北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含解析

北京市首师大附中2019-2020学年上学期期末考试
高一数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）
A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2
2．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若log
＜1，则a的取值范围是（）
a
A．0＜a＜ B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞1
4．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）
A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+3
5．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）
A．B．或C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形
6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）
A．B．C．D．
x 7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log
5的图象的交点个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时
针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）
A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C．λ+μ的最大值为3
D．λ+μ的最小值不存在
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=______．
10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为______．
11．已知三个向量
=（k ，12），=（4，5），=（10，k ），且A 、B 、C 三点共线，则k=______．
12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sin α=
，cos β=，则α﹣β的值为______．
13．已知tan θ=3，则
=______． 14．使不等式sin 2x+acosx+a 2≥1+cosx 对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是______．
三、解答题（共4小题，满分44分）
15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k 为何值时：
（1）k +与﹣3垂直；
（2）k +与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？
16．已知函数f （x ）=sinxcosx ﹣
cos 2x+．
（1）求函数f （x ）的周期；
（2）求函数f （x ）在[﹣
，]的取值范围．
17．已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）． （1）若x ∈[2，6]时，f （x ）max =f （2）=2，f （x ）min =f （6）=﹣2且f （x ）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；
（2）若φ=且函数f （x ）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；
（3）若φ=0且函数f （x ）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．
18．如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （﹣x ）≠﹣f （x ），则称该函数是“X ﹣函数”．
（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x ；②y=x+1； ③y=x 2+2x ﹣3是否为“X ﹣函数”？（直接写出结论） （Ⅱ）若函数f （x ）=sinx+cosx+a 是“X ﹣函数”，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）已知f （x ）=
是“X ﹣函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B ．
北京市首师大附中2019-2020学年上学期期末考试
高一数学试卷参考答案
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）
A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【分析】A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与﹣1的关系．
【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，
∴两个集合有公共元素，
∴a要在﹣1的右边，
∴a＞﹣1，
故选C．
2．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】象限角、轴线角；二倍角的正弦．
【分析】由sin2α＜0，确定2α的象限，确定α的象限范围，根据cosα﹣sinα＜0，判定α的具体象限．【解答】解：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限或y的负半轴．2kπ+π＜2α＜2kπ+2π，k∈Z，∴kπ
+＜α＜kπ+π，k∈Z
∴α在第二、四象限．又∵cosα﹣sinα＜0，
∴α在第二象限．
故选：B．
3．若log
a
＜1，则a的取值范围是（）
A．0＜a＜ B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞1
【考点】指、对数不等式的解法．
【分析】运用对数函数的单调性，分a＞1，0＜a＜1两种情况，注意先求交集，再求并集即可．
【解答】解：log
a ＜1=log
a
a，
当a＞1时，不等式即为a＞，则有a＞1成立；
当0＜a＜1时，不等式即为a＜，即有0＜a＜．
综上可得，a的范围为a＞1或0＜a＜．
故选D．
4．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）
A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+3
【考点】函数的图象与图象变化．
【分析】欲求g（x）的解析式，只须根据：“f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象”将x→x﹣3由f（x）的解析式即可得到．
【解答】解：∵函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，
∴x→x﹣3，
又∵f（x）=2﹣x+x
∴g（x）=f（x﹣3）=2﹣x+3+x﹣3．
故选A．
5．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）
A．B．或C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形
【考点】向量在几何中的应用；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】先由向量的加法运算法则知知对角线相等，再由矩形定义求解．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，∵
∴平行四边形的对角线相等
由矩形的定义知：平行四边形ABCD是矩形．
故选C
6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．
【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，
故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，
由当x=时，y=1＞0，
当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．
由此可排除选项A和选项C．
故正确的选项为D．
故选：D．
7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log
x
5的图象的交点个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】根的存在性及根的个数判断．
x的图象的【分析】由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，数形结合可得函数y=f（x）与y=log
5
交点个数．
【解答】解：由题意可得函数y=f（x）是周期
为2的偶函数，
再根据x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，
可得函数y=f（x）的图象，
数形结合可得函数y=f（x）与y=log
x的
5
图象的交点个数为 4，
故选B．
8．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时
针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）
A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C．λ+μ的最大值为3
D．λ+μ的最小值不存在
【考点】向量的加法及其几何意义．
【分析】建立坐标系可得=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．
【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，
则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1），
所以=（λ﹣μ，μ），
当λ=μ=1时， =（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故A错误；
当λ=1，μ=0时， =（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，
当λ=，μ=时， =（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，
故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；
当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．
故选C
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
9．cos70°cos335°+sin110°sin25°= ．
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式计算即可．
【解答】解：cos70°cos335°+sin110°sin25°=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos（70°﹣25°）
=cos45°=，
故答案为：
10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可．
【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，1），
∴在方向上的正射影的数量||cos＜，＞===，
故答案为：
11．已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k= ﹣2或11 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】先求出和的坐标，利用和共线的性质x
1y
2
﹣x
2
y
1
=0，解方程求出 k的值．
【解答】解：由题意可得=（4﹣k，﹣7），=（6，k﹣5），由于和共线，
故有（4﹣k）（k﹣5）+42=0，解得 k=11或 k=﹣2．
故答案为：﹣2或11．
12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sinα=，cosβ=，则α﹣β的值为．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】根据αβ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系分别求得cosα和sinβ，由两角差的和正弦
公式求得sin（α﹣β），根据α﹣β∈（，），即可求得α﹣β的值．
【解答】解：由α∈（，π），β∈（﹣，0），sinα=，cosβ=，
∴α﹣β∈（，），cosα＜0，sinβ＜0，
cosα=﹣=﹣=﹣，
sinβ=﹣=﹣=﹣，
sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，
=×﹣（﹣）（﹣），
=﹣，
∴α﹣β=．
故答案为：．
13．已知tanθ=3，则= ．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用二倍角公式以及平方关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．
【解答】解：tanθ=3，则====．
故答案为：．
14．使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是a≤﹣2 ．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】利用公式1=cos2x+sin2x，进行代换，可得cos2x+（1﹣a）cosx﹣a2≤0，然后利用换元法和二次函数的性质列出性质进行求解．
【解答】解：1﹣cos2x+acosx+a2≥1+cosx⇒cos2x+（1﹣a）cosx﹣a2≤0，
令t=cosx，
∵x∈R，
∴t∈[﹣1，1]，
t2+（1﹣a）t﹣a2≤0，由题意知a＜0
∴．
故答案为a≤﹣2．
三、解答题（共4小题，满分44分）
15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：
