北京市丰台区2021届高三数学一模试题(含解析)

北京市丰台区2020届高三数学一模试题（含解析）
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.若集合{}
12A x x =∈-<<Z ，{
}
2
20B x x x =-=，则A B =（ ）
A. {}0
B. {}0,1
C. {}0,1,2
D.
1,0,1,2
【答案】C 【解析】 【分析】
化简集合，再求并集即可. 【详解】
{0,1},{0,2}A B ==
{0,1,2}A B ∴=
故选：C
【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.
2.已知向量(),2a x =，()2,1b =-，满足//a b ，则x =（ ） A. 1 B. 1-
C. 4
D. 4-
【答案】D 【解析】 【分析】
由向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】向量(),2a x =，()2,1b =-，
//a b ，2(2)4x ∴=⨯-=-
故选：D
【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数，属于基础题. 3.若复数z 满足
1z
i i
=+，则z 对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的四则运算化简复数z ，确定对应复平面的点，即可得出答案. 【详解】(1)1z i i i =+=-+，其对应复平面的点为(1,1)-，在第二象限 故选：B
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题. 4.圆()2
212x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（ ）
A. 2
C. 1
D.
2
【答案】B 【解析】 【分析】
由圆的方程得出圆心坐标，利用点到直线的距离公式得出答案. 【详解】圆()2
212x y -+=的圆心坐标为(1,0)
则圆心(1,0)到直线10x y ++=的距离
d ==
故选：B
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，属于中档题. 5.已知1
32a =，123b =，31
log 2
c =，则（ ） A. a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D.
b c a >>
【答案】C 【解析】 【分析】
利用对数函数和幂函数的单调性求解即可.
【详解】66
1
21342372⎛⎫⎛⎫
=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，0a b ∴<<
3
31
log log 02
1c =<= b a c ∴>>
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用对数函数和幂函数的单调性比较大小，属于中档题. 6.“ x >1”是“
1
x
<1”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
先解分式不等式可得：
1
1x
<等价于1x >或0x <，再由“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件，即可得解. 【详解】解：因为
11x
<等价于1
0x x ->等价于1x >或0x <， 又“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件， 即“ x >1”是“1
x
<1”的充分而不必要条件， 故选A.
【点睛】本题考查了分式不等式的解法及充分必要条件，属基础题.
7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于3的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【解析】 【分析】
根据三视图得出该几何体的直观图，根据三角形的面积公式，即可得出结论. 【详解】该几何体对应的
直观图如下图所示
1
2332
ABC
S
=⨯⨯=；1
2332
ABD
S =⨯⨯=； 222(3)7AC =+=，22(3)7AD =+=
12332BCD
S
∴=⨯⨯=，221
2(7)162
ACD S ∆=⨯⨯-= 则面积等于3的有3个 故选：C
【点睛】本题主要考查了根据三视图求直观图的面积，属于中档题.
8.过抛物线C ：2
2y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60︒的直线与抛物线C 交于两个不同
的点A ，B （点A 在x 轴上方），则AF
BF
的值为（ ）
A.
13
B.
43
3 D. 3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据几何关系以及抛物线的定义得出2AF p =，由直角三角形的边角关系得出A y ，再由直线
AB 和抛物线的方程联立，结合韦达定理得出B y ，结合BFQ AFN ∆∆，对应边成比例，即
【详解】设(,),(,)A A B B
A x y
B x y ，过点A 分别作准线和x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作x 轴的垂线，垂足于点Q ，直线AB 与准线交于点D ，准线与x 轴交于点E 直线AB 的倾斜角为60︒，30MDA ︒∴∠=，即2AD AM = 由抛物线的定义知，AM AF =，则2AD AF =，即点F 为AD 中点
由于//AM EF ，则22AM EF p ==，即2AF p =，则2sin603A y p p =︒=
设直线AB 的方程为32p y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，即332p x y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
并代入2
2y px =中，得：2
2
2303
p y y p --=，即2A B y y p =-，则233B p y p -=
= 由于BFQ AFN ∆∆，则
||33||3A B y AF p BF y p
==⨯=- 故选：D
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，属于中档题. 9.将函数()sin f x x ω=（0>ω）的图象向左平移2
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =，下列说法错误．．的是（ ） A. ()g x 为偶函数
B. 02g π-
=⎛⎫
⎪⎝⎭
C. 当5ω=时，()g x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有3个零点 D. 若()g x 在0,5π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则ω的最大值为9 【答案】D 【解析】 【分析】
由平移变换和两角和的正弦公式化简得出函数()g x 的解析式，利用定义得出奇偶性，进而判断A 选项；将2
x π
=-代入函数()g x 的解析式，即可判断B 选项；由余弦函数的性质判断C ，D.
