高考数学一轮复习提高题专题复习平面向量多选题练习题及答案

高考数学一轮复习提高题专题复习平面向量多选题练习题及答案
一、平面向量多选题
1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，
AB =BC =1，0PA PB PC PA
PB
PC
+
+
=，以下正确的是
（ ） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC
【答案】ABCD 【分析】
根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】
在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1， 以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵
0PA PB PC PA
PB
PC
+
+
=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，
∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠
APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，
在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，
∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CD
PCA P CD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪'∠=∠⎩
，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即
1
2
BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确， 同理：△APC ∽△ACB ，即AP AC
CP BC
==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.
【点睛】
关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.
2．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且
AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ）
A ．0AC BD ⋅=
B ．0OA OE ⋅=
C ．34
OA OB OC ++= D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为
712
【答案】BCD 【分析】
根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项. 【详解】
由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，
||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，
B C =，
同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.
2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.
如图建立坐标系，30,2A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫
⎪⎝⎭，13,63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，解得30,4O ⎛ ⎝⎭
， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；
1323,,,2233AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，AC BD ⋅=12331=023236⨯--≠，故A 错误； 3
2OA OB OC OA OE OE ++=+==
，故C 正确； 136ED ⎛= ⎝⎭，13,22BA ⎛= ⎝⎭
，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式
a b b
⋅进行求解.
3．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛
⎫≠ ⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与
x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若
12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在
23
π
θ=
的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）
A ．()1,3a b -=-
B ．5a =
C ．a b ⊥
D ．a 在b 上的投影为37
【答案】AD 【分析】
123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；3
2
a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3
3727a b b
-
⋅==，故D 正确.
【详解】
()(
)
121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；
()
2
12
2254cos
33
a e e π
=
+=+=B 错误；(
)()
2
2
121211223
222322
a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-
，故C 错误； 由于()
2
2
2
27b e e =-=a 在b 上的投影为3
372147a b b
-
⋅==-
，故D 正确。

故选：AD 【点睛】
本题主要考查新定义，考查向量的坐标运算和模的计算，考查向量的投影的计算，考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是
PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法
正确的是（ ）
A ．EG PG ⊥
B ．EG B
C ⊥ C ．//FG BC
D ．FG EF ⊥
【答案】ABD 【分析】
取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案. 【详解】
如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底， 则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233
PG PH a b a b =
=⨯+=+， 1121111
,3333333EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-，
1111
3333
FG PG PF a b b a =-=+-=，
11
21133
333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭，
∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；
0FG EF ⋅=，D 正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.
5．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A ．已知A 、
B 、
C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=
D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 【答案】AC 【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】
解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；
由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以
||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；
设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而
2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；
()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a
与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；
故选：AC ． 【点睛】
本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．
6．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，
则（ ）
A ．1
2
AF AD AB =+ B ．1
()2
EF AD AB =
+ C ．2133
AG AD AB =
- D ．3BG GD =
【答案】AB 【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+
、1
()2
EF AD AB =+、21
33AG AD AB =
+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 11
22
AF AD DF AD DC AD AB =+=+
=+，即A 正确 11
()()22
EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确
连接AC，知G是△ADC的中线交点，如下图示
由其性质有||||1 ||||2 GF GE
AG CG
==
∴
211121
()
333333
AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C错误
同理
21212
()() 33333
BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=-
211
()
333
DG DF DA AB DA
=+=+，即
1
()
3
GD AD AB
=-
∴2
BG GD
=，即D错误
故选：AB
【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中1
OA=，则下列结论正确的有（）
A．
2
2 OA OD
⋅=-
B．2
OB OH OE
+=-
C．AH HO BC BO
⋅=⋅
D．AH在AB向量上的投影为
2
【答案】AB
【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．
【详解】
图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，
对于3:11cos
4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．
对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32
||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
8．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．2b = B ．a b ⊥
C ．2a b ⋅=
D ．(2)a b BC +⊥
【答案】AD 【分析】
本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确. 【详解】
因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=， 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确， 因为AB a =，BC b =，
所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误，
所以1cos1202222a b a b ⎛⎫
⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
，C 错误，
因为()2
2(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=， 所以(2)a b BC +⊥，D 正确， 故选：AD. 【点睛】
本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则
cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.
9．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b
B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-
【答案】AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A
选项正确，D 选项错误；
若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BC
C ．a b ⊥
D ．()
6a b BC +⊥
【答案】ABD 【分析】
求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()
6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=
，则1
13
a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a
b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正
确；
对于C 选项，21123cos 0333
a b AB BC π
⋅=
⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()
22
60a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，
()6a b BC +⊥，D 选项正确.
故选：ABD. 【点睛】
本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。