（1）k+与﹣3垂直；
（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？
【考点】平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．
【分析】（1）由题意可得 k+和﹣3的坐标，由 k+与﹣3垂直可得它们的数量积等于 0，由此解得k的值．
（2）由 k+与﹣3平行的性质，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k的值．再根据 k+
和﹣3的坐标，可得k+与﹣3方向相反．
【解答】解：（1）由题意可得 k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4），
由 k+与﹣3垂直可得（k﹣3，2k+2）•（10，﹣4）=10（k﹣3）+（2k+2）（﹣4）=0，解得k=19．
（2）由 k+与﹣3平行，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k=﹣，
此时，k+=﹣+=（﹣，），﹣3=（10，﹣4），显然k+与﹣3方向相反．
16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．
（1）求函数f（x）的周期；
（2）求函数f（x）在[﹣，]的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（1）化简函数f（x）为Asin（ωx+φ）的形式，求出最小正周期；
（2）由x∈[﹣，]求出相位的取值范围，再计算f（x）的取值范围即可．
【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+
=sin2x﹣+
=sin2x﹣cos2x
=sin （2x ﹣
），… 由T=得，最小正周期T=π；…
（2）∵x ∈[﹣，]，∴﹣
≤2x ﹣≤π，…
∴﹣1≤sin （2x ﹣）≤1，…
函数f （x ）在[﹣
，]的取值范围：[﹣1，1]．
17．已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．
（1）若x ∈[2，6]时，f （x ）max =f （2）=2，f （x ）min =f （6）=﹣2且f （x ）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；
（2）若φ=且函数f （x ）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；
（3）若φ=0且函数f （x ）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．
【分析】（1）根据正弦型函数f （x ）的图象与性质，结合题意求出周期T ，即可得出ω的值，再根据f （x ）的最值求出φ的值；
（2）根据φ=时函数f （x ）在[0，]上单调递增，列出不等式求出ω的取值范围；
（3）根据φ=0时f （x ）为奇函数，结合正弦函数的图象与性质即可求出满足条件的ω的取值范围．
【解答】解：（1）函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
）， 当x ∈[2，6]时，f （x ）max =f （2）=2，f （x ）min =f （6）=﹣2，
∴T=2（6﹣2）=8=
，∴ω=， ∴f （x ）=2sin （x+φ）；
把（2，2）代入f （x ）得2=2sin （
+φ），∴cos φ=1；
∵|φ|＜
，∴φ=0；
（2）当φ=
时，函数f （x ）=2sin （ωx+）在[0，]上单调递增，
∴
≤ωx+≤ω+，
∴ω+≤， 解得ω≤1；
又ω＞0，
∴ω的取值范围是（0，1]；
（3）当φ=0时，f （x ）=2sin ωx ，
∵f （x ）为奇函数，要使f （x ）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，
只需f （x ）=0在（0，π]上恰有9个根，
∴T ≤π＜5T ，即•≤π＜5•，
解得9≤ω＜10，即ω的取值范围是[9，10）．
18．如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （﹣x ）≠﹣f （x ），则称该函数是“X ﹣函数”．
（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x ；②y=x+1； ③y=x 2+2x ﹣3是否为“X ﹣函数”？（直接写出结论） （Ⅱ）若函数f （x ）=sinx+cosx+a 是“X ﹣函数”，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）已知f （x ）=是“X ﹣函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B ．
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】（Ⅰ）根据“X ﹣函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X ﹣函数”；
（Ⅱ）由题意，对任意x ∈R ，f （﹣x ）≠﹣f （x ），利用不等式求出a 的取值范围；
（Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x ≠0，x 与﹣x 恰有一个属于A ，另一个属于B ；
（2）用反证法说明（﹣∞，0）⊆B ，（0，+∞）⊆A ；
（3）用反证法说明0∈A ，即得A 、B ．
【解答】解：（Ⅰ）①、②是“X ﹣函数”，③不是“X ﹣函数”；﹣﹣﹣﹣
（说明：判断正确一个或两个函数给1分）
（Ⅱ）由题意，对任意的x ∈R ，f （﹣x ）≠﹣f （x ），即f （﹣x ）+f （x ）≠0；
因为f （x ）=sinx+cosx+a ，
所以f （﹣x ）=﹣sinx+cosx+a ，
故f （x ）+f （﹣x ）=2cosx+2a ；
由题意，对任意的x ∈R ，2cosx+2a ≠0，即a ≠﹣cosx ；﹣﹣﹣
又cosx ∈[﹣1，1]，
所以实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣
（Ⅲ）（1）对任意的x ≠0，
（i ）若x ∈A 且﹣x ∈A ，则﹣x ≠x ，f （﹣x ）=f （x ），
这与y=f （x ）在R 上单调递增矛盾，（舍去），
（ii ）若x ∈B 且﹣x ∈B ，则f （﹣x ）=﹣x=﹣f （x ），
这与y=f （x ）是“X ﹣函数”矛盾，（舍去）；
此时，由y=f （x ）的定义域为R ，
故对任意的x ≠0，x 与﹣x 恰有一个属于A ，另一个属于B ；
（2）假设存在x 0＜0，使得x 0∈A ，则由x 0＜，故f （x 0）＜f （）；
（i ）若∈A ，则f （）=+1＜+1=f （x 0），矛盾，
（ii ）若∈B ，则f （）=＜0＜+1=f （x 0），矛盾；
综上，对任意的x ＜0，x ∉A ，故x ∈B ，即（﹣∞，0）⊆B ，则（0，+∞）⊆A ；
（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；
经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣。