 4 A 6
O
例1 (1)十边形的内角和为______度．
(2)已知一个多边形的内角和为1 080°，则它的边数为______．
师生活动：学生独立完成，并口头说明理由．
设计意图：让学生从正反两个方面运用公式，解决与多边形内角和有关的简单运算问题． 例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
师生活动：教师提出问题，学生画出图形(图13)，并根据图形
将文字语言翻译成符号语言，明确题中已知∠A ＋∠C ＝180°，所求
的是∠B ＋∠D 的度数，在这里要用到四边形内角和等于360°．完
成解题过程后，教师引导学生得出结论：如果四边形的一组对角互
补，那么另一组对角也互补．
设计意图：让学生理解文字语言，并会将文字语言转化为图形语言和符号语言，进一步巩固多边形内角和公式，利用公式解决具体问题．
练习
1． 图14中的x ＝______，图15中的x ＝______．
2．一个多边形的各个内角都等于120°，它是几边形．
设计意图：通过练习，巩固多边形的内角和公式，训练学生思维的灵活性．
5．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)我们是怎样得到多边形内角和公式的？
(3)在探究多边形内角和公式中，连接对角线起到什么作用？
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，凸显将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想，强调从具体到抽象研究问题的方法．
140°
图14 x °
x ° 120° 图15
75° 80° x ° D A B C 图13
6．布置作业
教科书习题11.3第1，2，4，5题．
五、目标检测设计
1．若正n边形的每个内角为120°，则n的值是( )．
A．4B．5C．6D．8
设计意图：考查学生对正多边形概念的理解及对多边形内角和公式的运用．
2．已知一个多边形的内角和是1 440°，求这个多边形的边数．
设计意图：考查学生对多边形内角和公式的运用．
3．若两个多边形的边数比为1∶2，内角和的度数比为1∶3，求这两个多边形的边数．设计意图：考查学生运用多边形内角和公式进行计算的能力．。