【详解】由题意得()sin 2
g x x π
ωω⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
，由(0)sin
12
g πω
==，得出cos
02
πω
=
则()sin sin cos
cos sin
cos 2
2
2
g x x x x x π
πω
πω
ωωωωω⎛⎫=+
=⋅+⋅= ⎪⎝
⎭
对A 项，函数()g x 的定义域为R ，()cos()cos ()g x x x g x ωω-=-==，则函数()g x 为偶函数 对B 项，cos cos 0222g πππωω⎛⎫⎛⎫
-
=-== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
对C 项，当5ω=时，()cos5g x x =，由5,2
x k k Z π
π=
+∈得：,10
5
k x k Z π
π
=
+
∈ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，x 可以取3,,10102πππ，即当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有3个零点
对D 项，由22,k x k k Z π
ωππ≤+∈，解得22,,k k x k Z πππωωω⎡⎤
∈+∈⎢
⎥⎣⎦
则函数()g x 在区间0,
πω⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减
因为()g x 在0,
5π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，所以
5ππω≤，解得05ω<≤ 即ω的最大值为5 故选：D
【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换求解析式，余弦函数性质的应用，在求余弦型函数的单调性时，利用整体法将余弦型函数的单调性化归为余弦函数的单调性来处理问题，属于中档题.
10.已知函数()e 1,0,
,0.
x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k
的取值范围是（ ） A. (),1-∞- B. (],1-∞-
C.
1,0
D. [)1,0-
【答案】A 【解析】 【分析】
将方程的有解问题转化为函数图象的交点问题，利用导数，即可得出实数k 的取值范围. 【详解】不妨设00x >
当0k ≥时，()00=e 10x
f x ->，()000f x kx -=-≤，不存在非零实数0x ，使得
()()00f x f x -=成立，则0k ≥不满足题意
当k 0<时，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则方程00e 1x
kx -=-有非零的
正根，即函数()e 1,0x
y x =->与(),0y kx x =->有交点
先考虑函数()e 1,0x
y x =-≥与直线y kx =-相切的情形
设切点为11(,)x y ，则11111
e 1x x k e y kx y ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，整理得()111e 10x
x -+=
令()()1e 1,0x
g x x x =-+≥，则()0e x
g x x '=≥，即函数()g x 在[
)0,+∞上单调递增
则()(0)0g x g ≥=，所以方程()111e 10x
x -+=的根只有一个，且10x =，即1k -=
则函数()e 1,0x
y x =-≥与直线y kx =-相切时，切点为原点
所以要使得函数()e 1,0x
y x =->与(),0y kx x =->有交点，则1k ->，即1k <-
所以实数k 的取值范围是(),1-∞- 故选：A
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，导数研究方程的根，属于中档题.
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =-，则5S =______. 【答案】25 【解析】 【分析】
由等差数列的求和公式求解即可. 【详解】()15555(19)
2522
a a S ++=
== 故答案为：25
【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题. 12.若1x >，则函数()1
1
f x x x =+
-的最小值为______，此时x =______. 【答案】 (1). 3 (2). 2 【解析】 【分析】 将()1
1f x x x =+
-化为1()111
f x x x =-+
+-，再由基本不等式求解即可. 【详解】1()112(1)131f x x x x =-+
+-=- 当且仅当1
11
x x -=
-，即2x =时，取等号 即函数()1
1
f x x x =+-的最小值为3，此时2x = 故答案为：3；2
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.
13.已知平面α和三条不同的直线m ，n ，l .给出下列六个论断：①m α⊥；②//m α；③//m l ；
④n α⊥；⑤//n α；⑥//n l .以其中两个论断作为条件，使得//m n 成立.这两个论断可以是______.（填上你认为正确的一组序号） 【答案】①④（或③⑥） 【解析】 【分析】
根据空间中直线，平面的位置关系进行判断即可.
【详解】对①④，由线面垂直的性质定理可知，若m α⊥，n α⊥，则//m n ，故可填①④ 对①⑤，若m α⊥，//n α，则m n ⊥；
对①⑥，若m α⊥，//n l ，则无法判断,m n 的位置关系； 对②④，若//m α，n α⊥，则m n ⊥；
对②⑤，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，平行或异面； 对②⑥，若//m α，//n l ，则无法判断,m n
的
位置关系；
对③④，若//m l ，n α⊥，则无法判断,m n 的位置关系； 对③⑤，若//m l ，//n α，则无法判断,m n 的位置关系；
对③⑥，由平行的传递性可知，若//n l ，//m l ，则//m n ，故可填③⑥ 故答案为：①④（或③⑥）
【点睛】本题主要考查了判断空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题.
14.如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换.有下列3种变换： ①对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ②对任意z C ∈，变换：求z 的共轭复数；
③对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k ，b 均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是______. 【答案】①② 【解析】 【分析】
由集合的运算性质，复数的性质结合题意，进行判断即可. 【详解】对①，集合A 的补集为集合
R
A ，集合
R
A 的补集为集合A ，故①为“回归”变换
对②，设z a bi =+，,a b ∈R ，复数z 的共轭复数为z a bi =-，复数z 的共轭复数为
()a b i a bi z --=+=，故②为“回归”变换
对③，当0x =时，00k b b →⨯+=，b kb b →+，由于k ，b 均为非零实数，则kb b +不一定为0，则③不是“回归”变换 故答案为：①②
【点睛】本题主要考查了集合的运算以及共轭复数的定义，属于中档题.
15.已知双曲线M ：2
2
13
y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直线.
若椭圆N ：22
221x y a b
+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______.
【答案】1
2
【解析】 【分析】
由双曲线渐近线的斜率得出60AOB ∠=︒，进而得出点A 的坐标，根据题意得出椭圆N 的半焦距，再由椭圆的定义，即可得出a 的值.
【详解】因为OA 为双曲线2
2
13
y x -=的渐近线，所以OA k =60AOB ∠=︒
所以sin 602AD AO ︒
==，1cos602OD AO ︒
=⋅=，则1,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
因为21OB OD ==，所以椭圆N 的半焦距1c = 设椭圆N 的左焦点为1F ，则1(1,0)F -，连接1AF 由椭圆的定义可得12AF AB a +=
2a =，解得a =
故答案为：
1
2
【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质以及椭圆的基本性质，其中利用定义求a 是解题的关键，属于中档题.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，3
A π
=.
（1）当2b =时，求a ；
（2）求sin 3B C 的取值范围.
【答案】（1）3a =2）33sin 322B C ∈⎛ ⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）由余弦定理，即可得出a 的
值；
（2）由23
B C π=
-，结合三角恒等变换得sin 3B C sin 3C π=-
⎛
⎫
⎪⎝⎭
，再由C 的范围确定3
C π
-
的范围，最后由正弦函数的性质即可得出结论.
【详解】解：（1）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2
2
2
24224cos 123
a π
=+-⨯⨯⋅=.
所以3a =（2）由3
A π
=
可知，23B C π
+=
，即23
B C π=
-. 2sin 3sin 33B C C C π=-⎛⎫
⎪⎝⎭
3
1
cos sin 3cos 22C C C =
+- 13sin cos 22C C =
-
sin 3C π=-
⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 因为23B C π+=
，所以20,3C π⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭.故,333C πππ-∈-⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 因此33sin ,322C π-∈-⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 于是33sin 3cos ,
2
2B C -∈-
⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
. 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用以及与三角函数性质结合的应用，属于中档题. 17.如图，在四棱锥M ABCD -中，//AB CD ，90ADC BM C ∠=∠=，M B M C =，
122
AD DC AB ==
=，平面BCM ⊥平面ABCD .
（1）求证：//CD 平面ABM ； （2）求证：AC ⊥平面BCM ；
（3）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4
π？若存在，求出
AE
AM 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；23
AE AM
=
【解析】 【分析】
（1）由线面平行判定定理证明即可；
（2）由勾股定理得出2BC =，进而得AC BC ⊥，再由面面垂直的性质定理即可证明AC ⊥平面BCM ；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】证明：（1）因为AB CD ∥，
AB 平面ABM ，
CD ⊄平面ABM ，
所以CD ∥平面ABM .
（2）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中， 易知2AN BN CD ===
，且CN AB ⊥.
在Rt CNB △中，由勾股定理得2BC =. 在ACB △中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因
平面BCM ⊥平面ABCD ，
且平面BCM
平面ABCD BC =，
所以AC ⊥平面BCM .
（3）取BC 的中点O ，连接OM ，ON . 所以ON AC ∥， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.
如图建立空间直角坐标系O xyz -，
则()0,0,1M ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()2,1,0A -，
()2,1,1AM =-，()0,2,0BC =-，()2,2,0BA =-.
易知平面BCM 的一个法向量为()1,0,0m =.
假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4
π
. 不妨设AE AM λ=（01λ≤≤）， 所以()22,2,BE BA AE λλλ=+=--， 设(),,n x y z =为平面BCE 的一个法向量，
则0,0,
n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()20,220,y x z λλ-=⎧⎨-+=⎩
令x λ=，22z λ=-，所以(),0,22n λλ=-.
从而2cos ,2
m n m n
m n ⋅=
=
⋅.
解得2
3
λ=
或2λ=. 因为01λ≤≤，所以23
λ=
. 由题知二面角E BC M --为锐二面角.
所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为
4
π，
此时
23
AE AM
=
.
【点睛】本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题. 18.在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：
（1）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率；
（2）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；
（3）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=，1B ξ=，1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，
“0A ξ=，0B ξ=，0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，
()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）
【答案】（1）3
37
（2）详见解析（3）()()()A C B D D D ξξξ>> 【解析】 【分析】
（1）利用古典概型概率公式求解即可；
（2）先求出A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率，得出X 的所有可能取值，并计算出相应的概率，即可得出分布列；
（3）根据方差的意义进行判断即可.
【详解】解：（1）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，
()303100120150
37
P D =
=
++.
所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为
3
37
. （2）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为
310，13，13
. X 的所有可能取值为0，1，2，3. ()7
222814010339045P X ==
⨯⨯==，()3227127214041103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==， ()31232171119
210331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
()31131
310339030
P X ==⨯⨯==.
X 的分布列为：
（3）()()()A C B D D D ξξξ>>
【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列，属于中档题. 19.已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.
（1）若曲线()y f x =在点()()
e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）当0a =时，求证：()0f x ≥； （3）若函数()f x 在区间1,
上存在极值点，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）0a =（2）证明见解析（3）
,0
【解析】 【分析】
（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）利用导数得出函数()f x 的单调性，进而得出其最小值，即可证明()0f x ≥； （3）分类讨论a 的值，利用导数得出()f x 的单调性，结合题意，即可得出实数a 的取值范围.
【详解】解：（1）因为()()ln 1f x a x x x =+-+， 所以()ln a f x x
x '=+
.
由题知()e ln e 1e
a
f '=+=， 解得0a =.
（2）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以()ln f x x '=. 当()0,1x ∈时，0f x ，()f x 在区间0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，0f
x
，()f x 在区间1,
上单调递增；
所以()10f =是()f x 在区间0,上的最小值.
所以()0f x ≥.
（3）由（1）知，()ln ln a x x a
f x x
x
x +'=+
=
.
若0a ≥，则当()1,x ∈+∞时，0f x
，()f x 在区间1,
上单调递增，
此时无极值.
若0a <，令()()g x f x '=， 则()21a g x x x
'=
-. 因为当()1,x ∈+∞时，0g x ，所以()g x 在1,
上单调递增.
因为()10g a =<， 而()()e
e
e 10a
a
a g a a a -=-+=->，
所以存在(
)01,e
a
x -∈，使得()0
0g x =.
f
x 和()f x 的情况如下：
x
因此，当0x x =时，()f x 有极小值()0f x . 综上，a 的取值范围是(,0)-∞.
【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式，导数几何意义的应用等，属于中档题.
20.已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>），点1,0P 在椭圆C 上，直线0
y y =与椭圆C 交于不同的两点A ，B. （1）求椭圆C 的方程；
（2）直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得
2
OQN OQM π
∠+∠=
？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2
212
y x +=（2）存在；点()
Q
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，求解即可； （2）假设存在点Q 使得2
OQN OQM π
∠+∠=
，根据几何关系得出tan tan OQN OMQ ∠=∠，
进而得到2
OQ ON OM =，设出直线PA ，PB 的方程，得出,M N 的纵坐标，进而得到
2
2
201y m x =-，结合()
22
0021y x =-，解出m 的值，求出点Q 的坐标.
【详解】解：（1
）由题意222211b c
a a
b
c ⎧=⎪⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
解得22a =，21b =.
所以椭圆C 的方程为2
212
y x +=.
（2）假设存在点Q 使得2
OQN OQM π
∠+∠=.设(),0Q m
因为2
OQN OQM π
∠+∠=
，所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.
即
ON OQ OQ OM
=，所以2
OQ ON OM =. 因为直线0y y =交椭圆C 于A ，B 两点，则A ，B 两点关于y 轴对称. 设()00,A x y ，()00,B x y -（01x ≠±）， 因为1,0P ，则直线PA 的方程为：()0
011
y y x x =
--. 令0x =，得0
01
M y y x -=
-. 直线PB 的方程为：()0
011
y y x x -=
-+. 令0x =，得0
01
M y y x =
+. 因为2
OQ ON OM =，所以22
201
y m x =-.
又因为点()00,A x y 在椭圆C 上，所以()
2
2
0021y x =-.
所以()
2
022
2121x m x
-=
=-.
即m =.
所以存在点()
Q 使得2
OQN OQM π
∠+∠=
成立.
【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及椭圆中存在定点满足条件的问题，属于中档题. 21.已知有穷数列A ：12,,
,,,k n a a a a （*n ∈N 且3n ≥）.定义数列A 的“伴生数列”B ：
12,,,,
,k n b b b b ，其中11
1110k k k k k a a b a a -+-+≠⎧=⎨=⎩
，，（1,2,
,k n =），规定0n a a =，11n a a +=.
（1）写出下列数列的“伴生数列”： ①1，2，3，4，5； ②1，1-，1，1-，1.
（2）已知数列B 的“伴生数列”C ：1c ，2c ，…，k c ，…，n c ，且满足1k k b c =+（1k =，2，…，n ）.
（i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.
【答案】（1）①1，1，1，1，1②1，0，0，0，1（2）（i ）证明见解析（ⅱ）所有项的和0S =或23
n S =
（n 是3的倍数）
【解析】 【分析】
（1）根据“伴生数列”的定义求解即可； （2）（i ）设存在{}1,2,
,1k n =-，使得11k k b b +==，讨论1k =和21k n ≤≤-，结合“伴
生数列”的定义证明即可；
（ⅱ）利用反证法得出不可能存在110k k k b b b -+===，{}2,
,1k n ∈-，再对数列{}n b 的前
三项1b ，2b ，3b 的值进行讨论，当1231b b b ===时，得出所有项的和0S =；当11b =，20b =，31b =时，得出220b c +=与已知矛盾；当11b =，20b =，30b =时，结合“伴生数列”的定
义得出所有项的和23
n S =，同理可以得出当10b =，21b =，30b =及10b =，20b =，31
b =时，所有项的和23
n S =
.
【详解】解：（1）①1，1，1，1，1； ②1，0，0，0，1.
（2）（i ）由题意，存在{}1,2,
,1k n =-，使得11k k b b +==.
若1k =，即121b b ==时，120c c ==.
于是21n b b ==，131b b ==.
所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.
依次类推可得11k k b b +==（2k =，3，…，1n -）.
所以1k b =（1k =，2，…，n ）.
若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.
于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.
依次类推可得121b b ==.
所以1k b =（1k =，2，…，n ）.
综上可知，数列B 中的每一项均为1.
（ⅱ）首先证明不可能存在{}2,
,1k n ∈-使得110k k k b b b -+===. 若存在{}2,,1k n ∈-使得110k k k b b b -+===，
则111k k k c c c -+===.
又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.
所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}2,,1k n ∈-.
由此及（ⅰ）得数列{}n b 的前三项1b ，2b ，3b 的可能情况如下：
当1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =（1k =，2，…，n ）.
于是0k c =（1k =，2，…，n ）0k c =.
所以所有项的和0S =.
当11b =，20b =，31b =时，20c =，
此时220b c +=与已知矛盾.
当11b =，20b =，30b =时，10c =，21c =，31c =.
于是20n b b ==，241b b ≠=.
故1n c =，40c =，530b b ==
于是110n b b -≠=，51c =，60b =，
于是14b b =，25b b =，36b b =，且21n b -=，10n b -=，0n b =.
依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n
n
S n =-=.
同理可得10b =，21b =，30b =及10b =，20b =，31b =时，
当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意. 此时所有项的和23n
S =.
综上，所有项的和0S =或23n
S =（n 是3的倍数）.
【点睛】本题主要考查了求数列的前n 项和，涉及了反证法的应用，考查学生逻辑推理和计算的能力，属于难题.。