固体物理试题

2006年秋季《固体物理》第一次作业答案
（发布时间：2006-10-30）2007-1-9
校外学习中心： (学生填写) 院校：东北师范大学 远程与继续教育学院 专业：物理学专业 课程：《固体物理》 姓名： 学号： 作业要求：
1、本次作业需于2006年12月4日—2006年12月10日以文本形式或通过电子邮件交到本人所在学习中心。

2、具体操作方法：下载本次作业的文档，填上或者回答出每道题目，再把你完
成好的作业发回给学习中心相关辅导教师进行批改。

3、作业发送给相关教师以后，应确保作业提交成功，应该以收到邮件回复提交成
功为标志或向学习中心教师进行查询，以防由于邮件服务器或者其他不可预测的原因而发生传输失败的情况。

影响教师按时批改及个人成绩的获得（本次作业成绩占期末总评成绩的10%），并且学生必须有作业成绩才可以参加期末考试。

4、学习中心将学生的第一次离线作业批改完毕后，按要求认真填好成绩单。

东北师范大学06年秋季学期《固体物理》第一次离线作业题
一、判断改错题(正确的画对号，错误的画叉并将错处用线标出，在括号中写明正确答案) 1. 晶体中体积最小的周期性结构单元是原胞．（ √ ）
2. 对于一定的布喇菲晶格，123,,a a a
选择是不唯一的，其对应的123,,b b b 的选择是唯一的，
其对应的倒格子空间是唯一的。

（ × 是不唯一的 ）
3．金刚石结构的晶格常数为a ，则最近邻原子间距为
4
．（ ×4
）
４．若是半导体 GaAs 结构（ 具有闪锌矿结构），其中Ga 和 As 两原子的最近距离设为 d ,
．（ √ ）
５．晶体的基本特征是结构具有周期性．( √ )
６．在倒格子空间中，一个倒格点代表正格子空间中的一族晶面．( √ ) ７. 六角密堆结构是六角晶系，如下图（证明第２小题图示）所示，一个晶胞中有６个原子。

（ × 一个六角晶胞 ）
８．晶体的内能就是晶体的结合能．（ × 不是 ）
９．石墨是典型的混合键类型的层状结构晶体，具有共价键，金属键和范德瓦尔斯键．（ √ ）
１０．当光与光学波相互作用时，称为布里渊散射；当光与声学波相互作用时，称为喇曼散射．（ × 声学波， 光学波 ） 二、证明题
１．证明：简立方结构中密勒指数为（ h , k , l ）的晶面系的面间距 d 为：
/
d a =
解：简立方晶格原胞基矢：123
,,a ai a aj a ak ===
，倒格子基矢为： 123222,,b i b j b k
a a a
πππ=== ，对于(hkl)晶面系有：
1123222h k l G hb kb lb i j k a a a πππ=++=++ ，对应的面间距为：2d G
π=
所以求得：2d π
=
=
２．证明：如右图的六角密排结构中，c/a=1/2
8
()
3
．
证明：六角密排结构的球 ABCD 构成如下图所示的正四面体结构，利用正四面体的几何特性2
2
2
DO
DB
BO =-及
2
c D O =
， 且有2AB BC AD AC CD a r ======
即22
2
2()(2
3
2
c
a =-⋅
1/2
8/()3
c a ⇒=
３．如果将等体积球分别排列成下面的结构，设 x 表示刚球所占体积与总体积之比，请证明：
简立方：/6x π=
证明题第２小题图示
体心立方：/8x =
面心立方结构： /6x =
六角密排：/6x =
金刚石结构：/16x =
答：在一个简立方晶格中，一个立方体晶胞中包括1818
⨯=，设刚球半径为r ，1个刚球所
占体积为3
413
r π⨯
，一个立方体晶胞的体积为3a ，这里，从立方体的棱边来看，a 与r 关系
为：2a r =，所以，二者之比为33
4(1)/3
6
x r a π
π=⨯=
．
在一个体心立方晶格中，一个立方体晶胞中包括18128
⨯+=，设刚球半径为r ，2个刚球所
占体积为3
423
r π⨯
，一个立方体晶胞的体积为3a ，这里，从体对角线来看，a 与r 关系为：
4r =，所以，二者之比为33
4(2)/3
8x r a π=⨯=
．
在一个面心立方晶格中，一个立方体晶胞中包括118648
2
⨯+⨯
=，设刚球半径为r ，4个刚
球所占体积为3
443
r π⨯
，一个立方体晶胞的体积为3a ，这里，从面对角线来看，a 与r 关
4r =，所以，二者之比为33
4(4)/3
6
x r a π=⨯=
．
在一个六角密排晶格中，一个六角晶胞中包括13(81)68
⨯⨯
+=，设刚球半径为r ，6个刚
球所占体积为3
463
r π⨯，一个六角晶胞的体积为2
64
a c ⨯
，这里，从六角棱边来看，a
与r 关系为：2a r =，从结构关系上来看，a 与关系为
c a
=
所以，二者之比为
3
2
4(6)/63
4
6
x r c π=⨯
⨯
=
在一个金刚石晶格中，一个立方体晶胞中包括18348
⨯+=，设刚球半径为r ，4个刚球所占
体积为3
443
r π⨯
，一个立方体晶胞的体积为3a ，这里，从体对角线来看，a 与r 关系为：
24
a r =，所以，二者之比为33
4(4)/3
16
x r a π=⨯=
．
４．设雷纳德—琼斯势为：12
6
()4[(
)
(
)]u r r
r
σ
σ
ε=-，试证明： 0 1.12r σ=时，势能最小，
且0()u r ε=-；当 r = σ 时， u ( σ )=0 ；说明 ε 和 σ 的物理意义。

证明：当r=r 0时，u(r)取极小值，由极值条件可得：01/6
0()02
1.12r du r dr
σσ=⇒==
故将0 1.12r σ=代入12
6
()4[(
)
(
)]u r r
r
σ
σ
ε=-，可得：
12
6
00
()4[(
)
(
)]u r r r σ
σ
εε=-=-，所以ε的物理意义是两分子处于平衡时的结合能；
当r=σ时，有12
6
()4[()
(
)]0u σσσεσ
σ
=-=，所以 σ 的物理意义是互作用势为 0时两分
子的间距。

５．证明一维离子晶体（两种离子，间距为 a ）的马德隆常数2ln 2α=。

解：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+-=+⨯
-⨯
+⨯
-⨯
=±
=
∑
(4131211241)
23
122
121
121j
a α 由于......)ln(+-
+
-
=+432
14
3
2
x
x
x
x x
可得到......ln )ln(+-
+
-==+4
1
3
1
2
1
12114
3
2
所以22ln =α
６．求二维一价离子晶体的马德隆常数α，（选择ＡＢＣＤ为中性离子组）。

解：111441
j
a α=
±
=⨯
-⨯
∑
计算可得：4 1.172α=-≈
B
C
第６小题：二维一价离子体系
a
第二大题第5小题图示
７．已知一维单原子链的相邻原子间距为 a ，力常数为 β ，在简谐近似下，只考虑最近邻相互作用情况，
（１）证明格波的色散关系：22(1cos )qa m
βω=
-．
（２）证明一维晶格格波的频率分布函数为：
()ρω=
，其
中
m ω=（提示：可以利用公式3
()(2)
()
V ds
q ρωπω=
∇⎰
）
解：（1）设x n 表示第n 个原子的位置，则运动方程为：2
112
(2)n n n n d x m x x x dt
β+-=+-，
设试探解为：()i w t naq n x Ae -=， 则代入计算可得：2
2[1cos ]aq m
βω=
-．
（2）一维情况下, 设Ｌ＝Ｎa ，频率分布函数或模式密度计算公式为： 3
1()(2)
()
2()
V ds
L dq
L d q q dq
ρωω
πωπ
ωπ=
=
=
∇∇⎰
⎰
,
这里已知: 2
2(1cos )qa m
βω=
-
，则有
2
d qa dq
ω=
所以有：1()L L
L
L
d a
a
dq
ρωω
ππ
ππ=
=
=
⋅
=
代入Ｌ＝Ｎa
，可得证：()ρω=
８．一维双原子链的晶格振动，链上的最近邻原子间的力常数交错为 c 和 10c ，设两种原子的质量相等，设为 M ，且最近邻的间距为a/2 ， （１）写出运动方程；
（２）若求得色散关系 ()q ω
为2
11c m
ω±=±
请计算出q=0和q a
π
=±
的极值，并画出色散关系图．
（４）解释光学支和声学支的命名原因． 解： 如图所示：
（1）运动方程：
221222121222121210()()()10()n n n n n n n n n n M x c x x c x x M x c x x c x x +-++++=---⎧⎨
=---⎩
（2）若色散关系 ()q ω
为2
11c m
ω±=
±
当q=0时，22,0c m
ωω+-== 当q a
π
=±
时，202,c c m m ωω+-=
=
图示如下：
（3）命名原因：
光学波和声学波的命名主要是由于它们在长波极限的性质。

声学波在长波极限情况下，
作展开，可得ω-≈，表明对于声学波，其频率正比于波数，即长声学波就是把
一维链看成连续介质的弹性波，故取名为声学波。

而光学波，对于离子晶体而言，在长波极限情况，长光学波可以与电磁波发生共振，能够引起远红外光在ωω+≈附近的强烈吸收，因此，该支格波称为光学波。

三．给晶面指数画出晶面
请在下面两个立方体中画出立方晶系的（０２１）和（０１１）晶面．
2n+1
2n+2
O
a
b
c
O
a
b
c。