八年级(下)学期3月份段考数学试题含答案

一、选择题
1．如图，在23⨯的正方形网格中，AMB ∠的度数是（ ）
A ．22.5°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
2．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=，8AD =，6BC =，分别以点A ，
C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交A
D 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）
A ．42
B ．6
C ．210
D ．8
3．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 、BE 与相交于点G ，以下结论中正确的结论有（ ）
（1）△ABC 是等腰三角形；（2）BF ＝AC ；（3）BH ：BD ：BC ＝1：2：3；（4）GE 2+CE 2＝BG 2．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为
3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）
A ．25394+
B ．25392+
C ．18253+
D ．253182
+ 5．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A ．甲、乙都可以
B ．甲、乙都不可以
C ．甲不可以、乙可以
D ．甲可以、乙不可以 6．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ）
A ．5
B ．7
C ．5
D ．5或7 7．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c ===
B ．5,5,52a b c ===
C ．::3:4:5a b c =
D ．11,12,13a b c ===
8．已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
9．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ） A ．如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，那么△ABC 是直角三角形
B ．如果∠A ：∠B ：∠
C ＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形
C ．如果 a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形
D ．如果 a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°
10．如图，在△ABC ，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E ，若AD ＝3cm ，则BE 的长为（ ）
A ．332cm
B ．4cm
C ．32cm
D ．6cm
二、填空题
11．如图，△ABC 是一个边长为1的等边三角形，BB 1是△ABC 的高，B 1B 2是△ABB 1的高，B 2B 3是△AB 1B 2的高，……B n-1B n 是△AB n-2B n-1的高，则B 4B 5的长是________，猜想B n-1B n 的长是________．
12．在ABC ∆中，10AB cm =，17AC cm =，BC 边上的高为8cm ，则ABC ∆的面积为______2cm ．
13．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________.
14．如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，()20,0A ，()0,8C ，点D 是OA 的中点，点P 在边BC 上运动，当ODP ∆是以OD 为腰的等腰三角形时，则P 点的坐标为______.
15．在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，且a +b =35，c =5，则ab 的值为______．
16．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BCA ＝30°，点D 在BC 上，点E 在△ABC 外，且AD ＝AE ＝CE ，AD ⊥AE ，则AB BD
的值为____________．
17．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．
18．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．
19．四边形ABCD中AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，AD＝CD＝52，四边形ABCD的面积是_______．
20．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB，且 BD=3，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD的长是____________．
三、解答题
21．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E是AB的中点，连接CE交AD于点F，BD=3，求BF的长．
22．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∠ACD=∠ADC=80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形．
（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点
．．．．．．．D．，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形．
（3）如图3，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=23，若存在一点D，使四边形ABCD是邻和四边形，求邻和四边形ABCD的面积．
23．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．
（1）求BF 的长；
（2）求CE 的长．
24．阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？
分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．
感悟与应用：
（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，
①求证：180B D ∠+∠=︒；
②求AB 的长．
25．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，
（1）求证：ABD ACE ≅；
（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，
①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；
②若3BD =，4CF =，求AD 的长，
26．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．
（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =；
（2）延长BD 与EF 交于点G ．
①如图2，求证：60BGE ∠=︒；
②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为
______________．
27．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.
小明为解决上面的问题作了如下思考：
作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.
（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：
如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.
28．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E .
（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；
（2）设,BC m AC n ==
①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由.
②若线段2AD EC =，求m n
的值.
29．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4，
（1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M 运动的时间为t （秒），
①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；
②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．
图1 图2 备用图
30．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂
直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .
（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.
已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
连接AB ，求出AB 、BM 、AM 的长，根据勾股定理逆定理即可求证AMB ∆为直角三角形，而AM=BM ，即AMB ∆为等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】
连接AB
∵22125AM =+=，22125AB =+=，221310BM =+=
∴22210AM AB BM +==
∴AMB ∆为等腰直角三角形
∴45AMB ∠=︒
故选C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明AMB ∆为直角三角形．
2．A
解析：A
【分析】
连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出AF =FC ．再根据ASA 证明△FOA ≌△BOC ，那么AF =BC =3，等量代换得到FC =AF =3，利用线段的和差关系求出FD =AD -AF =1．然后在直角△FDC 中利用勾股定理求出CD 的长．
【详解】
解：如图，连接FC ，
∵点O 是AC 的中点，由作法可知，OE 垂直平分AC ，
∴AF =FC ．
∵AD ∥BC ，
∴∠FAO =∠BCO ．
在△FOA 与△BOC 中，
FAO BCO OA OC
AOF COB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ， ∴△FOA ≌△BOC （ASA ），
∴AF =BC =6，
∴FC =AF =6，FD =AD -AF =8-6=2．
在△FDC 中，∵∠D =90°，
∴CD 2+DF 2=FC 2，
∴CD 2+22=62，
∴CD
=
故选：A ．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF 与DF 是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠ABE ＝∠CBE ，根据等角的余角相等求出∠A ＝∠BCA ，再根据等角对等边可得AB ＝BC ，从而得证；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠A ＝∠DFB ，推出BD ＝DC ，根据AAS 证出△BDF ≌△CDA 即可；
（3）根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答；
（4）由（2）得出BF ＝AC ，再由BF 平分∠DBC 和BE ⊥AC 通过ASA 证得△ABE ≌△CBE ，即得CE ＝AE ＝12
AC ，连接CG ，由H 是BC 边的中点和等腰直角三角形△DBC 得出BG ＝CG ，再由直角△CEG 得出CG 2＝CE 2+GE 2，从而得出CE ，GE ，BG 的关系．
【详解】
解：（1）∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE ＝∠CBE ，
∵CD ⊥AB ，
∴∠ABE +∠A ＝90°，∠CBE +∠ACB ＝90°，
∴∠A ＝∠BCA ，
∴AB ＝BC ，
∴△ABC 是等腰三角形；
故（1）正确；
（2）∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，
∴∠BDC ＝∠ADC ＝∠AEB ＝90°，
∴∠A +∠ABE ＝90°，∠ABE +∠DFB ＝90°，
∴∠A ＝∠DFB ，
∵∠ABC ＝45°，∠BDC ＝90°，
∴∠DCB ＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC ，
∴BD ＝DC ，
在△BDF 和△CDA 中
==BDF CDA A DFB BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
， ∴△BDF ≌△CDA （AAS ），
∴BF ＝AC ；
故（2）正确；
（3）∵在△BCD 中，∠CDB ＝90°，∠DBC ＝45°，
∴∠DCB ＝45°，
∴BD ＝CD ，BC
BD ．
由点H 是BC 的中点，
∴DH ＝BH ＝CH ＝
12
BC ， ∴BD
，
∴BH ：BD ：BC ＝BH
：2BH ＝1
：2．
故（3）错误；
（4）由（2）知：BF ＝AC ，
∵BF 平分∠DBC ，
∴∠ABE ＝∠CBE ，
又∵BE ⊥AC ，
∴∠AEB ＝∠CEB ，
在△ABE 与△CBE 中， ==ABE CBE AEB CEB BE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△CBE （AAS ），
∴CE ＝AE ＝
12AC ， ∴CE ＝12AC ＝12
BF ； 连接CG ．
∵BD ＝CD ，H 是BC 边的中点，
∴DH是BC的中垂线，
∴BG＝CG，
在Rt△CGE中有：CG2＝CE2+GE2，
∴CE2+GE2＝BG2．
故（4）正确．
综上所述，正确的结论由3个．
故选C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行线的性质，勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
4．A
解析：A
【解析】
分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得
BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．
详解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=1
2AP=
3
2
，PF=3
2
AP=
3
3
2
．
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+33
2）2+（3
2
）2=25+123．
则△ABC的面积是
3
4
•AB2=
3
4
•（25+12）=9+
253．
故选A．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
5．A
解析：A
【解析】
试题分析：剪拼如下图：
乙
故选A
考点：剪拼，面积不变性，二次方根
6．D
解析：D
【分析】
分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．
【详解】
当4是直角边时，斜边=2234+=5，
当4是斜边时，另一条直角边=22473-=，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
7．D
解析：D
【分析】
根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．
【详解】
解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；
B 、因为52+52=()252
，故能构成直角三角形； C 、因为()()()222
345x x x +=，故能构成直角三角形；
D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形． 8．B
解析：B
【分析】
依据作图即可得到AC ＝AN ＝4，BC ＝BM ＝3，AB ＝2+2+1＝5，进而得到AC 2+BC 2＝AB 2，即可得出△ABC 是直角三角形．
【详解】
如图所示，AC ＝AN ＝4，BC ＝BM ＝3，AB ＝2+2+1＝5，
∴AC 2+BC 2＝AB 2，
∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°，
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9．D
解析：D
【分析】
根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】
选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项B中如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么
△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项C中如果 a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项D中如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；
故选D．
【点睛】
考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题．
10．A
解析：A
【分析】
先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长.
【详解】
∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由AD＝AD，
所以，Rt△ACD≌Rt△AED，
所以，AC=AE.
∵E为AB中点，∴AC=AE=1
2
AB，
所以，∠B=30° .
∵DE为AB中线且DE⊥AB，
∴AD=BD=3cm ，
∴DE=1
2
BD=
3
2
,
∴= 故选A.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键. 二、填空题
11．32 2
n 【分析】 根据等边三角形性质得出AB 1＝CB 1＝12
，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，由勾股定理求出BB 1＝
ABC 113ABB BCB S S ==
B 1B 2，由勾股定理求出BB 2，根据11221ABB BB B AB B S S S =+代入求出B 2B 3=，
B 3B 4=B 4B 5=，推出B n ﹣1B n ＝2
n ． 【详解】
解：∵△ABC 是等边三角形，
∴BA ＝AC ，
∵BB 1是△ABC 的高，
∴AB 1＝CB 1＝12
，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，
由勾股定理得：BB 1=；
∴△ABC 的面积是
12×1=；
∴1112ABB BCB S
S ==⨯，
12
=×1×B 1B 2，
B 1B 2，
由勾股定理得：BB 234=，
∵11221ABB BB B AB B S
S S =+，
2313112422
B B =⨯⨯⨯，
B 2B 3＝
8，
B 3B 4＝
16，
B 4B 5， …，
B n ﹣1B n ＝2n ．
【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据计算结果得出规律．
12．36或84
【分析】
过点A 作AD ⊥BC 于点D ，利用勾股定理列式求出BD 、CD ，再分点D 在边BC 上和在CB 的延长线上两种情况分别求出BC 的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，
∵BC 边上的高为8cm ，
∴AD=8cm ，
∵AC=17cm ，
由勾股定理得：
6BD ===cm ，
15CD ===cm ，
如图1，点D 在边BC 上时，
BC=BD+CD =6+15=21cm ，
∴△ABC 的面积=
12BC AD =12
×21×8=84cm 2， 如图2，点D 在CB 的延长线上时，
BC= CD −BD =15−6=9cm ，
∴△ABC 的面积=12BC AD =12
×9×8=36 cm 2， 综上所述，△ABC 的面积为36 cm 2或84 cm 2，
故答案为：36或84．
【点睛】
本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．
13．1425+或825+
【分析】
分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长．
【详解】
解：分两种情况考虑：
如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=
22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=
2222543AC AD -=-=，
∴BC=253+， ∴△ABC 的周长为：652531425+++=+；
如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，
∴BC=253-，
∴△ABC 的周长为：65253825++-=+；
综合上述，△ABC 的周长为：1425+或825+；
故答案为：1425+或825+.
【点睛】
此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14．()4,8或()6,8或()16,8
【分析】
当ODP ∆是以OD 为腰的等腰三角形时，分为两种情况①点O 是顶角顶点时，②D 是顶角顶点时，根据勾股定理求出CP ，PM 即可．
【详解】
解：OD 是等腰三角形的一条腰时：
①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以10为半径的弧与CB 的交点， 在直角△OPC 中，CP=22221086OP OC -=-=，则P 的坐标是（6，8）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以10为半径的弧与CB 的交点， 过D 作DM ⊥BC 于点M ，
在直角△PDM 中，22221086PD DM -=-= ，
当P 在M 的左边时，CP=10-6=4，则P 的坐标是（4，8）；
当P 在M 的右侧时，CP=10+6=16，则P 的坐标是（16，8）．
故P 的坐标为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．
故答案为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．
15．10
【分析】
先根据勾股定理得出a 2+b 2＝c 2，利用完全平方公式得到（a +b ）2﹣2ab ＝c 2，再将a +b ＝5c ＝5代入即可求出ab 的值．
【详解】
解：∵在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，
∴a 2+b 2＝c 2，
∴（a +b ）2﹣2ab ＝c 2，
∵a +b ＝5c ＝5，
∴（
2﹣2ab＝52，
∴ab＝10．
故答案为10．
【点睛】
本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.
16
【解析】
【分析】
过A点作BC的垂线，E点作AC的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出∠DAM=15°，在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到
DG=AG=2a，
2)a，
1)a，
1)a,代入计算即
可.
【详解】
过A点作AM⊥BC于M点，过E点EN⊥AC于N点.∵∠BCA＝30°，AE=EC
∴AM=1
2
AC，AN=
1
2
AC
∴AM=AN
又∵AD=AE
∴R t∆ADM≅ R t∆AE N(HL)
∴∠DAM=∠EAN
又∵∠MAC=60°，AD⊥AE
∴∠DAM=∠EAN=15°
在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°设DM=a,则 DG=AG=2a，
根据勾股定理得：
∵∠ABC＝45°
∴
2)a
∴
1)a，
2)a,
∴
a AB
BD
==
【点睛】
本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.
17．4或2510
【分析】
分三种情况讨论：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．
【详解】
①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．
∵∠DAC=90°，且AD=AC，
∴BD=BA+AD=2+2=4；
②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．
连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DCE=45°．
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=45°，
∴CE=DE=22
2 =
在Rt△BAC中，BC22
22
=+=22BD2222
2222
BE DE（）（）
=+=++= 5
③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．
∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，
∴AD=DC=AC sin45°=22
2 =
又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°．
又∵在Rt△ABC中，BC22
22
=+=22
∴BD 222222210BC CD =+=+=（）（）．
故BD 的长等于4或25或10．
故答案为4或25或10．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，
18．
355
【详解】 四边形DEFA 是正方形，面积是4； △ABF，△ACD 的面积相等，且都是 ×1×2=1． △BCE 的面积是：12×1×1=12
． 则△ABC 的面积是：4﹣1﹣1﹣
12=32． 在直角△ADC 中根据勾股定理得到：AC=222+1=5．
设AC 边上的高线长是x ．则
12AC•x=5x=32， 解得：x=355
．
355
. 19．49 【解析】
连接AC ，在Rt △ABC 中，∵AB =8，BC =6，∠B =90°，∴AC 22AB BC +10．
在△ADC中，∵AD=CD=52，∴AD2+CD2=（52）2+（52）2=100．∵AC2=102=100，∴AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°，∴S四边形
ABCD =S△ABC+S△ACD=
1
2
AB•BC+
1
2
AD•DC=
1
2
×8×6+
1
2
×52×52=24+25=49．
点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．3或3或15
【分析】
根据直角三角形的性质求出BC，勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质列式计算即可．
【详解】
解：如图
∵∠B=90°，∠A=30°，
∴BC=1
2
AC=
1
2
×8=4，
由勾股定理得，2222
8443
AC BC
-=-=
43333
AD
∴==
当点P在AC上时，∠A=30°，AP=2PD，
∴∠ADP=90°，
则AD2+PD2=AP2，即（32=（2PD）2-PD2，
解得，PD=3，
当点P在AB上时，AP=2PD，3
∴3
当点P在BC上时，AP=2PD，
设PD=x，则AP=2x，
由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3，
()()2222
43
3x x ∴-=-
解得，x=15 故答案为：3或3或15.
【点睛】
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
三、解答题
21．BF 的长为32
【分析】
先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．
【详解】
解：连接BF ．
∵CA=CB ，E 为AB 中点
∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°
在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，
BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴Rt △FEB ≌Rt △FEA
又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°
∴∠FBE=∠FAE=12
∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°
又∵BD ⊥AD ，∠D=90°
∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3 ∴222232BF BD FD BD =
+==
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）43或63
【分析】
（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ，按照邻和四边形的定义即可得出结论．
（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求．
（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC 时；②当CD=CB=BD 时；③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时．
【详解】
（1）∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°，
∴∠ACB =∠ABC ，
∴AB =AC ．
∵∠ACD =∠ADC ，
∴AC =AD ，
∴AB =AC =AD ．
∴四边形ABCD 是邻和四边形；
（2）如图，格点D 、D'、D''即为所求作的点；
（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =3
∴AC ()22222234AB BC +=+=，
显然AB ，BC ，AC 互不相等．
分两种情况讨论：
①当DA =DC =AC=4时，如图所示：
∴△ADC为等边三角形，
过D作DG⊥AC于G，则∠ADG=1
6030
2
⨯︒=︒，
∴
1
2
2
AG AD
==，
2222
4223
DG AD AG
=-=-=，
∴S△ADC=1
42343
2
⨯⨯=，S△ABC=
1
2
AB×BC=23，
∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=63；
②当CD=CB=BD=23时，如图所示：
∴△BDC为等边三角形，
过D作DE⊥BC于E，则∠BDE=1
6030
2
⨯︒=︒，
∴
1
3
2
BE BD
==
()()
22
222333
DE BD BE
=-=-=，
∴S△BDC=1
23333 2
⨯=
过D作DF⊥AB交AB延长线于F，
∵∠FBD=∠FBC-∠DBC=90︒-60︒=30︒，
∴DF=1
2
3
S△ADB=1
233
2
⨯=，
∴S四边形ABCD=S△BDC+S△ADB=3；
③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时，邻和四边形ABCD不存在．
∴邻和四边形ABCD的面积是或
【点睛】
本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．
23．（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．
【分析】
（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt△ABF中，可由勾股定理求出BF的长；
（2）设CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt△CEF中，可由勾股定理求出CE的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，且AD=BC=10，
又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，
∴AF=AD=10，
又∵AB=8，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：，
故BF的长为6．
（2）设CE=x ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，
又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，
∴FE=DE=8-x，
由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，
CF+CE=EF，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：222
∴222
4+x=(8-x)，解得：x=3，
故CE的长为3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．
24．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14
【分析】
（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；
（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝
180°可得；
②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由CB ＝CM 知BN ＝MN ＝a ，CN 2＝BC 2−BN 2＝AC 2−AN 2，可得关于a 的方程，解之可得答案．
【详解】
解：（1）BC−AC ＝AD ．
理由如下：如图（a ），在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠ACD ＝∠ECD ，
又CD ＝CD ，
∴△ACD ≌△ECD （SAS ），
∴DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，
∴∠CED ＝2∠CBA ，
∵∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE ，
∴∠CBA ＝∠BDE ，
∴DE ＝BE ，
∴AD ＝BE ，
∵BE ＝BC−CE ＝BC−AC ，
∴BC −AC ＝AD ．
（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，
∵AC 平分∠DAB ，
∴∠DAC ＝∠MAC ，
∵AC ＝AC ，
∴△ADC ≌△AMC （SAS ），
∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，
∵CD ＝BC ＝12，
∴CM ＝CB ，
∴∠B ＝∠CMB ，
∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，
∴∠B ＋∠D ＝180°；
②设BN ＝a ，
过点C 作CN ⊥AB 于点N ，
∵CB ＝CM ＝12，
∴BN ＝MN ＝a ，
在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，
在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝，
则22221216(8)a a --+＝，
解得：a ＝3，
即BN ＝MN ＝3，
则AB ＝8+3+3=14，
∴AB=14．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．
25．（1）见详解（2）①结论：2
22BD FC DF +=，证明见详解②35
【分析】
（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；
（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．
【详解】
解：（1）∵AE AD ⊥
∴90DAC CAE ∠+∠=︒
∵90BAC ∠=︒
∴90DAC BAD ∠+∠=︒
∴BAD CAE ∠=∠
∴在ABD △和ACE △中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABD △≌ACE △()SAS
（2）①结论：2
22BD FC DF +=
证明：连接EF ，如图：
∵ABD △≌ACE △ ∴B ACE ∠=∠，BD CE = ∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒ ∴222FC CE EF += ∴222FC BD EF += ∵AF 平分DAE ∠
∴DAF EAF ∠=∠ ∴在DAF △和EAF △中 AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴DAF △≌EAF △()SAS ∴DF EF =
∴222FC BD DF += 即2
22BD FC DF += ②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：
∵由①可知222223425DF BD FC =+=+= ∴5DF =
∴35412BC BD DF FC =++=++= ∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=
∴在Rt ADG 中，AD ===
故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．
26．（1）见解析；（2）①见解析；②2．
【分析】
（1）当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，然后由等边三角形的性质可得∠CBD 的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F 的度数，于是可得∠CBD 与∠F 的关系，进而可得结论；
（2）①过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则易得△AHE 是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF ，∠BHE =∠ECF =120°，BH =EC ，于是可根据SAS 证明△BHE ≌△ECF ，可得∠EBH =∠FEC ，易证△BAE ≌△BCD ，可得∠ABE =∠CBD ，从而有∠FEC =∠CBD ，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE =∠BCD ，进而可得结论； ②易得∠BEG =90°，于是可知△BEF 是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE 和BF 的长，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM 、MC 、CF 、FN 、CN 、GN 的长，进而可得△GCN 也是等腰直角三角形，于是有∠BCG =90°，故所求的△BCG 的面积=
12
BC CG ⋅，而BC 和CG 可得，问题即得解决． 【详解】 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，
当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，∴1302
DBC ABC ∠=
∠=︒， ∵CF CD =，∴∠F =∠CDF ，
∵∠F +∠CDF =∠ACB =60°，∴∠F =30°，
∴∠CBD =∠F ，∴BD DF =；
（2）①∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，AB=AC ，
过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则∠AHE =∠ABC =60°，
∠AEH =∠ACB =60°，
∴△AHE 是等边三角形，∴AH=AE=HE ，∴BH =EC ，
∵AE CD =，CD=CF ，∴EH=CF ，
又∵∠BHE =∠ECF =120°，∴△BHE ≌△ECF （SAS ），
∴∠EBH =∠FEC ，EB=EF ，
∵BA=BC ，∠A =∠ACB =60°，AE=CD ，
∴△BAE ≌△BCD （SAS ），∴∠ABE =∠CBD ，∴∠FEC =∠CBD ，
∵∠EDG =∠BDC ，∴∠BGE =∠BCD =60°；
②∵∠BGE =60°，∠EBD =30°，∴∠BEG =90°，
∵EB=EF ，∴∠F =∠EBF =45°，
∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =2，BE =23， ∴BF =226BE =，232GF =-，
过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，
∴6BM ME MF ===，
∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =+，266262CF =--=
-， ∴()26231CN FN ==⨯-=-，
∴()
2323131GN GF FN CN =-=---=-=， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ，
∴62CG CF ==-，
∴△BCG 的面积=
()()
116262222BC CG ⋅=+-=． 故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．
27．（1）证明见解析；（2）21.
（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；
（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.
【详解】
解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，
∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，
∵CD 平分∠ACB ，
∴A′点落在CB 上
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=30°，
∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，
∴A′D=A′B ，
∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.
（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．
∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，
∵AC 平分∠BAD ，
∴D′点落在AB 上，
∵BC=10，
∴D′C=BC ，
过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则D′E=BE ，
设D′E=BE=x ，
在Rt △CEB 中，CE 2=CB 2-BE 2=102-x 2，
在Rt △CEA 中，CE 2=AC 2-AE 2=172-（9+x ）2．
∴102-x 2=172-（9+x ）2，
解得：x=6，
∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．
本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B 不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.
28．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512
m n = 【分析】
（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；
（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案；
②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.
【详解】
（1）解：作图，如图所示：
（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.
理由如下：依题意得， BD BC m ==，
在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒
222BC AC AB ∴=+
22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+
222AD m AD n ∴+-
)()
2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-
0=；
∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根
②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ==== 2AD EC =
2233AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=
222BC AC AB ∴+=
2
2223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭。